1.2 一定是直角三角形吗-【中考123】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程导练（北师大版2024）

全程导练·八年级数学·北师版·上册 0.8m,OC=OA=1m.在Rt△OCE中，OE2=OC2-CE2= 0.36,即OE=0.6m,所以CM=2.3+0.6=2.9(m)> 2.5m,所以这辆卡车能通过隧道. C D E A 0 B M N B G A司 0 H DE C 5题答图① 5题答图② (2)如答图②,EC为卡车的宽度，过点E作AH的垂线交半 圆于点B,垂足为F,连接OB,过点B作BG⊥CO,交CO的 延长线于点G.根据题意可知CG=BE=2.8m,BG=OF= EC=1.2m,EF=AD=2.3m,所以BF=2.8-2.3= 0.5(m).根据勾股定理，得OA2=OB2=BF2+OF2= 0.52+1.22=1.69,即OA=1.3m,所以隧道的宽至少增加 到1.3×2=2.6(m). 【能力提升综合练】 6.D 7.675 8.4 9.解：(1)S小正方形=(BC-AC)2=(6-5)2=1(cm2), 所以题图①中小正方形的面积为1 cm2. (2)由题意可知CD=6×2=12(cm). 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2+CD2=AD2, 所以52+122=AD2=169, 所以AD=13cm, 所以这个风车的外围周长为4×(13+6)=4×19=76(cm). 【素养探究创新练】 10.解：(1)c2-2ab(b-a)2 (2)a2+b2=c2 (3)13 (4)x3-x=x(x+1)(x-1) [解析]根据题意可知，题图 ②的图形的体积为x3-x,题图③的图形的体积为x(x+ 1)·(x-1),所以x3-x=x(x+1)(x-1).故恒等式为 x3-x=x(x+1)(x-1). 2 一定是直角三角形吗 【知识要点分类练】 1.B 2.C 3.合格 4.90° 5.解：(1)如答图，连接AC. 因为∠B=90°,AB=4,BC=3, 所以AC2=AB2+BC2=42+32=25, 所以AC=5. (2)因为AC=5,AD=13,CD=12, A B C D 5题答图 所以AD2=AC2+CD2, 所以△ACD是直角三角形，所以∠DCA=90°. 在Rt△ABC中，SABC=—BC·AB=一2×3×4=6. 在Rt△ADC中,S△ADc=2cD·AC=2×12×5=30, 所以S四边形ABCD=S△ADC-SABC=30-6=24. 6.解：(1)CD的长为 (2)△ABC是直角三角形，理由如下： 因为AC=8,∠CDA=90°, 由勾股定理，得AD2+CD2=AC2,即AD2+(等)2=82, 所以AD=3, 所以AB=AD+BD=35+15=10. 因为AC2+BC2=82+62=100=102=AB2, 所以△ABC是直角三角形. 7.D 8.5,12,13(答案不唯一) 【能力提升综合练】 9.B 10.D 11.C 12.45 13.18 14.45 [解析]如答图，标出点F,G,连接 和△CDE 中， 15.解：(1)M,N是线段AB的勾股分割点.理由如下： (2)设BN=x,则MN=14-AM-BN=10-x. 【素养探究创新练】 A CDE=9° 因为AM2+BN2=2.52+62=42.25,MN2=6.52=42.25, ①当MN为最长线段时，依题意，得MN2=AM2+NB2, F 所 所以AM2+NB2=MN2,所以以AM,MN,NB为边的三角形 即(10-x)2=16+x2,解得x=4.2; CG,AG.由勾股定理，得 AG2=CG2= 以 是一个直角三角形， ②当BN为最长线段时，依题意，得BN2=AM2+MN2, G △AFG≌ 所以M,N是线段AB的勾股分割点. 即x2=16+(10-x)2,解得x=5.8. 12+22=5,AC2=12+32=10,则AG2+ △CDE(SAS),所以∠FAG=∠DCE,所以∠ACB-∠DCE= 综上所述，BN的长为4.2或5.8. CG2=AC2,所以∠CGA=90°,即△CAG是 ∠CAF-∠FAG=∠CAG=45°.故答案为45. E 等腰直角三角形，所以∠CAG=45°.因为B C D AF//BC,所以∠CAF=∠BCA.在△AFG 14题答图 16.解：(1)锐角 钝角 (2)>< (3)因为c为最长边的长，2+4=6,所以4≤c<6. ①当a2+b2>c2,即c2<20时，△ABC是锐角三角形，此时 ②当a2+b2=c2,即c2=20时，△ABC是直角三角形； ③当a2+b2<c2,即c2>20时，△ABC是钝角三角形，此时 3 勾股定理的应用 【知识要点分类练】 16≤c2<20; 20<c2<36. 1.C 2.C 3.B 4.2 ·2· 第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 [答案P2] 知识要点分类练 知识点1 直角三角形的判定 1.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c, 且a2=b2-c2,则下列说法正确的是 ( ) A.∠A=90° B.∠B=90° C.∠C=90° D.∠A>90° 2.(山东济南期中)如图，在4×4的网格中，每个小 正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则下 列结论错误的是 ( ) A A.BC=5 Ck B.