第1章 勾股定理综合测试-【中考123】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程导练（北师大版2024）

八年级数学·北师版·上册 考号 装 班级 姓名 订线⋯⋯内不要⋯答⋯题⋯ 全程导练 第一章综合测试 满分：120分 题 号 一 二 三 总 分 得 分 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(陕西西安期末)下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画 正方形得到的.每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 其中S的值恰好等于5的是 ( ) S 9 4 4 ④③ 4 9 S S A B C D 2.已知一个直角三角形三边的平方和是50,则斜边长为 ( ) A.4 B.5 C.10 D.25 3.如图，在△ABC中，AB=AC,AB=5,BC=8,则该三角形的面积为( ) A.12 B.6 C.10 D.8 A A 5 D B C B C 3题图 5题图 4.放学以后，红红和晓晓从学校分开，分别沿东南方向和西南方向回家， 若红红和晓晓行走的速度都是50米/分，红红用12分到家，晓晓用16 分到家，则红红家和晓晓家的直线距离为 ( ) A.600米 B.800米 C.1 000米 D.不能确定 5.如图，在△ABC中，AB⊥AC,AB=5cm,BC=13cm,BD是AC边上的中 线，则△BCD的面积是 ( ) A.15cm2 B.30cm2 C.60 cm2 D.65cm2 6.如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D,已知 AC=13,BC=11,AD=12,则AB的长为 ( ) A.15 B.16 C.18 D.20 A A C B4 C D B 6题图 7题图 7.如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论 错误的是 ( ) A.AB=5 B.∠C=90° C.AC2=20 D.BC2=4 8.如图，已知圆柱底面周长为8 dm,高为3 dm,在圆柱的侧面上，过点A 和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最小为 ( ) A.10 dm B.8 dm C.5 dm D.11 dm 0 A C B C 细m A/ D B E 8题图 9题图 10题图 9.[传统文化]“折竹抵地”问题源自《九章算术》,即：今有竹高一丈，末 折抵地，去本四尺，问折者高几何?意思是：一根竹子，原高一丈，一阵 风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图),则 折断后的竹子高度为多少尺?(1丈=10尺) ( ) A.3 B.5 C.4.2 D.4 10.(河北石家庄期末)如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A 处绕着点0经过最低点B,最终荡到最高点C处，若∠AOC=90°,点 A与点B的高度差AD=1米，水平距离BD=4米，则点C与点B的高 度差CE为 ( ) A.4米 B.4.5米 C.5米 D.5.5米 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.若△ABC的三边a,b,c满足la-91+(b-12)2+(c-15)2=0,则 △ABC的面积为________ 12.已知一组勾股数中有一个数是5,另外两个数可以是_____. 13.如图，在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一 只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边，另一只爬到树顶D后 直接跃到A处，距离以直线计算.若两只猴子所经过的距离相等，则 这棵树高______米. B P C 15题图 14.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图),已知斜放置的三个正方 形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S?,S?, S?,S?,按此规律继续摆放，则S?+S?+S?+S?+⋯+S??=____ 15.(江苏无锡期中)如图，A是射线BC外一点，连接AB,若AB=5cm,点A 到BC的距离为3cm,动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运 动.设运动的时间为ts,当t为______时，△ABP为直角三角形. D B A C 13题图 A S1 S? 2 3S? s 14题图 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或 推理过程) 16.(10分)(1)如图，已知直角三角形一直角边a=8cm,斜边c=17 cm, 求这个直角三角形的周长. b a c 16题图 (2)在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=15,AC=12,求AB边上的高CD 的长. 17.(8分)如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且 CE=ΔBC你能说明∠AFE是直角吗? A D F B E C 17题图 18.(8分)如图①,某市创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，图② 为从此场景中抽象出的数学模型，宣传牌(AB)顶端有一根绳子 (AC),自然垂下后，绳子底端离地面还有0.7m(即BC=0.7m),工 作人员将绳子底端拉到离宣传牌3m处(即点E到AB的距离为 3m),绳子正好拉直，已知工作人员身高(DE)为1.7m,求宣传牌 (AB)的高度. A E Ct.7mD1.7m 18题图① 18题图② 19.