第2章 实数(课前导学)-【中考123】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程导练（北师大版2024）

参考答案 参 考 答 案 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 知识要点 1平方和 2斜边 3a2 ④b25c264 78 89 925 10ScⅡS? 对点训练 1.(1)5 (2)6 (3)13 2.(1)25 (2)S?=S?+S? 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 知识要点 113 对点训练 1.解：因为2=4×2ab+(b-a)2, 整理，得c2=2ab+b2-2ab+a2,所以a2+b2=c2. 2.解：由题意，得AC=400m,AB=500 m. 在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AB2=BC2+AC2, 即5002=BC2+4002,所以BC=300m, 所以300÷10=30(m/s)=108(km/h). 答：敌方汽车的速度是108 km/h. 2 一定是直角三角形吗 知识要点 1直角 2直角 3C 对点训练 1.解：(1)a2+b2=152+82=172=c2, 所以该三角形是直角三角形，其中边c所对的角是直角. (2)a2+b2=132+142=365≠c2, 所以该三角形不是直角三角形. 2.8 32 40 直角 3.(1)A(2)15 3 勾股定理的应用 对点训练 1.解：在Rt△COD中，CD=AB=25米， CO=A0-AC=24-4=20(米), 所以DO2=CD2-CO2=252-202=225, 所以DO=15米， 所以此时梯子的底部B到墙的距离为15米. ☆问题解决策略：反思 对点训练 1.解：可以把A和C'所在的两个平面展开到一个平面 内，则两点之间线段最短. 根据勾股定理，得AC12=(2+2)2+22=20. 答：最短路程的平方是20. 2.解：将葛藤缠绕的状态展开如答图，一条直角边(即枯 木的高)BC=20尺， B 另一条直角边AC=5×3=15(尺). 由勾股定理，得AB2=BC2+AC2, 所以AB2=202+152=252, 所以AB=25尺. A C 因此葛藤的最短长度为25尺. 2题答图 3.解：不同表面的最短线路展开后如答图所示，有两种 情况. B 8cm 12cm A8cm 3题答图② B 12cm A8cm 8cm 3题答图① 如答图①,因为AB2=122+(8+8)2=400, 所以AB=20 cm. 如答图②,AB2=82+(12+8)2=464. 因为464>400,所以蚂蚁要爬行的最短路程是20cm. 4.解：如答图，将木块展开. 4题答图 由题意可知，长相当于是(AB+2个正方形的边长), 所以长为20+2×2=24(米),宽为18米， 所以242+182=302,所以最短路程为30米. 5.27 第二章 实数 1 认识实数 知识要点 1不循环 2无理 B一一对应 ④大 对点训练 1.解：有理数：①③④⑤; 无理数：②⑥. 2.D 3.解：(1)错误.(2)正确. 4.(1)-7,0.32,3,46,0,0.31 (2)-2 (3)032,-,46,0 31 (4)-7,-2 —41— 全程导练·八年级数学·北师版·上册 5.π-3 3--π=3 6.C 2 平方根与立方根 第1课时 算术平方根 知识要点 1x2=a 2√a 3根号a 40 50 60 71 81 ⑨没有 ⑩a -a 12a 对点训练 1.(1)2 (2)3(3)0.1 (4)√3 3 (5)103(6)√2(7)3 2.(1)7 7(2)2 3.5 1 3 4 6√5 第2课时 平方根 知识要点 1x2=a 2±√a 32 ④相反数 50 6没有 7被开方数 8互逆 对点训练 1.(1)±4 4 (2)±√25 √25 (3)0 (4)没有 2.解：(1)±9.(2)±8(3)±1.3.(4)±√11. (5)±19.(6)±3(7)±0.6.((8)±2 3.±8 8±99 ±1.5 1.5 ±√37 √37 ±33 第3课时 立方根 知识要点 1x3=a2立方根 3三次方根 43a 5正 60 7负 ⑧逆 9a 10a 对点训练 1.(1)2 -2 (2)3 3 (3)(4)-2 (5)0 (6)3√9 2.解：(1)因为103=1000, 所以1000的立方根是10,即3√1000=10. (2)因为((一夸)=-25 所以-125的立方根是3,即√-125=-3 (3)因为(-1)3=-1, 所以-1的立方根是-1,即3-1=-1. (4)因为0.23=0.008, 所以0.008的立方根是0.2,即30.008=0.2. 3.(1)-3(2)0.5(3)6 (4)10(5)-4 第4课时 估算及用计算器开方 对点训练 1.(1)4 (2)4 √4 2 2.B 3.(1)>(2)<(3)<(4)< 4.√50-7 5.解：(1)原式=44.988 89.(2)原式=12.65149. (3)原式=0.81854.(4)原式=-0.75595. (5)原式=9.083 31. 6.解：因为39≈2.08,√3≈1.73,所以39>√3. 3 二次根式 第1课时 二次根式的概念及其乘除法 知识要点 1≥ 2被开方数 3≥ ④算术平方 5≥ 6√ab 7相乘⑧√ 9相除 对点训练 1.B 2.2(答案不唯一) 3.解：(1)原式=√5×7=√35. (2)原式=√3×9=13 4.解：(1)原式=√3=√18 (2)原式=√5×15=√5×315=√25=5. 5.解：(1)原式=21+4√5.(2)原式=6. (3)原式=3.(4)原式=2+√6. (5)原式=[(√2+√3)(√2-√3)]25?=(2-3)2?5=-1. 第2课时 二次根式的化简及其加减法 知识要点 16 26 320 420 5√a·√b 回2 7 图回m Ⅱ相同 23 对点训练 1.(1)12 5√3(2)2√3 18 (3)4√2 5 (4)562(5)235(6)12 3√2 2.A 3.(1)2√2 3√2 (2)3√3 4√3 4.(1)2√2+3√2 5√2 (2)4√3-3√3 √3 第3课时 二次根式的混合运算 知识要点 1乘方 2乘方 3乘除 ④加减 对点训练 1.2√2 5√2 2.解：原式=2√3+√3-3√3=0. 第三章 位置与坐标 1 确定位置 知识要点 1两 2参照点 I3方位角 ④距离 对点训练 1.B —42— 第二章 实数 第二章 实数 1 认识实数 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①无理数的认识及概念 1.无理数的概念 (1)无限1 小数称为无理数. (2)无理数的常见类型： ①有规律但不循环的小数， 如0.123 456789101112 1314⋯; ②圆周率π及一些含有π的式子， 如2m,π+3.罗等； ③无理数与有理数的和、差，都是无理数； ④无理数乘或除以有理数(不为0),结果 还是无理数. 2.无理数的特征 (1)无理数的小数部分位数无限且不循环； (2)无理数不能表示为分数的形式. 知识点②实数的概念及分类 (1)有理数和2 _数统称实数. (2)实数的分类： ①按定义分类： 正有理数 有理数 实数{ 负有理数 有限小数或无限循环小数 无理数正无理数 负无理数 无限不循环小数 ②按正负分类： 正实数 实数0 正有理数 正无理数 负实数负有理数 {负无理数 知识点③实数的相反数、倒数、绝对值 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义 与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义 完全一样. 知识点④实数和数轴上的点—一对应 (1)实数和数轴上的点是3__的，即每一 个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过 来，数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)大小：在数轴上，右边的点表示的数比左边 的点表示的数④ 1.下列各数中，哪些是有理数?哪些是无理数? ①3.14,②π,③0,④-7,⑤2.64, ⑥0.101 001 000 100 001⋯(相邻两个1之间 0的个数逐次加1). 2.下列语句正确的是 ( ) A.0.1010010001是无理数 B.无限小数不能转化为分数 C.无理数是无限循环小数 D.无限不循环小数就是无理数 3.判断下列说法是否正确： (1)无限小数都是无理数； (2)无理数都是无限小数. 4.把下列各数填入相应的集合内： -7,0.32,3,46,0,0.31,-2 (1)有理数集合：{____⋯}; (2)无理数集合：{______⋯}; (3)正实数集合：{____⋯}; (4)负实数集合：{________⋯}. 5.3-π的相反数为________,倒数为_____, 绝对值为______. 6.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示， 下列结论正确的是 ( ) a b -3-2-1012 6题图 A.a>b B.a>-b C.-a>b D.-a<b —5— 全程导练·八年级数学·北师版·上册 2 平方根与立方根 第1课时 算术平方根 [答案P42] 知识要点 对点训练 知识点①算术平方根的概念及计算 (1)一般地，如果一个正数x的平方等于a,即 1,那么这个正数x就叫作a的算术 平方根，记作2__,读作“B ” (2)求一个正数的算术平方根与求这个算术平 方根的平方恰好是互逆的两种运算，因此， 求一个正数的算术平方根可以转化为求一 个正数的平方运算. (3)易错点： ①规定0的算术平方根是④ _,即 √0=5__;算术平方根是本身的数 有6和7__; ②正数有8__个算术平方根，负数 ⑨_算术平方根； ③算术平方根√a具有双重非负性：a≥0及 √a≥0. 知识点②√a2与(√a)2 √c=1a1=-1 (a≥0),(a<0). (√a)2=12_(a≥0). 知识点③算术平方根的运用 熟记以下平方数有助于快速解题： 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 平方 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 数 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 平方 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 1.填空： (1)4的算术平方根是_____; (2)的算术平方根是_ ___; (3)0.01的算术平方根是__ ____; (4)3的算术平方根是__________; (5)10?的算术平方根是_______; (6)√4的算术平方根是_____; (7)′的值是____ 2.计算： (1)(√7)2=______,√(-7)2=_____; (2)(、会)—√()=__ 3.学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面 积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意 之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取 dm.其他同学想剪裁的尺寸如下，请 按要求填表： 正方形的 1 面积/dm2 9 16 36 25 5 正方形的 边长/dm —6— 第二章 实数 第2课时 平方根 [答案 P42] 知识要点 对点训练 知识点①平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a,即1 概念 _____,那么这个数x就叫作a的平方根(也 叫作二次方根) 表示 正数a的平方根可以用2 表示，读 方法 作“正、负根号a” ①正数有3__个平方根，它们互为 性质 ④__; ②0的平方根是5; ③负数6_平方根 知识点②开平方 1.求一个非负数的平方根 (1)开平方：求一个数a的平方根的运算，叫 作开平方，其中a叫作7 (2)注意： ①被开方数一定是非负数(即正数或0); ②平方与开平方是8 运算； ③一个正数有2个平方根，它们互为相反数. 2.平方根与算术平方根的区别和联系 正数的算术平方根 正数的平方根 个数 只有1个 有2个 区别表示方法 √a ±√a 取值范围 一定是正数 一正一负， 互为相反数 ①一个数的正的平方根就是它的算术平方根； ②只有非负数才有平方根和算术平方根，即 联系 √a≥0,a≥0; ③0的平方根与算术平方根均为0 1.填空： (1)因为(±4)2=16, 所以16的平方根是________, 算术平方根是_ (2)25的平方根记为_______,25的算术平 方根记为_ __; (3)______ 的平方根是0; (4)-0.64 平方根. 2.直接写出下列各数的平方根： (1)81; (2)4; (3)1.69;(4)11; (5)361,(6)1。,(7)0.36,(8)4 3.请填写下列表格： 平方根 算术平方根 64 B⑩ 2.25 37 59 —7— 全程导练·八年级数学·北师版·上册 [答案 P42]第3课时 立方根 知识要点 对点训练 知识点①立方根的概念 一般地，如果一个数x的立方等于a,即1 概念 ___,那么这个数x就叫作a的2 _(也叫作3__) 表示 一个数a的立方根，用符号“④__”表 方法 示，读作“三次根号a” ①正数的立方根是5___数； 性质 ②0的立方根是⑥__; ③负数的立方根是7_数 知识点②开立方 (1)开立方的概念：求一个数a的立方根的运算 叫作开立方，a叫作被开方数； (2)开立方与立方互为8 _运算，可以通 过这种关系求一个数的立方根； (3)根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们 可以求一个数的立方根，或者检验一个数是 不是某个数的立方根； (4)一般地，3-a=-3a. 知识点③(3a)3与3a? (3a)3=9__; 3a3=10__. 1.填空： (1)因为23=8,所以8的立方根是______; 因为(-2)3=-8,所以-8的立方根是— _; (2)27 的立方根是_ ____,即327 =—— _; (3)8的立方根是______; (4)--的立方根是_____; (5)_______的立方根是0; (6)9的立方根是_________. 2.求下列各数的立方根： (1)1000; (2)-125 (3)-1; (4)0.008. 3.计算： (1)3-27=____; (2)30.125=____; (3)363=____; (4)(3103=____; (5)-√B=_ —8— 第二章 实数 第4课时 估算及用计算器开方 [答案 P42] 知识要点 对点训练 知识点①估算一个无理数的近似值 (1)对于带根号的无理数的近似值的估算，可以 通过平方运算或立方运算，采用“夹逼法”, 两边无限逼近，逐级夹逼.首先确定其整数 部分的取值范围，再确定十分位、百分位等 小数部分. (2)比如√1<√3<√22,即1<√3<2, 又由1.72=2.89,1.82=3.24, 而2.89<3<3.24,所以1.7<√3<1.8. 即√3的整数位是1,十分位是7,依次类推确 定百分位、千分位等. 知识点②用估算法比较两个数的大小 利用估算法比较两个数的大小，当其中至少 有一个为无理数时，通常先经过分析，估算无理 数的大致范围，再进行具体比较. 【拓展】确定无理数的整数和小数部分 (1)确定一个无理数的整数部分，估算到个位； (2)确定一个无理数的小数部分，用这个无理数 减去整数部分. 知识点③利用计算器进行开平方运算 (1)利用计算器开方的按键顺序： 先按“√ ”键 开平方再输入被开方数 然后按“=”键 然 计算器开方 最后按“SSD”键 取 告； 按 SHifI链 开立方群再按“√ ”键 然后输人彼开万数 最后按“=”键 注意：不同型号的计算器进行开方运算，按 键顺序可能有所不同. (2)用计算器求一个非负数的平方根时，显示的 是它的算术平方根，因此求平方根时，只要在 算术平方根前面加“±”号即可，通常求一个 分数的平方根时，要先把这个分数化为小数. (3)用计算器比较数的大小 利用计算器比较数的大小，实际上是利用计 算器计算出要比较的各数的近似值，通过比 较结果得出相应结论. 1.估算√2的大小： (1)可以取和2最近的两个完全平方数：1和 _______; (2)因为1<2<___ 所以√1<√2<___ 即1<√2<_______. 2.估算√7的值 ( ) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间 3.通过估算，比较下列各组数的大小： (1)6_____√35; (2)√8____√10; (3)?-1_____1; (4)3+1_ 4.任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与 它的纯小数部分的和的形式.例如：3.14=3+ 0.14.若设√50的纯小数部分为a,则a= 5.利用计算器，求下列各式的值(结果精确到 0.000 01): (1)√2024; (2)32025; (3)√0.67; (4)3-0.432; (5)√7×8-8÷(-5). 6.利用计算器比较9与√3的大小. —9— 全程导练·八年级数学·北师版·上册 3 二次根式 第1课时 二次根式的概念及其乘除法 [答案P42] 知识要点 对点训练 知识点①二次根式的概念 一般地，形如√a(a1___0)的式子叫 作二次根式，a叫作2 ____ 注意：二次根式的被开方数既可以是一个数，也 可以是一个含有字母的式子. 知识点②二次根式的双重非负性 √a有意义?a3__0; √a表示a的④___根→√a5 0. 知识点③ 二次根式的乘除运算 1.二次根式的乘法法则 (1)符号语言：一般地，二次根式的乘法法则 是√a·√b=6___ __(a≥0,b≥0). (2)文字语言：二次根式相乘，就是把被开方 数7 ,根指数不变. (3)在进行二次根式的乘法运算时，一定不能 忽略其被开方数a,b均为非负数这一 条件. 2.二次根式的除法法则 (1)符号语言：一般地，二次根式的除法法则 是后=8 (a≥0,b>0). (2)文字语言：二次根式相除，就是把被开方 数⑨ ,根指数不变. (3)a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立. (4)如果被开方数是带分数，应先将其化成假 分数. 知识点④二次根式的运算与运算律、乘法公式 1.运算律 (1)乘法交换律：a·b=b·a; (2)乘法结合律：a·b·c=a·(b·c); (3)乘法分配律：(a+b)·c=a·c+b·c. 2.乘法公式 (1)(a+b)(a-b)=a2-b2; (2)(a±b)2=a2±2ab+b2. 3.幂的运算 (1)a"·a"=a“+”; (2)a"÷a"=a“一”; (3)(a")"=a””; (4)(ab)"=a"b”. 1.下列各式是二次根式的是 ( ) A.√-2 B.√3 C.39 D.a 2.若√x-1有意义，则x的值可以是________ (写出一个即可) 3.计算： (1)√5×√7; (2)√号×6 4.计算： (1)厚 (2)5×5 5.计算： (1)(2√5+1)2;(2)(√15+3)(√15-3); (3)(8-)×2。(4)218 (5)(√2+√3)2?25(√2-√3)2025. —10— 第二章 实数 第2课时 二次根式的化简及其加减法 [答案P42] 知识要点 对点训练 知识点①二次根式的化简 (1)探究活动一：计算下列各式，你能发现什么 规律? ①√4×9=1 ___,√4×√9=2 ________; 探究②√16×25=3,√16×√25=④ 结论 √ab=5(a≥0,b≥0) ___; (2)探究活动二：计算下列各式，你能发现什么 规律? ①√9=6=7 探究 ②√-图=四 知识点②最简二次根式 最简二次根式满足的条件： (1)被开方数中不含开得尽方的因数或因式； (2)分母不含二次根式； 结论 √号=1(a≥0,b>0) (3)被开方数不含分母. 知识点③二次根式的加减运算 (1)二次根式加减时，先将二次根式化成最简二 次根式，再将被开方数Ⅱ__ 的二次根 式进行合并. (2)二次根式的加减运算步骤： ①化成最简二次根式； ②找出被开方数相同的二次根式； ③合并被开方数相同的二次根式. 1.化简： (1)√9×16=____,√25×3=_____; (2)√4×3=________,√81×4=____; (3)√16×2=__,√5×9=____; (4)√9_√72=___, (5)√=—√= (6)√32×42=___,√18=___ 2.在二次根式√72,√5a3,3,9,√,,√0.5 中，最简二次根式的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.化简： (1)√8=_____,√18=_____; (2)√27 =____,√48=______ 4.计算： (1)√8+√18=_______=_________; (2)√48-√27=_________=________ 第3课时 二次根式的混合运算 [答案P42] 知识要点 对点训练 知识点●二次根式的混合运算及运算顺序 (1)二次根式的混合运算是指二次根式的加、 减、乘、除、1 的混合运算. (2)二次根式的混合运算顺序 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运 算顺序一样，先算②_ _,再算③ ,最后算4 ____,有括号的先算括 号内的运算(或先去掉括号). (3)口诀 二次根式混合算，弄清顺序是关键， 先乘方来后乘除，最后再去算加减. 1.按下列步骤计算： 10√2÷(√5)2+3√2 =10√2÷5+3√2 =________+3√2 二 2.计算：6×√2+√6÷√2-√27. —11—