21.3实际问题与一元二次方程 (1)（题型专练）数学人教版九年级上册

11.2 一元一次不等式 21.3实际问题与一元二次方程 (1) 题型一、传播传染问题 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， ， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人， 故选：A． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， ∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设一个人每节课手把手教会了��名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于��的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【答案】(1)每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后，患病的人数会超过700 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． （2）解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 题型二、增长率问题 5．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)患病的人数会超过700人 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2） 三轮感染后，患病的人数为（人 ∵， 患病的人数会超过700人． 答：患病的人数会超过700人 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴年平均增长率是， 故选：A． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）在“双减”政策的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了64%．设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每半年平均每周作业时长的下降率为x，根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了64%，列方程即可得到结论． 【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x， 由题意可得，即 故选：C． 8．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册． (1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率． (2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？ 【答案】(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率 (2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是864册 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论； （2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量． 【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 该校这两个月藏书的月均增长率为； （2）解；（册）， 所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是册． 9．（14-15八年级下·浙江杭州·期末）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 【答案】(1)四、五这两个月的月平均增长率； (2)当商品降价5元时，商场月获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设四月，五月的月平均增长率为x，根据题意，得，解方程即可； （2）设降价m元，商场月获利4250元，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：四、五这两个月的月平均增长率； （2）解：设降价m元，商场月获利4250元， 根据题意，得 ， 解得，（舍去）， 答：当商品降价5元时，商场月获利4250元． 题型三、循环比赛问题 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）2023年国际篮联篮球世界杯比赛小组赛在印度尼西亚、日本以及菲律宾同时进行．若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍都赛1场），单循环比赛共进行了15场，则该小组参加比赛的队伍共有（   ） A．7支 B．6支 C．5支 D．4支 【答案】B 【详解】设该小组参加比赛的队伍共有x支． 根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴该小组参加比赛的队伍共有6支． 【点睛】考察一元二次方程循环赛的应用问题，注意是单循环赛制，需要除以2才行 11．（2025九年级上·全国·专题练习）某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（   ） A．8支 B．10支 C．7支 D．9支 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设参加比赛的队伍有支，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设参加比赛的队伍有支，根据题意得， 解得：，（舍去） 故选：B． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）一次足球比赛采取双循环比赛（每两支队伍之间都进行2场比赛）．若要比赛56场，则共有 支队伍参加比赛． 【答案】8 【分析】一元二次方程循环赛问题，根据总赛场56场列等量关系，设方程解答即可 【详解】解：设共有支队伍参加比赛 解得：（舍去） ∴共有8支队伍参加比赛 【点睛】本题考查了一元二次方程循环赛问题，注意双循环表示每支队伍都与除自己外的所有队伍比赛2场 13．（24-25九年级上·广东江门·期中）列方程解应用题：学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，有多少个队参加了报名？ 【答案】有12个队参加了报名 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设有个队参加了报名，由单循环制的特点可得，再解方程并检验即可． 【详解】解：设有个队参加了报名，则 ， ∴， ∴， 解得，（经检验不符合题意）， 所以有12个队参加了报名． 14．（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【答案】初中组共有支球队参加比赛． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设初中组有支球队参赛，利用比赛总场数参赛球队数参赛球队数，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设有支球队参赛，则每个队参加场比赛， 则共有场比赛， 由题意得， 整理得： 即 解得：或（舍去） 答：初中组共有支球队参加比赛． 题型四、握手问题 15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45次手，那么参加这次聚会的同学共有（    ）人． A．9 B．10 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，解题的关键在于分析题意，找出相等关系并建立方程． 设这次聚会的同学共n人，则每人与其他人各握手一次，而两个人之间握手一次，因而共握手次，即可列方程求解． 【详解】解设有名同学参加聚会，每人与其他人各握手一次，但每两次握手被重复计算一次，故总握手次数为．根据题意，得： 解得（舍去负根）． 因此，参加聚会的同学共有10人， 故选：B． 16．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ） A．7 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设这次会议参加的人数是x人，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这次会议参加的人数是x人， 根据题意，得， 解得， 故这次会议参加的人数是10人， 故选：B． 17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有 家． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有家公司参加“哈洽会”，依题意得，求解即可，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程． 【详解】解：设有家公司参加“哈洽会”，依题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴参加此次“哈洽会”的公司有家， 故答案为：． 18．（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，设小川及兄弟姐妹一共有人，则每人需赠送出份礼物，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 题型五、树干分支问题 19．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 故每个支干长出个小分支， 故选：C． 20．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：A． 21．（26-27九年级上·全国·课后作业）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 【答案】12 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴这种植物的主根长出12根支根． 故答案为：12． 22．（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 【答案】这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 1．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题——传播问题；理清每一轮感染后的人数是解题的关键． 一轮传播，1个人会平均感染x个人，此时共有人；二轮传播，每人会平均感染x个人即，此时共有人，即．