1.4 用一元二次方程解决问题（题型专练）数学苏科版九年级上册

1.4 用一元二次方程解决问题 题型一 图形面积问题 1．（2025·姑苏区·二模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 2．（2024·新吴区·期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为　　． 3．（2024·新吴区·期末）今年秋学期起，新吴区全面实行课间15分钟，各校充分利用走廊、平台、小广场、转角等“金角银边”，打造更多适合学生的运动空间．某校有一块长为21米、宽为10米的矩形小广场，计划在其中打造两块相同的运动区域，两块运动区域之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米． （1）如果两块运动区域的面积之和为90m2，求人行通道的宽度； （2）能否改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于3：5，请说明理由． 4．（2024·锡山区·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请用含x的代数式表示另一边AD的长为　　米； （2）若此时花圃的面积刚好为60米2，求此时花圃的长与宽； （3）建成花圃的面积能为61米2吗？请说明理由． 题型二 增长率问题 1．（2025·崇川区·期末）H市严格执行了义务教育阶段教师轮岗和零择校政策后，某薄弱学校2024年秋季在校人数比2022年在校人数增长了56%，已知2023年秋季在校人数增长率是x，2024年秋季在校人数增长率是2023年的1.5倍，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x+1.5x＝56% B．（1+x%）（1+1.5%x）＝1+56% C．（1+x）（1+1.5x）＝1+56% D．（1﹣x）（1﹣1.5x）＝1﹣56% 2．（2025·玄武区·期中）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，则平均每年增产的百分率为　　． 3．（2024·扬中市·期末）2024年我国经济回暖向好，粮食产量约为1.40万亿斤，中国碗装了史多中国粮．根据国家统计局网站信息可知2022年我国粮食产量约为1.37万亿斤．（参考数据：，） （1）求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到0.1%） （2）以这两年的粮食产量平均增长率，预测2025年我国粮食产量能否突破1.41万亿斤？ 4．（2025·靖江市·三模）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了80%，年销售单价下降了20%． （1）设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b 　　 2025 　　 　　 　　 （2）该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 题型三 下降率问题 1．（2025·海门区·二模）某件商品原价1000元，连续两次都降价x%后售价为640元，则x的值为（　　） A．68 B．64 C．36 D．20 2．（2025·江阴市·月考）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．28% 3．（2024·常州·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　） A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50% 4．（2024·高邮市·模拟）某初中学校要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场地的长和宽分别为28米和16米；②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场地及安全区域的总面积为640m2． （1）求安全区域的宽度． （2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 题型四 商品销售问题 1．（2025·高新区·一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为　　元． 2．（2025·宿城区·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． （1）据统计某“巳升升”电商平台2024年12月份的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件，若月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）某实体店“巳升升”的进价力每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件，经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则售价应降低多少元？ 3．（2025·兴化市·期末）端午节来临，某超市打算购进一批粽子进行销售．若用80000元购进的猪肉粽和用60000元购进的豆沙粽盒数相同，且猪肉粽每盒进价比豆沙粽每盒进价多10元． （1）求猪肉粽每盒的进价是多少元？ （2）经过市场调研，该超市发现，销售猪肉粽时，当猪肉粽按原价每盒50元进行销售，每天可售200盒；售价每涨1元，销售量将减少10盒，同时上级部门要求，商品涨价幅度不能超过10%，若该商品当日盈利2160元，求猪肉粽当日每盒售价多少元？ 4．（2025·靖江市·期末）端午节是我国的传统节日．粽子是端午节的美食之一，粽子寓意着丰收和平安．某商店在端午节来临之前，去当地的批发市场订购赤豆粽和肉丁粽两种进行试销．已知肉丁粽的单价是赤豆粽单价的2倍，用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个． （1）赤豆粽和肉丁粽的单价分别是多少？ （2）若该商店把肉丁粽以6元/个销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把肉丁粽的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元？ 题型五 数字问题 1．（2023·句容市·期中）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为x，则下列方程正确的是（　　） A．x+（x+7）＝192 B．x（x+7）＝192 C．x+（x+16）＝192 D．x（x+16）＝192 2．