∠BAC=90° C.△ABC的面积为10 B D.点A到直线BC的距离是2 2题图 3.李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三 边长分别是30 cm,40 cm和50 cm,则这个教具_____ ___.(填“合格”或“不合格”) 4.如图，在△ABC中，以AB,BC,AC为 S? BS? 边分别向外作正方形，记正方形的面 A C 积分别为S?,S?,S?,其中S?=S?=5, S? S?=10,则∠BAC+∠BCA的度数为 4题图—— 5.(山东淄博期末)如图，AB⊥BC,AB=4,BC=3, DC=12,AD=13.请你连接AC. (1)求线段AC的长； (2)求四边形ABCD的面积. A B C D 5题图 6.如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AC=8, BC=6,BD=1号 (1)求CD的长； (2)△ABC是直角三角形吗?请说明理由. A D C B 6题图 知识点 2勾股数 7.下列各组数中，是勾股数的是 ( ) A.0.3,0.4,0.5 B.5,5,1 C.4,5,6 D.9,40,41 8.将勾股数3,4,5扩大为原来的2倍，3倍，4倍，⋯ 可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20;⋯则 我们把3,4,5这样最大公约数是1的勾股数称为 基本勾股数，请根据题意再写出一组基本勾股数—— 能力提升综合练 9.(山东威海期中)如图是由单位长度均为1的小 正方形组成的网格，A,B,C,D都是网格线的交 点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角 三角形的个数为 ( ) D A B C 9题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( ) A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=2:3:5 C.(c+a)(c-a)=b2 D.a=2,b=3,c=4 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 5 全程导练·八年级数学·北师版·上册 11.如图，甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，两人从 点0同时出发，甲、乙两位探险者的速度分别为 3 km/h、4 km/h,且2h后两人分别到达点A,B 处，若AB=10km,甲探险者沿北偏东30°的方向 行走，则乙探险者的行走方向可能是 ( ) A.南偏西30° 北30°A B.北偏西30° 东 C.南偏东60° O D.南偏西60° B 11题图 12.如图，在正方形网格中，每一小格的边长为1.网 格内有△PAB,则∠PAB+∠PBA=______. C A P +Qt E A B AP B B- C D 12题图 13题图 14题图 13.(湖北武汉期末)如图，在△ABC中，AB:BC:CA =3:4:5,且周长为36cm,点P从点A出发沿AB 边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B出 发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q 两点同时出发，则3 s时，△BPQ的面积为 ______cm2. 14.(山东济南期末)在如图所示的正方形网格中， 每个小正方形的边长均为1,A,B,C,D,E均是 网格线的交点，则∠ACB-∠DCE=_________. 15.定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN, NB三段，若以AM,MN,NB为边的三角形是一个 直角三角形，则称M,N是线段AB的勾股分割点. (1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB 三段，若AM=2.5,MN=6.5,BN=6,则M,N 是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由； (2)已知M,N是线段AB的勾股分割点，且AM 为直角边，若AB=14,AM=4,求BN的长. A M N B 15题图 6 素养探究创新练 16.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,设AB为最 长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当 a2+b2≠c2时，通过比较代数式a2+b2和c2的 大小，探究△ABC的形状(按角分类). (1)当△ABC三边长分别为6,8,9时，△ABC为 _____三角形；当△ABC三边长分别为6, 8,11时，△ABC为_____三角形； (2)猜想：当a2+b2________c2时，△ABC为锐 角三角形；当a2+b2____c2时，△ABC 为钝角三角形； (3)当a=2,b=4时，探究△ABC的形状，并求 出对应的c2的取值范围. 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上