第2章 实数综合测试-【中考123】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程导练（北师大版2024）

参考答案及解析 第一章综合测试 1.B 2.B 3.A 4.C 5.A 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B [解析]如答图，作AF⊥BO于点 0 F,CG⊥BO于点G.因为∠AOC= ∠AOF+ ∠COG = 90°,∠A0F+ G C ∠OAF=90°,所以∠COG=∠OAF. A FD B E 在△A0F和△OCG中， 10题答图 所以△A0F≌△OCG(AAS),所以0G= AF=BD=4米.设A0=x米，在Rt△AFO中，AF2+0F2= AO2,即42+(x-1)2=x2,解得x=8.5,则CE=GB=OB- OG=8.5-4=4.5(米).故选B. 11.54 12.3,4或12,13 13.15 14.25 15.2或28 [解析]如答图①,过点A A 作AH⊥BC于点H.因为点A到BC 的距离为3 cm,所以AH=3 cm.在 B? P H C Rt△AHB中，由勾股定理，得 BH2= 15题答图① AB2-AH2=52-32=42,所以BH=4cm.当△ABP为直角三 角形时，分两种情况：①当∠APB=90°时，此时点P与点H 重合，由题意，得2t=4,解得t=2; ②如答图②,当∠BAP=90°时，作 A AH⊥BC于点H.因为BP=2tcm,BH =4 cm,所以HP=(2t-4)cm.由勾 B H C 股定理，得AP2=BP2-AB2=(2t)2 15题答图② -25,AP2=AH2+HP2=32+(2t-4)2,所以(2t)2-25=32 +(2t-4)2,解得1=5综上所述，当t为2或28时，△ABP 为直角三角形.故答案为2或38 16.解：(1)在直角三角形中，因为a=8cm,c=17 cm, 所以b2=c2-a2=172-82=225(cm2), 所以b=15cm, 所以直角三角形的周长为8+15+17=40(cm). (2)在Rt△ABC中，因为∠C=90°,AB=15,AC=12, 所以BC2=AB2-AC2=81, 所以BC=9. 由面积公式，得，SAm =—-4C·BC=2AB·CD, 所以(CD=ACBC=12×?9=7.2 故AB边上的高CD的长为7.2. 17.解：设CE=a,则BC=4a,BE=3a. 因为四边形ABCD为正方形，且F为DC的中点， 所以AB=AD=CD=BC=4a,DF=CF=2a. 由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=(4a)2+(2a)2=20a2, EF2=CE2+CF2=a2+(2a)2=5a2, AE2=AB2+BE2=(4a)2+(3a)2=25a2. 21.解：(1)n2-1 2n n2+1 (2)猜想：以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 理由：因为a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n?+2n2+1, c2=(n2+1)2=n?+2n2+1, 所以a2+b2=c2, 所以以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 因为AF2+EF2=20a2+5a2=25a2, 所以AF2+EF2=AE2. 由勾股定理的逆定理，得∠AFE=90°,即∠AFE是直角. 18.解：如答图，过点E作EF⊥AB于点F. 设AC=AE=x m,则AB=(x+0.7)m. 在Rt△AFE中，因为EF=3m,AF=AB- BF=x+0.7-1.7=(x-1)m,AF2+EF2 =AE2, A F- E cto.7mD1.7m 18题答图 22.解：(1)不能.理由：如答图①,若直线CD A 平分△ABC的面积，则SADc=S△DBC, D 所以AD=BD. B< C 因为AC≠BC, 22题答图① 所以AD+AC≠BD+BC, 所以直线CD不平分△ABC的周长， 所以过点C不能画出△ABC的一条“等分积周线”. 所以(x-1)2+32=x2,解得x=5, 所以AB=5+0.7=5.7(m). 故宣传牌(AB)的高度为5.7m. 19.解：(1)4 96 [解析]因为HE=a-b=2, 所以S正方形EFCH =HE2=4. 因为AD=c=10, 所以S正方形ABCD=AD2=100, 所以四个直角三角形的面积和=S正方形ABCD-S正方形ECM = 100-4=96. (2)由(1)可知四个直角三角形的面积和为96, 所以4×2ab=96 解得2ab=96. 