（2024·阜宁县·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．1 C．1 D．1或1 3．（2024·锡山区·期末）已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 4．探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，，第行有个点，容易发现，前4行共有10个点． （1）若三角形点阵中前行共有45个点，求的值； （2）拓展：如果三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，，，， ①求这个三角形点阵中前行共有多少点？（用含的代数式表示）； ②这个三角形点阵中前行点数的和，能是600吗？若能，求出；若不能，请说明理由． 题型六 裂变问题 1．（2024·武进区·月考）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（　　） A．x2＝91 B．1+x2＝91 C．1+x+x（1+x）＝91 D．1+x+x2＝91 2．（2025·凤阳县·期末）流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感．若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，则下列结论错误的是（　　） A．1轮后有（x+1）人患了流感 B．2轮后有（x+1）x个人患了流感 C．由题意可得方程（x+1）2＝100 D．经过三轮一共会有1000人感染 3．（2022·海安市·月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出　　小分支． 4．（2023·天宁区·月考）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了　　人. 题型七 n选2问题（单双循环问题） 1．（2023·工业园区·期中）某校九年级各班进行拔河比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛28场．设共有x个班参赛，根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝28 B． C． D．x（x+1）＝28 2．（2025·崇川区·月考）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数是（　　） A．5人 B．4人 C．3人 D．6人 3．（2024·海安市·期中）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 4．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有　　人． 题型一 立体几何问题 1．（2025·泰兴市·三模）综合与实践 主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为x cm，用x的代数式表示收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长； 任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高． 2．（2024·扬州·期末）有一块长32cm，宽14cm的矩形铁皮． （1）如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为280cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． （2）由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为180的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为　　cm2． 题型二 动态几何问题 1．（2024·宜兴市·月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3cm，AC＝5cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为cm2，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．5s或3s D．5s 2．（2025·启东市·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，P是AB的中点．点M从A点出发以2cm/s向点C运动，点N从C点出发以2cm/s向点B运动，点Q是MN的中点，连接PQ．点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当PQ的长是时，点M的运动时间为　　s． 3．（2024·大丰区·期末）在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （2）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 4．（2025·崇川区·月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？ （2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 题型三 商品销售问题（升级版） 1．（2024·盐城·期末）体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． （2）为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 2．（2024·崇川区·月考）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 3．（2024·南通·期末）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 4．（2024·无锡·二模）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系： 每箱售价x（元） 68 67 66 65 … 40 每天销量y（箱） 40 45 50 55 … 180 已知y与x之间的函数关系是一次函数． （1）求y与x的函数解析式； （2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ （3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%（m＜100），7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值． 