再根据经过两轮感染后患病人数竟高达324人，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮感染中，1个人会平均感染x个人， 则两轮感染后的总人数为：． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选D． 3．（24-25九年级上·天津和平·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后共有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可以列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有人患流感 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设一个人每节课手把手教会了��名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于��的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 【答案】(1) (2)医院至少需要设置167个重症病房 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据在每轮传染中平均1个人传染了x个人，列出代数式即可； （2）先根据两轮传染后，有100人患上流感，列出方程求出的值，进而求出三轮传染后的总人数，设医院需要设置y个重症病房，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第一轮被传染的人数为x，第二轮被传染的人数是， 两轮传染后，患上流感的人数为． （2）由题意，得， 解得（舍去），， 经过第三轮传染后，患上流感的人数为． 设医院需要设置y个重症病房，则设置个普通病房． 由题意，得， 解得， 为正整数， ， ∴医院至少需要设置167个重症病房． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）夏季来临，救生衣销售日益火爆，某品牌救生衣五月份标价为每件80元，七月份标价增长至每件115.2元，假设两个月平均每月增长率相同． (1)求这两个月平均每月增长率； (2)七月份某商场购进该品牌甲、乙两种型号的救生衣共200件．甲、乙两型号的救生衣的进价分别为每件70元和每件78元．商场按照每件标价降低了15.2元的价格销售这批救生衣，为了保证总利润不少于5440元，该商城至少购进甲型号救生衣多少件？ 【答案】(1)这两个月平均每月增长率为 (2)该商城至少购进甲型号救生衣件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设救生衣标价的月平均增长率为x，根据5月份标价为每件80元，七月份标价增长至每件115.2元，建立方程求解即可； （2）设该商场购进甲品牌救生衣件，则购进乙品牌救生衣件，根据商场按照每件标价降低了15.2元的价格销售这批救生衣，保证总利润不少于5440元，建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设救生衣标价的月平均增长率为x， 根据题意：， 解得：或（舍去）， 答：这两个月平均每月增长率为； （2）解：设该商场购进甲品牌救生衣件，则购进乙品牌救生衣件， 根据题意：， 整理得：， 解得：， 答：该商城至少购进甲型号救生衣件． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售个，7月份销售个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线．， 解得，（舍去）， 答：从节省成本的角度看，增加4条生产线． 8．（24-25八年级下·山东淄博·期末）列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】材料一：共有30支队伍参赛；材料二： 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用． 材料一：设共有支队伍参赛，根据赛程安排3天，每天安排145场比赛，建立一元二次方程求解即可； 材料二：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可． 【详解】材料一：解：设共有支队伍参赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）或． 答：共有30支队伍参赛． 材料二：解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得：， 整理得：， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：松延动力机器人的平均速度是． 9．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 10．（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价2元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为，由题意得： 解得：（舍） 答：日平均增长率为 （2）解：设每个玩偶降价元，由题意得： 解得：（舍） 答：每个玩偶降价2元 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3实际问题与一元二次方程 (1) 题型一、传播传染问题 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 5．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 题型二、增长率问题 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）在“双减”政策的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了64%．设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册． (1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率． (2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？ 9．（14-15八年级下·浙江杭州·期末）今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 题型三、循环比赛问题 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）2023年国际篮联篮球世界杯比赛小组赛在印度尼西亚、日本以及菲律宾同时进行．若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍都赛1场），单循环比赛共进行了15场，则该小组参加比赛的队伍共有（   ） A．7支 B．6支 C．5支 D．4支 11．（2025九年级上·全国·专题练习）某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（   ） A．8支 B．10支 C．7支 D．9支 12．（2025九年级上·全国·专题练习）一次足球比赛采取双循环比赛（每两支队伍之间都进行2场比赛）．若要比赛56场，则共有 支队伍参加比赛． 13．（24-25九年级上·广东江门·期中）列方程解应用题：学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，有多少个队参加了报名？ 14．（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 题型四、握手问题 15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45次手，那么参加这次聚会的同学共有（    ）人． A．9 B．10 C．45 D．46 16．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ） A．7 B．10 C．12 D．20 17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有 家． 18．（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为 ． 题型五、树干分支问题 19．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 20．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 21．（26-27九年级上·全国·课后作业）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 22．（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 1．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·天津和平·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后共有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可以列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有人患流感 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）夏季来临，救生衣销售日益火爆，某品牌救生衣五月份标价为每件80元，七月份标价增长至每件115.2元，假设两个月平均每月增长率相同． (1)求这两个月平均每月增长率； (2)七月份某商场购进该品牌甲、乙两种型号的救生衣共200件．甲、乙两型号的救生衣的进价分别为每件70元和每件78元．商场按照每件标价降低了15.2元的价格销售这批救生衣，为了保证总利润不少于5440元，该商城至少购进甲型号救生衣多少件？ 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售个，7月份销售个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列 问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 8．（24-25八年级下·山东淄博·期末）列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机 器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 9．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一 10．（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$