因为a2+b2=c2=100, E D A B 所以SAEF=S△DEF· E C 因为∠B=∠C=90°,AB=3,BC=8, 22题答图② CD=5, 所以在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出 AB2+BE2=CE2+DC2, 即32+x2=(8-x)2+52, 解得x=5, 所以BE=5,CE=3, 所以AB+BE=CE+DC,SABE=S△DCE· 因为S四边形ABEP=SAABE+SAAEF,S四边形DCER=S△DE+S△DCE, 所以S四边形ABER=S四边形DCEF,AF+AB+BE=DF+EC+DC, 所以直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”. (2)如答图②,连接AE,DE,设BE=x. 因为EF垂直平分AD, 所以AE=DE,AF=DF, 所以(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196. 20.解：如答图，过点D作DE⊥AB交AB于 A 点E,则点D,D',E在同一直线上. 由题意，得AE=AB-BE =17-2= 15(m),CE=AE+AC=15+5=20(m). 在Rt△AED中，由勾股定理，得 E B 20题答图 DE2=AD2-AE2=252-152=400, 23.解：(1)根据折叠的性质，得AF=CF. 因为四边形ABCD是长方形， 所以∠B=90°. 设BF=x,则AF=CF=AB-BF=5-x. 在Rt△BFC中，因为BF2+BC2=FC2, 所以x2+32=(5-x)2, 解得2x=5,,所以BF=5 所以DE=20m. 在Rt△CED'中，由勾股定理，得 D'E2=CD12-CE2=252-202=225, 所以D'E=15m, 所以DD'′=DE-D'E=5m. 答：工程车向教学楼方向行驶5米，长25m的云梯刚好接触 到AC的顶部点C处. (2)因为四边形ABCD是长方形， 所以∠A=∠C=90°. 根据折叠的性质，得∠A'=∠A=90°,A'D=AD. 又因为BC=AD,所以A'D=CB,∠A'=∠C. 因为A'B交CD于点E,所以∠A'ED=∠CEB, 所以△A'ED≌△CEB,所以ED=EB. 设CE=y,则ED=EB=DC-CE=5-y. 在Rt△BCE中，因为CE2+BC2=BE2, 所以y2+32=(5-y)2,解得y=号，所以CE=5 (3)因为四边形ABCD是长方形，所以∠A=∠D=90°. 根据折叠的性质，得∠A'=∠A=90°,A'P=AP,A'B=AB=5, 所以∠D=∠A'=90°. 又因为DF=A'F,∠DFP=∠A'FE, 所以△DFP≌△A'FE,所以DP=A'E,PF=EF, 所以DE=PA'. 又因为AD=BC=3, 设PA=m,则DP=A'E=AD-PA=3-m,DE=PA'=m, 所以EC=5-m,BE=5-(3-m)=2+m. 在Rt△ECB中，(2+m)2=32+(5-m)2,解得，m=1, 所以CE=5-15-2 第二章综合测试 1.C 2.D 3.D 4.D 5.B 6.B 7.B 8.B 9.C 10.B [解析]如答图所示，作MB⊥BN,BPm P 平分∠MBN,分别在射线 BM,BP,BN上 A D 取点A,D,C,令BA=a,BC=b,BD=c,连 a Ec 接AC,AD,CD.因为AB⊥BC,所以AC=B b C N √AB2+BC2=√a2+b2.因为BP平分 10题答图 ∠MBN,所以∠ABD=∠CBD=45°.过点A作AE⊥BD于点 E,过点C作CF⊥BD于点F.因为AE⊥BD,∠ABE=45°,所 以△ABE为等腰直角三角形，结合勾股定理易知AE=BE= 2a,,所以ED=BD=BE=c-2a,所以由勾股定理，得 AD=√AE+DE=√(2。)+(一吾) =√222+2-/2ac-+2a2=√a2+2-F2ae 同理可得 CD=√b2+c2-√2bc.因为AD+CD≥AC,所以 √a2+c2-√2ac+√b2+c-√2bc≥√a2+b2.故选B. 11.2(答案不唯一) 12.12-√3 13.> 14.24 15.8-√19 16.解：(1)原式=5-2-(3-2√3+1)=3-3+2√3-1=2√3-1. (2)原式=√48-3-√×12+2√6=4-16+2√6=4+√6 17.解：(1){-2,8,1.212112112⋯(·相邻两个2之间1的 个数逐渐增加1),} (2){-1.234, } —19— (3){-1-31,0,-√9,(√2-√3)°,⋯}; (4){21.3,0,-√8,√8,(√2-√3)°,3?2,1.2121121112⋯ (相邻两个2之间1的个数逐渐增加1),} 18.解：根据题意，得2a-1=9,3a+b-1=16,c=3, 所以a=5,b=2,c=3. 因为a+2b-c2=5+2×2-32=0, 所以a+2b-c2的平方根是0. 19.解：(1)裁剪方案如答图所示.(单位：cm) (2)不能.理由如下： 因为长方形纸片的长、宽之比为3:2, 15 20 所以设长方形纸片的长为3x cm,则宽 20 为2xcm, 19题答图 则3x·2x=300,解得x=5√2或x=-5√2(舍), 所以长方形纸片的长为15√2cm. 