精品解析：天津市部分区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

天津市部分区2024~2025学年度第二学期期末练习 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共36分） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 参考公式： ·如果事件互斥，那么． ·如果事件相互独立，那么． ·如果事件是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在研究线性回归模型时，成对样本数据所对应的点均在直线上，则样本相关系数（ ） A. B. 1 C. D. 无法确定 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 高二某班有7名学生干部，其中男生4名，女生3名．若从中随机选出3名学生干部，则恰好有2名男生的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 6. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 8. 某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 根据下表所示的样本数据，用最小二乘法求得经验回归方程为，则______． 6 7 9 11 12 7 5 4 3 1 11. 若，则实数的取值范围是______． 12. 展开式中常数项为________. 13. 某校甲、乙两个班级的同学于同一社区开展民意调查工作．已知参加活动的甲、乙两班人数之比为，其中甲班女生占比为，乙班女生占比为，那么该社区某居民遇到一名进行民意调查的同学恰好为女生的概率为______． 14. 勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于，则该三角形面积的最大值为______． 15. 已知函数有零点，则实数m取值范围为______． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 17. 随着电影《哪吒之魔童闹海》热映，其不仅标志着我国动漫电影的技术水平达到行业领先地位，进一步激发了观众的爱国情怀，更为国产动漫产业发展注入强劲动力．为探究观众对该电影的喜好是否与性别相关，某影院对200名观众（男女各100人）展开调查，结果显示喜欢该电影的观众共有140人，其中喜欢该电影的男生人数比女生少20人． （1）完成下面的2×2列联表； 喜欢 不喜欢 总计 男生 女生 总计 （2）根据小概率值的独立性检验，分析调查的数据，能否据此推断是否喜欢该电影与性别有关联？ 附：．临界值表如下： 0.10 0.05 0.01 0005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数（且）． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）当时，若，求实数m取值范围． 19. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． （1）若甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩为5分的概率； （2）若乙参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望． 20. 已知函数． （1）若曲线在点.的斜率为，求a的值； （2）当时，证明：; （3）当时，，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市部分区2024~2025学年度第二学期期末练习 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共36分） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 参考公式： ·如果事件互斥，那么． ·如果事件相互独立，那么． ·如果事件是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集定义即得. 【详解】由题意，. 故选：A. 2. 在研究线性回归模型时，成对样本数据所对应点均在直线上，则样本相关系数（ ） A. B. 1 C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性相关系数的定义直接得解. 【详解】因成对样本数据所对应的点均在直线上， 则，又直线斜率为，满足正相关，故. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的概念，以及充分、必要性判断即可. 【详解】由题可知：，若，则不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 高二某班有7名学生干部，其中男生4名，女生3名．若从中随机选出3名学生干部，则恰好有2名男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的计算公式计算即可. 【详解】由题可知：从中随机选出3名学生干部，则恰好有2名男生的概率为. 故选：D 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得，即， 又由对数函数的性质，可得，所以. 故选：C. 6. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件。利用函数的奇偶性及零点个数判断即可. 【详解】依题意，， 函数是奇函数，图象关于原点对称，排除BD； 又，函数上有3个零点，排除A，C符合要求. 故选：C 7. 已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数性质，列出方程，求出参数，求出奇数项的二项式系数和. 【详解】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为， 当时，可知； 可得，则奇数项的二项式系数和为. 故选：B. 8. 某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，求，，结合条件概率公式求解结论. 【详解】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，则 ，， ， 故选：B. 9. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性分段考虑，借助于二次函数的单调性和求导判断单调性法列出不等式，综合考虑即得. 【详解】由题意，当时，为减函数，则有，即①； 当时，为减函数，即在上恒成立， 即在上恒成立，因函数在上恒有，故得，即②； 又由函数在上单调递减，可得，解得③， 综上①②③，可得实数的取值范围是. 故选：D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 根据下表所示的样本数据，用最小二乘法求得经验回归方程为，则______． 6 7 9 11 12 7 5 4 3 1 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得数据的样本中心，将其代入回归直线方程，即可求解. 【详解】由统计表格中的数据，可得，， 即数据的样本中心为，将其代入回归方程，可得， 解得. 故答案为：. 11. 若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性以及对数的换算计算即可. 