(8分)如图是“赵爽弦图”,其中△ABH,△BCG,△CDF和△DAE是 四个全等的直角三角形，四边形 ABCD和 EFGH都是正方形，根据这 个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设AD=c,AE=a,DE=b,取 c=10,a-b=2. (1)正方形 EFGH的面积为________,四个直角三角形的面积和为 (2)求(a+b)2的值 Ar B G H F E D c 19题图 —1— 20.(8分)如图，某校高17m的教学楼AB楼顶上有一块高5m的校训宣 传牌AC,为美化环境，对校训宣传牌AC进行维护.一辆高2m的工程 车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯(云梯最长25m)刚好接触到 AC的底部点A处.问：工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云 梯刚好接触到AC的顶部点C处? C 吕 D D B M 20题图 21.(8分)综合探究. 【知识回顾】能够成为直角三角形的三条边长的三个正整数a,b,c称 为勾股数. 在一次数学活动课上，王老师设计了如下数表： 【规律探究】 (1)分别观察a,b,c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数 式表示：a=___,b=______,c=_____; 【规律验证】 (2)猜想：以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形?并说明理由. n 2 3 4 5 ⋯ a 3 8 15 24 ⋯ b 4 6 8 10 ... c 5 10 17 26 ⋯ 22.(12分)新考法定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分 该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的 “等分积周线”. (1)如图①,已知△ABC,AC≠BC,过点C能否画出△ABC的一条“等 分积周线”?若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由； (2)如图②,在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°,EF垂直平分AD,垂 足为F,交BC于点E,已知AB=3,BC=8,CD=5.试说明：直线 EF为四边形ABCD的“等分积周线”. E D A Ar B- C Bh E\ C 22题图① 22题图② 23.(13分)(内蒙古包头期中)如图，在长方形ABCD中，AB=CD=5,BC =AD=3. (1)如图①,将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落 在点D′处，求BF的长； (2)如图②,将△ABD沿BD翻折，若A'B交CD于点E,求CE的长； (3)如图③,P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折得到△A'BP, A'B,A'P分别交CD边于点E,F,且DF=A'F,求CE的长. D' A′ D.⋯ E C D< E C D A'E CF A- B A-- B A- B 23题图① 23题图② 23题图③ —2— 参考答案及解析 第一章综合测试 1.B 2.B 3.A 4.C 5.A 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B [解析]如答图，作AF⊥BO于点 0 F,CG⊥BO于点G.因为∠AOC= ∠AOF+ ∠COG = 90°,∠A0F+ G C ∠OAF=90°,所以∠COG=∠OAF. A FD B E 在△A0F和△OCG中， 10题答图 所以△A0F≌△OCG(AAS),所以0G= AF=BD=4米.设A0=x米，在Rt△AFO中，AF2+0F2= AO2,即42+(x-1)2=x2,解得x=8.5,则CE=GB=OB- OG=8.5-4=4.5(米).故选B. 11.54 12.3,4或12,13 13.15 14.25 15.2或28 [解析]如答图①,过点A A 作AH⊥BC于点H.因为点A到BC 的距离为3 cm,所以AH=3 cm.在 B? P H C Rt△AHB中，由勾股定理，得 BH2= 15题答图① AB2-AH2=52-32=42,所以BH=4cm.当△ABP为直角三 角形时，分两种情况：①当∠APB=90°时，此时点P与点H 重合，由题意，得2t=4,解得t=2; ②如答图②,当∠BAP=90°时，作 A AH⊥BC于点H.因为BP=2tcm,BH =4 cm,所以HP=(2t-4)cm.由勾 B H C 股定理，得AP2=BP2-AB2=(2t)2 15题答图② -25,AP2=AH2+HP2=32+(2t-4)2,所以(2t)2-25=32 +(2t-4)2,解得1=5综上所述，当t为2或28时，△ABP 为直角三角形.故答案为2或38 16.解：(1)在直角三角形中，因为a=8cm,c=17 cm, 所以b2=c2-a2=172-82=225(cm2), 所以b=15cm, 所以直角三角形的周长为8+15+17=40(cm). (2)在Rt△ABC中，因为∠C=90°,AB=15,AC=12, 所以BC2=AB2-AC2=81, 所以BC=9. 由面积公式，得，SAm =—-4C·BC=2AB·CD, 所以(CD=ACBC=12×?9=7.2 故AB边上的高CD的长为7.2. 17.解：设CE=a,则BC=4a,BE=3a. 因为四边形ABCD为正方形，且F为DC的中点， 所以AB=AD=CD=BC=4a,DF=CF=2a. 由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=(4a)2+(2a)2=20a2, EF2=CE2+CF2=a2+(2a)2=5a2, AE2=AB2+BE2=(4a)2+(3a)2=25a2. 21.