1．（2024·泗洪县·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：方程的解法如下： 解：原方程变形为， 设，得方程k2﹣k﹣6＝0， 解这个方程得k1＝3，k2＝﹣2， 当k1＝3时，2x+3＝9，∴x＝3， 当k2＝﹣2时，无意义， 检验：把x＝3代入原方程，等式成立， ∴原方程的解为x＝3． 仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程： （1）； （2）（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）＝15． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 用一元二次方程解决问题 题型一 图形面积问题 1．（2025·姑苏区·二模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为x m， 则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形， 由题意可得：（40﹣x）（22﹣x）＝520． 故选：B． 2．（2024·新吴区·期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为　　． 【详解】解：设矩形的宽为x，长为x+a， ∵大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴（2x+a）2＝144，（x+a﹣x）2＝4， ∴2x+a＝12（负值已舍去），a＝2（负值已舍去）， ∴x＝5． 故答案为：5． 3．（2024·新吴区·期末）今年秋学期起，新吴区全面实行课间15分钟，各校充分利用走廊、平台、小广场、转角等“金角银边”，打造更多适合学生的运动空间．某校有一块长为21米、宽为10米的矩形小广场，计划在其中打造两块相同的运动区域，两块运动区域之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米． （1）如果两块运动区域的面积之和为90m2，求人行通道的宽度； （2）能否改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于3：5，请说明理由． 【详解】解：（1）设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地的长为（21﹣3x）（米），宽为（10﹣2x）（米）， 由题意可得：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90，解得：x1＝10（舍去），x2＝2， 答：人行通道的宽度为2米； （2）设人行通道的宽为y米时，每块绿地的宽与长之比等于3：5， 由题意可得：（10﹣2y）：3：5，解得：y， ∵3， ∴不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5． 4．（2024·锡山区·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请用含x的代数式表示另一边AD的长为　　米； （2）若此时花圃的面积刚好为60米2，求此时花圃的长与宽； （3）建成花圃的面积能为61米2吗？请说明理由． 【详解】解：（1）由题意可知：AD＝25+1+1﹣3x＝（27﹣3x）（米）， 故答案为：（27﹣3x）； （2）设花圃的一边AB长为x m，则AD＝25+1+1﹣3x＝（27﹣3x）（m）， 由题意可得：x（27﹣3x）＝60， 整理得：x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝5，x2＝4， 当x＝5时，27﹣3x＝12＜14，符合题意； 当x＝4时，27﹣3x＝15＞14，不合题意，舍去； 答：花圃的长为12m，宽为5m； （3）建成花圃的面积不能为61m2，理由如下： 设花圃的一边AB长为y m，则AD＝25+1+1﹣3y＝（27﹣3y）（m）， 由题意可得：y（27﹣3y）＝61，整理得：3y2﹣27y+61＝0， ∵Δ＝（﹣27）2﹣4×3×61＝﹣3＜0， ∴原方程无实数根， ∴建成花圃的面积不能为61m2． 题型二 增长率问题 1．（2025·崇川区·期末）H市严格执行了义务教育阶段教师轮岗和零择校政策后，某薄弱学校2024年秋季在校人数比2022年在校人数增长了56%，已知2023年秋季在校人数增长率是x，2024年秋季在校人数增长率是2023年的1.5倍，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x+1.5x＝56% B．（1+x%）（1+1.5%x）＝1+56% C．（1+x）（1+1.5x）＝1+56% D．（1﹣x）（1﹣1.5x）＝1﹣56% 【详解】解：由题意可得：（1+x）（1+1.5x）＝1+56%． 故选：C． 2．（2025·玄武区·期中）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，则平均每年增产的百分率为　　． 【详解】解：设平均每年的增产率为x， 由题意可得：300（1+x）2＝363， x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）． 故答案为：10%． 3．（2024·扬中市·期末）2024年我国经济回暖向好，粮食产量约为1.40万亿斤，中国碗装了史多中国粮．根据国家统计局网站信息可知2022年我国粮食产量约为1.37万亿斤．（参考数据：，） （1）求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到0.1%） （2）以这两年的粮食产量平均增长率，预测2025年我国粮食产量能否突破1.41万亿斤？ 【详解】解：（1）设这两年粮食产量的平均增长率为x， 由题意可得：1.37（1+x）2＝1.40，解得：x1≈0.011＝1.1%，x2＝﹣2.011（不合题意，舍去）， 答：这两年粮食产量的平均增长率约为1.1%； （2）1.40×（1+1.1%）＝1.4154（万亿斤）＞1.41万亿斤， 答：预测2025年我国粮食产量能突破1.41万亿斤． 4．