又因为(15√2)2=450>400=202,即15√2>20, 所以小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片. 20.解：(1)>[解析]因为√5≈2.236,√10≈3.162,所以√5+ 1≈3.236.因为3.236>3.162,所以√5+1>√10. (2)因为∠C=90°,BC=3,BD=AC=1, 所以CD=2,AD=√CD2+AC2=√5,AB=√AC2+BC2=√10, 所以BD+AD=√5+1. 又因为在△ABD中，AD+BD>AB,所以√5+1>√10. 21.解：(1)因为2+(-2)=0,且23=8,(-2)3=-8,有8-8=0, 所以结论成立，即“若两个数的立方根互为相反数，则这两 个数也互为相反数”是成立的. (2)由(1)验证的结果知，1-2x+3x-5=0, 所以x=4, 所以1-√x=1-2=-1. 22.解：(1)9+2√3 15+2√3 [解析]S?-S?=(a+2√b)2- (a+√b)2=(2a+3√b)·√b=2a√b+3b,当a=1,b=3时， S?-S?=9+2√3.S?-S?=(a+3√b)2-(a+2√b)2=(2a+ 5√b)·√b=2a√b+5b,当a=1,b=3时，S?-S?=15+2√3. 故答案为9+2√3,15+2√3. (2)S?+1-S。=6n-3+2√3.验证：Sa+1-S?=(1+√3n)2- [1+(n-1)√3]2=[2+(2n-1)3]×√3=3(2n-1)+ 2√3=6n-3+2√3. (3)当a=1,b=3时，T=t?+t?+t?+⋯+t5o=S?-S?+S?- S?+S?-S?+⋯+S?-Ss?o=S?-S?=(1+50√3)2-1= 7 500+100√3. 23.解：(1)原式= 2×(√3-1+√5-√3+√7-√5+⋯+√121 -√119)=2×(√121-1)=2×(11-1)=5. (2)①因为=√2-1=72+1,所以a-1=√2 所以(a-1)2=2,a2-2a+1=2,a2-2a=1, 所以4a2-8a+1=4(a2-2a)+1=4×1+1=5. ②0 [解析]a3-3a2+a+1=a(a2-2a)-a2+a+1=a- a2+a+1=-(a2-2a)+1=-1+1=0. 第三章综合测试 1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.B 7.D 8.B 9.C 10.C 11.HOPE 12.(-3,-2) 13.1 14.(2,12) 15.√10 [解析]如答图，平移CD使 B'. 点D落在点B处，连接B'C,则点C 的对应点为B',即B'C= BD.因为 CD=1,B(0,2),所以点B'(-1,2). 作点A关于x轴的对称点A',当点 y4 B 0 C Dx A'Y 15题答图 A′,C,B'在同一条线上时，AC+BD 最小.因为A(0,1),所以A'(0,-1).连接A'B′,则AC+BD 的最小值为A'B'=√12+(2+1)2=√10. 16.解：(1)(1,4)(4,2)(7,1) (2)(7,3)(3,3) (3)应该将从上至下数的第2行与第4行对调，同时将从左 至右数的第2列与第5列对调. 17.解：△A?B?C?如答图所示. 4Y B A .A B 0 G C 17题答图 由答图可得A?(-1,3),B?(-3,3),C?(-4,-1). 18.解：(1)建立平面直角坐标系如答图所示，学校和邮局的坐 标分别为(1,3),(0,-1). ↑y 学校 游乐城 李明家Q水果店 邮局汽车站 商店公园 18题答图 (2)如答图，用线段顺次连接李明家和他在路上经过的地 点，得到的图形是帆船. 19.解：(1)因为直线PQ//y轴，所以2a-2=4,所以a=3, 所以a+5=3+5=8,所以P(4,8). (2)因为点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， 所以12a-21=la+51,2a-2<0,a+5>0, 所以2-2a=a+5,所以a=-1, 所以原式=(-1)2?02?+3-1=-1+(-1)=-2. 20.解：(1)2 3 4 K (2)过点C作CD⊥OB于点D,如答图所示. C 由(1)可知，A(0,2),B(3,0),C(2,4), A 所以OA=2,0D=2,CD=4,0B=3, 所以BD=OB-OD=1, 0 DB 所以S四边Enoe=×(2+4)×2+2×1×4=8. 20题答图 21.解：(1)(3,4)(0,2) (2) (3)由题意可得Au=- 因为点P在y轴上，则设P(0,a), 所以-2×3×1a-21=2,解得a=13或a=-5, 所以点P的坐标为|0.号)或(0,-号) 22.解；(1)AB=√(-2-3)2+(-1-5)2=√61. (2)AB=ly?-y?l=1-1-51=6. (3)因为AB=√(-3-0)2+(2-6)2=5, BC=13-(-3)I=6,AC=√(3-0)2+(2-6)2=5, 所以AB=AC,所以△ABC为等腰三角形. 