解：(1)n2-1 2n n2+1 (2)猜想：以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 理由：因为a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n?+2n2+1, c2=(n2+1)2=n?+2n2+1, 所以a2+b2=c2, 所以以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 因为AF2+EF2=20a2+5a2=25a2, 所以AF2+EF2=AE2. 由勾股定理的逆定理，得∠AFE=90°,即∠AFE是直角. 18.解：如答图，过点E作EF⊥AB于点F. 设AC=AE=x m,则AB=(x+0.7)m. 在Rt△AFE中，因为EF=3m,AF=AB- BF=x+0.7-1.7=(x-1)m,AF2+EF2 =AE2, A F- E cto.7mD1.7m 18题答图 22.解：(1)不能.理由：如答图①,若直线CD A 平分△ABC的面积，则SADc=S△DBC, D 所以AD=BD. B< C 因为AC≠BC, 22题答图① 所以AD+AC≠BD+BC, 所以直线CD不平分△ABC的周长， 所以过点C不能画出△ABC的一条“等分积周线”. 所以(x-1)2+32=x2,解得x=5, 所以AB=5+0.7=5.7(m). 故宣传牌(AB)的高度为5.7m. 19.解：(1)4 96 [解析]因为HE=a-b=2, 所以S正方形EFCH =HE2=4. 因为AD=c=10, 所以S正方形ABCD=AD2=100, 所以四个直角三角形的面积和=S正方形ABCD-S正方形ECM = 100-4=96. (2)由(1)可知四个直角三角形的面积和为96, 所以4×2ab=96 解得2ab=96. 因为a2+b2=c2=100, E D A B 所以SAEF=S△DEF· E C 因为∠B=∠C=90°,AB=3,BC=8, 22题答图② CD=5, 所以在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出 AB2+BE2=CE2+DC2, 即32+x2=(8-x)2+52, 解得x=5, 所以BE=5,CE=3, 所以AB+BE=CE+DC,SABE=S△DCE· 因为S四边形ABEP=SAABE+SAAEF,S四边形DCER=S△DE+S△DCE, 所以S四边形ABER=S四边形DCEF,AF+AB+BE=DF+EC+DC, 所以直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”. (2)如答图②,连接AE,DE,设BE=x. 因为EF垂直平分AD, 所以AE=DE,AF=DF, 所以(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196. 20.解：如答图，过点D作DE⊥AB交AB于 A 点E,则点D,D',E在同一直线上. 由题意，得AE=AB-BE =17-2= 15(m),CE=AE+AC=15+5=20(m). 在Rt△AED中，由勾股定理，得 E B 20题答图 DE2=AD2-AE2=252-152=400, 23.解：(1)根据折叠的性质，得AF=CF. 因为四边形ABCD是长方形， 所以∠B=90°. 设BF=x,则AF=CF=AB-BF=5-x. 在Rt△BFC中，因为BF2+BC2=FC2, 所以x2+32=(5-x)2, 解得2x=5,,所以BF=5 所以DE=20m. 在Rt△CED'中，由勾股定理，得 D'E2=CD12-CE2=252-202=225, 所以D'E=15m, 所以DD'′=DE-D'E=5m. 答：工程车向教学楼方向行驶5米，长25m的云梯刚好接触 到AC的顶部点C处. (2)因为四边形ABCD是长方形， 所以∠A=∠C=90°. 根据折叠的性质，得∠A'=∠A=90°,A'D=AD. 又因为BC=AD,所以A'D=CB,∠A'=∠C. 因为A'B交CD于点E,所以∠A'ED=∠CEB, 所以△A'ED≌△CEB,所以ED=EB. 设CE=y,则ED=EB=DC-CE=5-y. 在Rt△BCE中，因为CE2+BC2=BE2, 所以y2+32=(5-y)2,解得y=号，所以CE=5 (3)因为四边形ABCD是长方形，所以∠A=∠D=90°. 根据折叠的性质，得∠A'=∠A=90°,A'P=AP,A'B=AB=5, 所以∠D=∠A'=90°. 又因为DF=A'F,∠DFP=∠A'FE, 所以△DFP≌△A'FE,所以DP=A'E,PF=EF, 所以DE=PA'. 又因为AD=BC=3, 设PA=m,则DP=A'E=AD-PA=3-m,DE=PA'=m, 所以EC=5-m,BE=5-(3-m)=2+m. 在Rt△ECB中，(2+m)2=32+(5-m)2,解得，m=1, 所以CE=5-15-2 第二章综合测试 1.C 2.D 3.D 4.D 5.B 6.B 7.B 8.B 9.C 10.B [解析]如答图所示，作MB⊥BN,BPm P 平分∠MBN,分别在射线 BM,BP,BN上 A D 取点A,D,C,令BA=a,BC=b,BD=c,连 a Ec 接AC,AD,CD.因为AB⊥BC,所以AC=B b C N √AB2+BC2=√a2+b2.因为BP平分 10题答图 ∠MBN,所以∠ABD=∠CBD=45°.过点A作AE⊥BD于点 E,过点C作CF⊥BD于点F.因为AE⊥BD,∠ABE=45°,所 以△ABE为等腰直角三角形，结合勾股定理易知AE=BE= 2a,,所以ED=BD=BE=c-2a,所以由勾股定理，得 AD=√AE+DE=√(2。)+(一吾) =√222+2-/2ac-+2a2=√a2+2-F2ae 同理可得 CD=√b2+c2-√2bc.因为AD+CD≥AC,所以 √a2+c2-√2ac+√b2+c-√2bc≥√a2+b2.故选B. 11.2(答案不唯一) 12.12-√3 13.> 14.24 15.8-√19 16.解：(1)原式=5-2-(3-2√3+1)=3-3+2√3-1=2√3-1. (2)原式=√48-3-√×12+2√6=4-16+2√6=4+√6 17.解：(1){-2,8,1.212112112⋯(·相邻两个2之间1的 个数逐渐增加1),} (2){-1.234, } —19—