（2025·靖江市·三模）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了80%，年销售单价下降了20%． （1）设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b 　　 2025 　　 　　 　　 （2）该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【详解】解：（1）由题意可得：2025年销售A型汽车总量为1.8a，年销售A型汽车单价为0.8b， 2025年销售A型汽车总额为1.8a×0.8b＝1.44ab（亿元）， 又∵2023年销售A型汽车总量为a，年销售A型汽车单价为b， ∴2023年销售A型汽车总额为ab亿元， 填表如下： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b ab 2025 1.8a 0.8b 1.44ab 故答案为：ab；1.8a；0.8b；1.44ab； （2）设该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率为x， 由题意可得：ab（1+x）2＝1.44ab， 整理得：x2+2x﹣0.44＝0，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率为20%． 题型三 下降率问题 1．（2025·海门区·二模）某件商品原价1000元，连续两次都降价x%后售价为640元，则x的值为（　　） A．68 B．64 C．36 D．20 【详解】解：由题意可得：1000×（1﹣x%）2＝640， ∴x＝20或x＝180（舍去）． 故选：D． 2．（2025·江阴市·月考）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．28% 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 由题意可得：48（1﹣x）2＝27，解得：（舍去）． 故选：C． 3．（2024·常州·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　） A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50% 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为x， 由题意可得：，解得：x1，（不合题意，舍去）， ∵0.293， ∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%． 故选：C． 4．（2024·高邮市·模拟）某初中学校要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场地的长和宽分别为28米和16米；②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场地及安全区域的总面积为640m2． （1）求安全区域的宽度． （2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【详解】解：（1）设安全区域的宽度为x米， 由题意可得：（28+2x）（16+2x）＝640， 整理得：x2+22x﹣48＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣24（不符合题意，舍去）， 答：安全区域的宽度为2米； （2）设每次降价的百分率为a， 由题意可得：50（1﹣a）2＝32，解得：a1＝1.8（舍去），a2＝0.2＝20%， 答：每次降价的百分率为20%． 题型四 商品销售问题 1．（2025·高新区·一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为　　元． 【详解】解：设每千克这种商品应定价为x元， 则降价（60﹣x）元，平均每天的销售量增加10（60﹣x）件， 由题意可得：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240， 整理得：x2﹣110x+3024＝0，解得：x1＝54，x2＝56， ∵要使销量尽可能大， ∴x＝54． 故答案为：54． 2．（2025·宿城区·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． （1）据统计某“巳升升”电商平台2024年12月份的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件，若月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）某实体店“巳升升”的进价力每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件，经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则售价应降低多少元？ 【详解】解：（1）设月平均增长率为x， 由题意可得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是20%； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件， 由题意可得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200， 整理得：y2﹣30y+200＝0，解得：y1＝10，y2＝20， 又∵要尽量减少库存， ∴y＝20， 答：售价应降低20元． 3．（2025·兴化市·期末）端午节来临，某超市打算购进一批粽子进行销售．若用80000元购进的猪肉粽和用60000元购进的豆沙粽盒数相同，且猪肉粽每盒进价比豆沙粽每盒进价多10元． （1）求猪肉粽每盒的进价是多少元？ （2）经过市场调研，该超市发现，销售猪肉粽时，当猪肉粽按原价每盒50元进行销售，每天可售200盒；售价每涨1元，销售量将减少10盒，同时上级部门要求，商品涨价幅度不能超过10%，若该商品当日盈利2160元，求猪肉粽当日每盒售价多少元？ 【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元， 由题意可得：， 整理得：2000a＝80000，解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解， ∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元； （2）设猪肉粽当日每盒涨价m元， 由题意可得：（50+m﹣40）（200﹣10m）＝2160，解得：m1＝2，m2＝8， ∵m≤50×10%，即m≤5， ∴m＝2，即50+2＝52， 答：猪肉粽当日每盒售价52元． 4．（2025·靖江市·期末）端午节是我国的传统节日．粽子是端午节的美食之一，粽子寓意着丰收和平安．某商店在端午节来临之前，去当地的批发市场订购赤豆粽和肉丁粽两种进行试销．已知肉丁粽的单价是赤豆粽单价的2倍，用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个． （1）赤豆粽和肉丁粽的单价分别是多少？ （2）若该商店把肉丁粽以6元/个销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把肉丁粽的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元？ 【详解】解：（1）设赤豆粽的单价是x元，则肉丁粽的单价是2x元， 由题意可得：50，解得：x＝2， 经检验，x＝2是所列方程的根，且符合题意， ∴2x＝2×2＝4， 答：赤豆粽的单价是2元，肉丁粽的单价是4元； （2）设肉丁粽的售价为m元，则半个月的销量为（20040）个， 由题意可得：（m﹣4）（20040）＝540， 整理得：m2﹣20m+91＝0，解得：m1＝7，m1＝13（不合题意，舍去）， 答：将售价定为7元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元． 题型五 数字问题 1．（2023·句容市·期中）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为x，则下列方程正确的是（　　） A．x+（x+7）＝192 B．x（x+7）＝192 C．x+（x+16）＝192 D．x（x+16）＝192 【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：22﹣6＝16， 设这个最小数为x，则圈出的9个数中最大数为x+16， 由题意可得：x（x+16）＝192． 故选：D． 2．（2024·阜宁县·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．1 C．1 D．1或1 【详解】解：由题意可得：a2﹣2a＝1，解得：a＝1±， ∵a＞0， ∴a1． 故选：C． 3．（2024·锡山区·期末）已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 【详解】解：设这个数为x， 由题意可得：x2﹣10＝x+10， 整理得：x2﹣x﹣20＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣4， 答：这个数为5或﹣4． 4．探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，，第行有个点，容易发现，前4行共有10个点． （1）若三角形点阵中前行共有45个点，求的值； （2）拓展：如果三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，，，， ①求这个三角形点阵中前行共有多少点？（用含的代数式表示）； ②这个三角形点阵中前行点数的和，能是600吗？若能，求出；若不能，请说明理由． 【详解】解：（1）由题意可得：，即， 整理得：，，，， 为正整数， ； （2）①这个三角形点阵中前行点数和为； ②三角形点阵中前行的点数的和能是600，理由如下： 由题意可得：， 整理得：，，解得：，． 为正整数， ， ∴三角形点阵中前行的点数的和能是600，． 题型六 裂变问题 1．（2024·武进区·月考）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（　　） A．x2＝91 B．1+x2＝91 C．1+x+x（1+x）＝91 D．1+x+x2＝91 【详解】解：由题意可得：1+x+x2＝91． 故选：D． 2．（2025·凤阳县·期末）流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感．若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，则下列结论错误的是（　　） A．1轮后有（x+1）人患了流感 B．2轮后有（x+1）x个人患了流感 C．由题意可得方程（x+1）2＝100 D．经过三轮一共会有1000人感染 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人， 则第一轮后共有（x+1）人患了流感，故A正确； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人， 第2轮又增加（x+1）•x个人患流感， 2轮后共有1+x+x（x+1）个人患流感，故B错误； 由题意可得：1+x+x（x+1）＝100，即（x+1）2＝100，故C正确； 解得：x1＝9，x2＝﹣11（舍去）， ∴每轮传染中平均每人传染了9人， ∴经过三轮一共会有103＝1000人感染，故D正确． 故选：B． 3．（2022·海安市·月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出　　小分支． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 由题意可得：1+x+x2＝91，解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去）， ∴每个支干长出9个小分支． 故答案为：9个． 4．（2023·天宁区·月考）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了　　人. 【详解】解：设每轮传染中，平均一个人传染了x人， 由题意可得：1+x+x（1+x）＝121， 整理得：（1+x）2＝121，解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去）， ∴每轮传染中，平均一个人传染了10人． 故答案为：10． 题型七 n选2问题（单双循环问题） 1．（2023·工业园区·期中）某校九年级各班进行拔河比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛28场．设共有x个班参赛，根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝28 B． C． D．x（x+1）＝28 【详解】解：由题意可得：28． 故选：C． 2．（2025·崇川区·月考）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数是（　　） A．5人 B．4人 C．3人 D．6人 【详解】解：设参加聚会的人数是x人， 由题意可得：x（x﹣1）＝10，解得：x1＝5，x2＝﹣4（不合题意，舍去）． ∴参加聚会的人数是5人． 故选：A． 3．（2024·海安市·期中）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 【详解】解：设有x个队参赛，由题意可得：x（x﹣1）＝90． 故选：D． 4．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有　　人． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包， 由题意可得：x（x﹣1）＝90，解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）． 故答案为：10． 题型一 立体几何问题 1．（2025·泰兴市·三模）综合与实践 主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为x cm，用x的代数式表示收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长； 任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高． 【详解】解：任务一：∵长方形硬纸板的长为80cm，宽为40cm，收纳盒的高为x cm， ∴BC＝（40﹣2x）cm，AB（40﹣x）（cm）， 答：收纳盒的底面ABCD的边BC的长为（40﹣2x）cm，AB的长为（40﹣x）cm； 任务二：设该收纳盒的高为x cm，则BC＝（40﹣2x）cm，AB＝（40﹣x）cm， 由题意可得：（40﹣x）（40﹣2x）＝600， 整理得：x2﹣60x+500＝0，解得：x1＝10，x2＝50（不合题意，舍去）． 答：该收纳盒的高为10cm． 2．（2024·扬州·期末）有一块长32cm，宽14cm的矩形铁皮． （1）如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为280cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． （2）由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为180的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为　　cm2． 【详解】解：（1）设正方形的边长为x cm， 由题意可得：（32﹣2x）（14﹣2x）＝280， 整理得：x2﹣23x+42＝0，解得：x1＝2，x2＝21（舍去）， 答：裁去的正方形的边长为2cm； （2）设左侧阴影正方形的边长为y cm， 由题意可得：， 整理得：y2﹣23y+22＝0，解得：y1＝1，y2＝22（舍去）， ∴盒子的底面宽为14﹣1×2＝12cm，长为， ∴右侧阴影长方形的长为32﹣1﹣15＝16cm， ∴裁剪下来的边角料面积为2×1×1+2×1×16＝34(cm2)， 故答案为：34． 题型二 动态几何问题 1．（2024·宜兴市·月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3cm，AC＝5cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为cm2，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．5s或3s D．5s 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3cm，AC＝5cm， ∴AB4（cm）， 当运动时间为t s时，APt cm，BQ＝t cm，BP＝（4t）cm， 由题意可得：BP•BQ，即•（4t）•t， 整理得：t2﹣8t+15＝0，解得：t1＝3，t2＝5， 当t＝3时，BQ＝1×3＝3，符合题意； 当t＝5时，BQ＝1×5＝5＞3，不合题意，舍去； ∴点P运动的时间是3s． 故选：B． 2．（2025·启东市·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，P是AB的中点．点M从A点出发以2cm/s向点C运动，点N从C点出发以2cm/s向点B运动，点Q是MN的中点，连接PQ．点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当PQ的长是时，点M的运动时间为　　s． 【详解】解：如图，以CB为x轴，CA为y轴，构造直角坐标系， 则点B的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6）， ∵点P是AB的中点， ∴点P的坐标为（4，3）， 6÷2＝3（秒），8÷2＝4（秒）， 当运动时间为t（0≤t≤3）秒时， 点N的坐标为（2t，0），点M的坐标为（0，6﹣2t），点Q的坐标为（t，3﹣t）， 由题意可得：2，整理得：t2﹣4t+2＝0， 解得：t1＝2，t2＝2， 经检验，t1＝2，t2＝2是所列方程的解，t1＝2符合题意，t2＝2不合题意，舍去， ∴点M的运动时间为（2）s． 故答案为：（2）． 3．（2024·大丰区·期末）在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （2）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】解：（1）由题意可得：AP＝2t cm，BQ＝4t cm，则PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， 在Rt△PBQ中，由勾股定理得：PB2+BQ2＝PQ2，即（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 整理得：t2﹣2t＝0，解得：t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去）， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （2）存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2，理由如下： 由题意可得：S长方形ABCD＝10×12＝120（cm2）， S△PBQPB•BP（10﹣2t）×4t＝﹣4t2+20t， ∴S五边形APQCD＝S长方形ABCD﹣S△PBQ＝120﹣（﹣4t2+20t）＝104， 整理得：t2﹣5t+4＝0，解得：t1＝4，t2＝1， 当t＝4时，BQ＝16cm＞12cm，不合题意，舍去； 当t＝1时，BQ＝4cm＜12cm，符合题意； ∴存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2，此时t的值为1． 4．（2025·崇川区·月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？ （2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【详解】解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的， 由题意可得：BP＝6﹣2t，CQ＝t，矩形的面积是12， 则（t+6﹣2t）×2＝2×6，解得：t； （2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为， ①当0＜t≤3时，如图1， 由题意可得：（6﹣2t﹣t）2+4＝5，解得：t或t； ②当3＜t≤4时，如图2， 由题意可得：（8﹣2t）2+t2＝5，整理得：5t2﹣32t+59＝0， 此时Δ＜0，此方程无解； 综上，当t或t时，点P与点Q之间的距离． 