23.解：(1)4 6 (4,6) [解析]因为a,b满足√a-4+1b-61=0,所以a-4=0, b-6=0,解得a=4,b=6.因为四边形OABC为长方形，所以 点B的坐标是(4,6). (2)当点P移动4秒时，共移动了8个单位长度. 因为OA=4,0C=6, 所以此时点P在线段CB上，离点C的距离是8-6=2个单 位长度，所以点P的坐标是(2,6). (3)由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5 个单位长度时，存在两种情况： ①当点P在OC上时，点P移动的时间是5÷2=2.5(秒); ②当点P在BA上时， 点P移动的时间是(6+4+1)÷2=5.5(秒). 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时， 点P移动的时间是2.5秒或5.5秒. 第四章综合测试 1.C 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B 7.C 8.C 9.D 10.C [解析]当x=1时，y=2,所以点A?的坐标为(1,2).当y =-x=2时，x=-2,所以点A?的坐标为(-2,2).同理可 得A?(-2,-4),A?(4,-4),A?(4,8),A?(-8,8),A?(-8, -16),A?(16,-16),A,(16,32),A??(-32,32),⋯所以 A4n+1(20,2+1),A4n+2(-2+1,20+1),A4n+3(-20+1, -22#+2),A4n+4(2#+2,-22#+2)(n为自然数).因为2025= 506×4+1,所以点A?025的坐标为(2505×2,2506×2+1),即(2012, 21013).故选C. 11.y=-x+1(答案不唯一) 12.> 13.-1 14.6 15.2√5 [解析]如答图，已知P(6,2),在正方形OABC中，0C =CB=BA=AO=6.因为直线l?:y=x经过点0(0,0),B(6, 6),所以直线l?:y=x是正方形OABC的对称轴.因为点 P(6,2)在BC上，所以可得点P关于直线l:y=x的对称点 P'(2,6).当x=6时，y=2x=3,即直线L:y=2经过点 H(6,3)过点P'(2,6)作P'N垂直直线L?:y=2于点N, 即P'N⊥0H于点N,交直线l?:y=x于点M.因为点P(6,2) 和点P'(2,6)关于直线l?:y=x 对称，所以PM=P′M,所以 PM+MN=P'M+MN=P'N,即PM+MN的最小值为P'N的 长，所以OH=√62+32=3√5.因为SAPon=2OH·P′N= 3.25PyN,Scm= Sz m- 5o-5sm-=5Acm=6×6- ×2×6-×4×3-2×6×3=15,所35PN=15. 解得P'N=2√5,即PM+MN的最小值为2√5. 4Y. 8 7 6A P' B y=x 5 4 3 2 十 C 0 5 6 x 15题答图 16.解：(1)函数图象如答图. y4 y-26 0 6 16题答图 —20— 八年级数学·北师版·上册 考号 装⋯ 班级 姓名 订⋯⋯线内⋯ 不-要答-题 全程导练 第二章综合测试 满分：120分 题 号 一 二 三 总 分 得 分 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列根式是最简二次根式的是 ( ) A√ B.√0.3 C.√3 D.√20 2.下列计算正确的是 ( ) A.√2+√3=√5 B.4√3-2√3=2 C.√4×3=4√3 D√3=3 3.设面积为3的正方形的边长为x,那么关于x的说法正确的是( ) A.x是有理数 B.x=±√3 C.x不存在 D.x是1和2之间的实数 4.已知x没有平方根，且lxl=64,则x的立方根为 ( ) A.8 B.-8 C.±4 D.-4 5.若a,b均为正整数，且a>√11,b>311,则a+b的最小值是( ) A.8 B.7 C.6 D.5 6.(重庆沙坪坝区期末)如图，数轴上有0,A,B,C,D五点，根据图中各点 所表示的数，表示数√2(√11-√2)的点会落在 ( ) 0 A B C D -1 0 1 2 3 4 5 6题图 A.点0和点A之间 B.点A和点B之间 C.点B和点C之间 D.点C和点D之间 7.按如图所示的程序计算，若开始输入的n的值为√2,则最后输出的结 果是 ( ) INo 输人n 计算n(n+1) Yes >15 输出结果 7题图 A.14 B.8+5√2 C.16 D.14+√2 8.用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD,如图所示，它的 面积是75,AE=3√3,图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方 形的周长为 ( ) A.2√3 Ar E B B.4√3 C.5√3 D.6√3 D- C8题图 9.已知三角形三边长为a,b,c,如果√a-6+1b-81+(c-10)2=0,那 么△ABC是 ( ) A.