【详解】由题可知：，所以. 故答案为： 12. 展开式中常数项为________. 【答案】240 【解析】 【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的常数项. 【详解】展开式的通项公式 令,所以的展开式的常数项为,故答案为. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 13. 某校甲、乙两个班级的同学于同一社区开展民意调查工作．已知参加活动的甲、乙两班人数之比为，其中甲班女生占比为，乙班女生占比为，那么该社区某居民遇到一名进行民意调查的同学恰好为女生的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】由题可知：该社区某居民遇到一名进行民意调查的同学恰好为女生的概率为. 故答案为： 14. 勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于，则该三角形面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设直角三角形的两直角边长分别为，得到，利用基本不等式，求得，进而求得面积的最大值. 【详解】设直角三角形的两直角边长分别为，则斜边长为， 因为直角三角形的周长为，所以， 由，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，即三角形面积的最大值为. 故答案为：. 15. 已知函数有零点，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题将函数有零点转化成方程有实根，求出函数的定义域，令，则，设，求导判断该函数的单调性和图象趋势，即可求得参数m的范围. 【详解】由函数有零点，即方程有实根. 由可得或，设，则得，即得. 令，当时，或，由可得； 当时，，则函数在上单调递增， 又，当时，，故需使. 综上，可得实数m取值范围为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数求导，由导函数的正负即可求得函数的单调区间； （2）利用（1）的结论，可判断函数在区间上的单调性，代入端点值计算函数值，比较大小即得函数最大值. 【小问1详解】 由求导得：， 由可得，由可得或， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； 【小问2详解】 由（1）已得函数在上单调递减，在上单调递增， 因，则函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 故当时，函数取得最大值为. 17. 随着电影《哪吒之魔童闹海》热映，其不仅标志着我国动漫电影的技术水平达到行业领先地位，进一步激发了观众的爱国情怀，更为国产动漫产业发展注入强劲动力．为探究观众对该电影的喜好是否与性别相关，某影院对200名观众（男女各100人）展开调查，结果显示喜欢该电影的观众共有140人，其中喜欢该电影的男生人数比女生少20人． （1）完成下面的2×2列联表； 喜欢 不喜欢 总计 男生 女生 总计 （2）根据小概率值的独立性检验，分析调查的数据，能否据此推断是否喜欢该电影与性别有关联？ 附：．临界值表如下： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 喜欢 不喜欢 总计 男生 60 40 100 女生 80 20 100 总计 140 60 200 （2）是否喜欢该电影与性别有关联 【解析】 【分析】（1）根据题目信息，完成表格即可； （2）根据表格数据，和公式，求出的值，推断是否有关联即可. 【小问1详解】 喜欢 不喜欢 总计 男生 60 40 100 女生 80 20 100 总计 140 60 200 【小问2详解】 将表格数据代入公式，可得. 由小概率值的独立性检验可知，是否喜欢该电影与性别有关联； 18. 已知函数（且）． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）当时，若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断即得； （2）在时，先利用复合函数的单调性判断函数在上单调递增，再利用奇函数性质和特殊值，将不等式转化成，根据函数的单调性即得参数m的范围. 【小问1详解】 由可得，即函数定义域为，关于原点对称， 因，故函数为奇函数. 【小问2详解】 当时，， 因函数在上单调递增，又函数在定义域内单调递增，故函数在上单调递增； 又，且，故不等式等价于， 即，即可得，故实数m的取值范围为. 19. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． （1）若甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩为5分的概率； （2）若乙参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到甲在第一阶段至少投中一次，乙在第二阶段恰好投中一次，结合独立事件和独立重复试验的概率公式，即可求解； （2）设乙参加第一阶段比赛，甲、乙所在队的比赛成绩为随机变量，根据题意，结合独立事件和独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为甲、乙所在对比赛成绩为5分， 则甲在第一阶段至少投中一次，乙在第二阶段恰好投中一次， 又由甲在第一阶段至少投中一次的概率为， 乙在第二阶段恰好投中一次的概率为， 所以甲、乙所在队的比赛成绩为5分的概率. 【小问2详解】 解：设乙参加第一阶段比赛，甲、乙所在队的比赛成绩为随机变量，则， 当时，即乙参加第一阶段比赛，三次未中或乙参加第一阶段比赛，至少投中一次且甲第二阶段未投中可得； 当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中一次， 可得； 当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中两次， 可得； 当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中三次， 可得， 所以随机变量的分布列为： 0 5 10 15 所以成绩的期望为. 20. 已知函数． （1）若曲线在点.的斜率为，求a的值； （2）当时，证明：; （3）当时，，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求得，得到，根据题意，得出方程，即可求解； （2）当时，根据题意，转化为，令，求得，得出函数的单调性和最小值，即可得证； （3）求得，设，求得，根据题意，分，和，三种情况讨论，分别求得的单调性，进而得到答案. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 则， 因为曲线在点的斜率为，可得， 整理得，所以. 【小问2详解】 解：当时，可得，其中， 要证，即，即证， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也时最小值，且， 所以，即恒成立. 【小问3详解】 解：由， 设， 可得， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以成立； ②当时，若，可得，则在上递增， 所以在上，，即在上， 所以在上单调递减，所以，不符合题意，舍去； ③当时，在上恒成立，所以在上单调递减， 则，即在上单调递减， 所以，不符合题意，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $