专题5 利用点的坐标求线段长和图形的面积-【中考123】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程导练（北师大版2024）

全程导练·八年级数学·北师版·上册 [答案P14]专题5 利用点的坐标求线段长和图形的面积 类型1由点的坐标求线段的长度 1.(广东佛山期中)如图，在平面直角坐标系中，点 A,B的坐标分别为(2,8)和(6,0),C是y轴上的 一个动点，且A,B,C三点不在同一条直线上. (1)求AB的长； (2)求△ABC的周长的最小值. y 4 Ck o B x 1题图 2.已知在平面直角坐标系中，有A(-2,a+1), B(a-1,4),C(b-2,b)三点. (1)当点C在y轴上时，求点C的坐标； (2)当AB//x轴时，求A,B两点间的距离； (3)当CD⊥x轴于点D,且CD=1时，求点C的 坐标. 40 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 类型 2由点的坐标求图形面积 3.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABO的顶点0 的坐标为(0,0),请写出点A,B的坐标，并求出 △ABO的面积. y? A 4 B 3 2 0 2 3 4 5 7x 3题图 4.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC的四个 顶点的坐标分别为(2,4),(6,2),(0,0),(-2,2), 求四边形ABOC的面积. y 5 4 A 3c 2 B —3——2— 0 1: 2 3 4: 5: 6 7:x 4题图 第三章 位置与坐标 类型3由图形面积求点的坐标 5.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO的面积 为25,BC⊥x轴，垂足为D,已知点A(2,4),B(6, 2),求点C的纵坐标. yA B D x 0 C 5题图 6.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别 为(2,6),(5,2).P为坐标轴上一动点，当S△BOP =S△ABo时，求点P的坐标. y A B 0 6题图 类型 4图形面积与点的坐标的综合 7.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,4), 过点(3,0)作x轴的垂线l,点A与点B关于直线 l 对称. (1)点B的坐标为_______; (2)点C的坐标为(6,0),顺次连接OABC,若在四 边形OABC内部有一个点P,满足S△POA= S△PBC,且S△PAB=S△POC,求点P的坐标； (3)在四边形外部是否存在点Q,满足S△QOA= S△QBC,且S△QAB=S△Qoc?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. y? 95 l 4 A· 3 2 1 -3-2-10 12 34567x -2 -3 7题图 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 41 全程导练·八年级数学·北师版·上册 5.C 6.(0,-1)7.(1,1) 8.解：(1)A(-6,3),D(2,1),E(1,3),F(-1,2). (2)因为CD=√22+12=√5,所以正方形CDEF的面积=5. 【能力提升综合练】 9.A 10.C 11.C 12.(4,-1)或(-1,3)或(-1,-1) 13.解：(1)建立平面直角坐标系如答图所示. 【素养探究创新练】 4) 学校 A o 页 B 图书馆 C 体育馆 13题答图 (2)标出体育馆位置C,如答图所示. (3)S△AB?=3×4-—×2×1-2×1×4-—×3×3=4.5. 14.解：(1)因为a,b满足关系式a=√B-9+39-B2+2, 所以b2-9≥0,9-b2≥0,b+3≠0,所以b=3,a=2. (2)四边形ABOP的面积可以看作是△APO和△AOB的面 积和.因为点P在第二象限，所以m<0,S四边形APOB= SAAOB+SAPo=2×2×3+2×(-m)×2=3-m (3)由题意可得，点A(0,2),B(3, 0),C(3,4).如答图，过点A作BC 边上的高，交BC于点H,则△ABC P 的面积为S=-BC·AH=×4 ×3=6.当四边形ABOP的面积与 +y C A| H 0 B 14题答图 △ABC的面积相等时，即3-m=6,得m=-3,此时点P 坐标为((-3,3),,所以存在点P,使四边形ABOP的面积 与△ABC的面积相等. 专题5 利用点的坐标求线段长和图形的面积 1.解：(1)过点A作AD⊥OB于点D,如答 A 图，则∠ADB=90°. C 因为点A,B的坐标分别为(2,8)和(6,0), 所以OD=2,AD=8,0B=6,所以BD=4, 所以AB=√AD2+DB2=√82+42=4√5. EOD B 1题答图 (2)要使△ABC的周长最小，因为AB长度一定，所以需AC +BC最小. 作点A关于y轴的对称点A',连接BA'交y轴于点C′,过点 A′作A'E⊥x轴于点E,连接A'C,如答图. 因为AC+BC=A'C+BC≥A'B,所以当A',C,B三点共线， 即C与C'重合时，三角形ABC的周长最小，最小值为A'B+ AB的长. 由对称的性质，得A'(-2,8),所以E(-2,0). 在Rt△A'EB中，A'E=8,EB=8,所以A'B=√82+82=8√2, 所以△ABC的周长的最小值为A'B+AB=8√2+4√5. 2.解：(1)因为点C在y轴上， 所以b-2=0,解得b=2, 所以点C的坐标为(0,2). (2)因为AB//x轴，所以A,B两点的纵坐标相同， 所以a+1=4,解得a=3,所以A(-2,4),B(2,4), 所以A,B两点间的距离为2-(-2)=4. (3)因为CD⊥x轴于点D,CD=1,所以1bl=1,解得b= ±1,所以点C的坐标为(-1,1)或(-3,-1). 3.解：点A的坐标为(2,4),点B的坐标为(6,3). 如答图，将△ABO补成一个长方形， 根据答图可得AC=2,0C=4,AD=4,BD=1,BE=3,0E= 6,CD=6. 因为S△ABO=S长方形CDEo-SACo-S△ADB-S△OBE, 即SABo=6×4-2×2×4-2×1×4-2×3×6=9, 所以△ABO的面积为9. y 5C A D 4 3 B 2 E 1 0 23 4 5 6 1 =2 3题答图 4.解：如答图，连接 BC,将四边形ABOC分割为△ABC和 △BCO. 因为四边形ABOC的四个顶点坐标分别为(2,4),(6,2), (0,0),(-2,2), 所以 S四z形6Abo0= SAnBc+ S△nC=-×8×2+—×8×2=16, 所以四边形ABOC的面积为16. yA 5 4 A 3 C 2 B —3— 2. 10 3: 4. 5:67:x -2 4题答图 5.解：连接AD.如答图. 因为点A和点B的坐标分别为(2,4), (6,2),BC1x轴，S四边形ABCO=25, 所以S四边形ABCO =S△AOD+ S△ABD+ S△cno=2×6×4+÷×2×4+2 ×6×1ycl=25,解得IycI=3, y A B 0 D C 5题答图 则点C的纵坐标为3或-3. 因为点C在第四象限，所以点C的纵坐标为-3. ·14· 参考答案及解析 6.解：如答图，在平面直角坐标系中找一点C(2,2),过点C将 △AOB分割， 则 S△ABo=S△ACE+S△Aco+S△Bco=2×3×4+2×4× 2+2×3×2=13, 所以△ABO的面积为13. 因为S△BoP=S△ABO,所以S△BOp=13. 分情况讨论： ①当点P在x轴上时，设点P的坐标为(a,0), 则S△noD= 1a1·2=13, 所以a=±13, 所以点P的坐标为(13,0)或(-13,0); ②当点P在y轴上时，设点P的坐标为(0,b), 则：S△BoD=—·1b1·5=13,所以b=±号， 所以点P的坐标为((0.)或(0,) 综上所述，点P的坐标为(13,0)或(-13,0)或( (0,号)或 (0,-号) Y A C. B O 6题答图 7.解：(1)(4,4) (2)四边形OABC如答图所示. 因为S△POA=S△PBC,所以点P在直线l上. 设P(3,m),因为S△PAB=S△POC, 所以-2×2×(4-m)=2×6×m, 所以m=1,所以P(3,1). 365 I 4 A大 B 32 1 C -3-2-1Q 1 2 4567x 3 Q 7题答图 (3)存在. 因为S△QOA=S△QBC,所以点Q在直线l上， 设Q(3,t),易知t<0,因为S△QB=S△Qoc, 所以-2×2×(4-t)=2×6×(-t), 所以t=-2,所以Q(3,-2). 3 轴对称与坐标变化 【知识要点分类练】 1.C 2.A 3.6 4.(-3,-3) 5.解：(1)由题图可知，点C的坐标为(-3,1). (2)如答图所示，△A?B?C?即为所作. yt. B B3.3 C A(A) G?3.io 5题答图 (3)A?(0,-1),B?(-3,-5),C?(-3,-1). 6.解：(1)画出△ABC和△DEF如答图所示. YL. C 5 4 3 2 B A -5 -4-3-2-10 1234.5; D 2E FV4 -5 6题答图 (2)△ABC先关于x轴对称，再关于y轴对称，即可得到 △DEF(或△ABC先关于y轴对称，再关于x轴对称，即可 得到△DEF). (3)因为点A(2,2),点D(-2,-2), 所以由勾股定理，得AD=√42+42=4√2, 所以线段AD的长为4√2. 专题6 平面直角坐标系中点的坐标变化规律 1.B 2.C [解析]经过观察可得，第100次跳动后，纵坐标为100÷ 2=50.P?横坐标为1,P?横坐标为2,P?横坐标为3,⋯以 此类推，可得到P。的横坐标为-4n+1(n是4的整数倍), 故点P100的横坐标为26,所以点P第100次跳动至点P100 的坐标是(26,50).故选C. 3.(999,-1)[解析]因为半个圆周的周长是π,根据点P 的速度，得1s时点P为(1,1);2s时点P为(2,0);3s时点 P为(3,-1);4s时点P为(4,0);5s时点P为(5,1),⋯即 当秒数为偶数时，点P落在x轴上，其横坐标和秒数相同， 纵坐标是0;点P落在第一象限的秒数是1,5,9,13,⋯, 4n-3;点P落在第四象限的秒数是3,7,11,15,⋯,4n-1. 又因为当4n-1=999时，n是整数值，故第999s时点P落 在第四象限，其坐标为(999,-1). 4.解：(1)2 0 4 0 6 0 (2)根据(1)可知OAn=4n÷2=2n,所以点A4n的坐标为 (2n,0). ·15·