以a为腰的等腰三角形 B.以b为斜边的直角三角形 C.以c为斜边的直角三角形 D.以c为底的等腰三角形 10.新考法》已知a,b,c为正数，则√a2+c2-√2ac+√b2+c2-√2be √a2+b2.横线上应该填入(提示：数形结合) ( ) A.≤ B.≥ C.= D.< 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.(广西中考)写出一个比√3大的整数，可以是______ 12.已知10+√3的整数部分是a,小数部分是b,则a-b=_______ 13.比较大小：√20____4.4.(填“>”“<”或“=”) 14.已知x=√5+√3,y=√5-√3,则x2+4xy+y2的值为_______ 15.(教材母题变式)如图，点B,C在数轴上表示的数分别是4,√19,若 AB=BC,则数轴上点A表示的数是______ ABC 0 4.19 15题图 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或 推理过程) 16.(10分)(辽宁沈阳期中)计算： (1)(√5-√2)(√5+√2)-(√3-1)2; (2)√48-3-√×√12+√/24 17.(8分)把下列各数分别填入相应的集合里. 1-31,21 3,-1 234,2,0,-5,,8,(√- √3)°,3?2,1.2121121112⋯(相邻两个2之间1的个数逐渐增加1). (1)无理数集合：{ ⋯}; (2)负分数集合：{ ⋯; (3)整数集合：{ ⋯}; (4)非负数集合：{ ⋯. 18.(8分)已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的平方根是±4,c是 √13的整数部分，求a+2b-c2的平方根. 19.(8分)小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁 出一块面积为300 cm2的长方形纸片. (1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案； (2)若使长方形的长、宽之比为3:2,小丽能用这块纸片裁出符合要求 的纸片吗?若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说 明理由. —3— 20.(8分)为了比较√5+1与√10的大小，小伍和小陆两名同学对这个问 题分别进行研究. (1)小伍同学利用计算器得到了√5≈2.236,√10≈3.162,所以确定 √5+1___√10(填“>”“<”或“=”); (2)小陆同学受到前面学习的在数轴上用点表示无理数的启发，构造 出如图所示的图形，其中∠C=90°,BC=3,点D在BC上且BD= AC=1.请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学对√5+1 和√10的大小做出准确的判断. A B D C 20题图 21.(8分)我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立 方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立 方根互为相反数，则这两个数也互为相反数. (1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； (2)若3√1-2x与33x-5互为相反数，求1-√x的值. 22.(12分)(湖南张家界期末)阅读下面材料：将边长分别为a,a+√b, a+2√b,a+3√b的正方形面积分别记为S?,S?,S?,S?,则S?-S?= (a+√b)2-a2=[(a+√b)+a]·[(a+√b)-a]=(2a+√b)·√b= b+2a√b.例如：当a=1,b=3时，S?-S?=3+2√3. 根据以上材料，解答下列问题： (1)当a=1,b=3时，S?-S?=________,S?-S?=_______; (2)当a=1,b=3时，把边长为a+n√b的正方形面积记作Sn+1,其中 n是正整数，根据(1)中的计算结果，猜想Sn+1-S。等于多少，并 验证你的猜想； (3)在(2)的条件下，令t?=S?-S?,t?=S?-S?,t?=S?-S?,⋯,tn= S?+1-S,且T=t?+t?+t?+⋯+t50,求T的值. 23.(13分)小明在解决问题：已知(2+3,求2a2-8a+1的值. 他是这样分析与解的： 因为“2+5(2+5)(2-5)=2-5 所以a-2=-√3, 所以(a-2)2=3,a2-4a+4=3,a2-4a=-1, 所以2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：3+1+5+5污+5+√121+/19 (2)若a=√2-1 ①求4a2-8a+1的值； ②直接写出代数式的值：a3-3a2+a+1=_____ —4—