题型三 商品销售问题（升级版） 1．（2024·盐城·期末）体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． （2）为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 【详解】解：（1）设该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率为x， 由题意可得：25（1+x）2＝36，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率为20%； （2）设该市政府购买的这种运动器材的套数为m套， ∵2400×120＝288000（元），288000＜400000， ∴m＞120， 由题意可得：m（240050）＝400000， 整理得：m2﹣600m+80000＝0，解得：m1＝200，m2＝400， 当m＝200时，240050＝240050＝2000＞1500，符合题意； 当m＝400时，240050＝240050＝1000＜1500，不符合题意，舍去； 答：该市政府购买的这种运动器材的套数为200套． 2．（2024·崇川区·月考）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【详解】解：（1）由题意可知：每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）， 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元； （2）设每件T恤衫降价x元， 由题意可得：（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050， ∴x＝5或x＝25， 又∵优惠最大， ∴x＝25， ∴此时售价为100﹣25＝75（元）， 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元； （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 由题意可得：当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0， ∴x1＝10，x2＝20， ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%， ∴x≤7， ∴x无解， ∴小明每天不能获得1200元的利润． 3．（2024·南通·期末）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【详解】解：（1）设总共生产了a袋手工汤圆， 由题意可得：，解得：a＝9000， 经检验a＝9000是原方程的解， 答：总共生产了9000袋手工汤圆； （2）设促销时每袋应降价x元， 由题意可得：前10天的利润为：225×2×（25﹣13）+8（25﹣13﹣x）（225x）， 第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润： （15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]， ∴（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]＝40500， 解得：x1＝0，x2＝4． ∵要促销， ∴x＝4， ∴促销时每袋应降价4元． 4．（2024·无锡·二模）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系： 每箱售价x（元） 68 67 66 65 … 40 每天销量y（箱） 40 45 50 55 … 180 已知y与x之间的函数关系是一次函数． （1）求y与x的函数解析式； （2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ （3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%（m＜100），7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系是：y＝kx+b， 由题意可得：，解得：， ∴y与x之间的函数关系是：y＝﹣5x+380； （2）由题意可得：（x﹣40）（﹣5x+380）＝1600，解得：x1＝56，x2＝60， ∵顾客要得到实惠，售价低， ∴舍去x＝60， ∴x＝56， 答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元； （3）在（2）的条件下，当x＝56时，y＝100， 17号开始，到31号共计15天， 由题意可得：1600×16＝[56×（1﹣m%）﹣40×（1﹣10%）]×100×（1+2m%）×15+7120， 解得：m1＝20，m2（舍去）， 答：m的值为20． 1．（2024·泗洪县·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：方程的解法如下： 解：原方程变形为， 设，得方程k2﹣k﹣6＝0， 解这个方程得k1＝3，k2＝﹣2， 当k1＝3时，2x+3＝9，∴x＝3， 当k2＝﹣2时，无意义， 检验：把x＝3代入原方程，等式成立， ∴原方程的解为x＝3． 仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程： （1）； （2）（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）＝15． 【详解】解：（1）设，得方程k2﹣k﹣6＝0， 解得：k1＝3，k2＝﹣2， 当k1＝3时，，解得：， 经检验，，是原方程的解； 当k2＝﹣2时，，解得：， 经检验，，是原方程的解； ∴原方程的解为或； （2）∵（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）＝15． 变形得：（x2﹣5x+4）（x2﹣5x+6）＝15， 设x2﹣5x+5＝k，得方程（k﹣1）（k+1）＝15， 解得：k1＝4，k2＝﹣4， 当k1＝4时，x2﹣5x+5＝4，即x2﹣5x+1＝0， 解得：，； 当k2＝﹣4时，x2﹣5x+5＝﹣4，即x2﹣5x+9＝0， Δ＝b2﹣4ac＝25﹣36＝﹣11＜0，方程无实数解，舍去； 综上，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$