1.1 第2课时勾股定理的验证及简单应用-【中考123】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程导练（北师大版2024）

第一章 勾股定理 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 [答案P1] 知识要点分类练 知识点1 勾股定理的验证 1.下面各图中，不能验证勾股定理正确性的是 ( ) a c a c a b b bp b b b b aF a a c b c b db a a b ca C a c C ]a b a b a b A B C D 2.(教材母题变式)如图①,直角三角形的两条直角 边长分别是a,b(a<b),斜边长为c. a b c C b a 2题图① 2题图② (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个 正方形(如图②). ①大正方形的边长为_ ___,小正方形的 边长为_ ______; ②大正方形的面积可以表示为 ,也 可以表示为_ ③观察两种表示方法，可得出 ,整理得 ,从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放， 使BC和CD在一条直线上，连接AE.请你类 比(1)中的方法用图③验证勾股定理. A E b c c a B aC bD 2题图③ 知识点2勾股定理的简单应用 3.如图，公园内有一块长方形的草坪，已知AB的长 为16m,AC的长为20m,由于路人沿路线AC抄 近道，践踏了绿地，小亮想在A处树立一个标牌 “少走□米，踏之何忍”,则小亮应在标牌的□处 填入的数是________ C D B A B 北 ·C A· 3题图 4题图 4.如图，韩彬同学从家(记作A)出发向北偏东30° 的方向行走了4000米到达超市(记作B),然后再 从超市出发向南偏东60°的方向行走3000米到 达卢飞同学家(记作C),则韩彬家到卢飞家的距 离为________米. 5.一辆装满货物的卡车，高2.5m,宽1.6m,要开进 上边是半圆，下边是长方形的隧道，如图所示，已 知半圆的直径为2m,长方形的另一条边长是 2.3m. (1)此卡车是否能通过隧道?试说明你的理由； (2)为了适应车流量的增加，先把隧道改为双行 道，要使宽为1.2m,高为2.8m的卡车能安 全通过，那么此隧道的宽至少增加到多少? 2.3m 2m 5题图 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 3 全程导练·八年级数学·北师版·上册 能力提升综合练 6.如图，要在高BC为3m,斜坡长AB为5m的楼梯 台阶上铺地毯，则地毯的长度至少为 ( ) A.4m B.5m C.6m D.7m B 5m 3m A C D G H T A< M K C N F E B 6题图 7题图 7.(陕西西安期中)如图，这是由“赵爽弦图”变化得 到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图 中正方形ABCD、正方形 EFGH、正方形MNKT的 面积分别为S?,S?,S?.若S?+S?+S?=2025,则S? 的值是______. 8.把图①中长和宽分别为6和4的两个全等长方形 沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个 全等的直角三角形拼成图②的正方形，则图②中 小正方形ABCD的面积为________. D A C B 8题图① 8题图② 9.[传统文化]如图①是我国古代著名的“赵爽弦图” 示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在 △ABC中，∠ACB=90°,BC=6cm,AC=5cm. (1)求图①中小正方形的面积； (2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角 边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学 风车”,求这个风车的外围周长(图中实线 部分). A B C D 4 B C 9题图① 9题图② 4 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 素养探究创新练 10.【知识生成】我们知道，通过不同方法表示同一 图形的面积，可以探求相应的等式.2002年8月 在北京召开的国际数学大会会标如图①所示，它 是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中 间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形 的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c. (1)图中阴影部分的面积用两种方法可分别表 示为_______、_______; (2)你能得出的a,b,c之间的数量关系是 _______(等号两边需化为最简形式); 【知识应用】 (3)一直角三角形的两条直角边长为5和12,则 其斜边长为____; 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的 体积，也可以探求相应的等式. (4)如图②③表示的是一个棱长为x的正方体 挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方 体，请你根据图②和图③中图形的变化关 系，以整式乘法形式写出一个代数恒等式： 1 c b 实 a 七x X x 1 10题图① 10题图② 10题图③ 参考答案及解析 中考123·全程导练·八年级数学·北师版·上册 参考答案及解析 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 【知识要点分类练】 1.B 2.D 3.C 4.8 5.C 6.B 7.20 8.解：如答图，连接AC.由题意，得AC2=AB2+A C 8题答图 【能力提升综合练】 BC2=202+152=625. 又因为AD2=AC2-CD2=625-49=576=242, 所以AD=24m, 所以这块草坪ABCD的面积=2AB×BC+B 2AD×DC=234m2 9.B 10.C 11.A [解析]如答图所示，过点P作PM⊥CB, D 交CB的延长线于点M,作PN⊥CA,交 E C F CA的延长线于点N.由题可得∠BCG= A 45°.因为CP⊥CG,所以∠BCP=45°.又 N B G 因为∠ACB=90°,所以∠ACP=45°,即 M H CP平分∠ACB.又因为PM⊥BC,PN⊥ P AC,所以PM=PN.因为正方形ACDE和 11题答图 正方形AHIB的面积分别为S?,S?,且S?=16,S?=25,所以 正方形BCFG的面积为25-16=9,所以AC: BC=4:3,所以 ,即S△Acp:S△BCPp等于 4:3.故选A. 12.3 cm 13.2π或4π [解析]①当5为直角边长时，c2=32+52= 34,则圆的面积为(2)2=2m=127;②当5为斜边 长时，22=532-32=16,则圆的面积为π·()=2π=4π 综上所述，该圆的面积为2"或4π. 14.解：(1)14-x (2)在Rt△ABD中，AB=15,BD=x, 由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-x2. 在Rt△ACD中，AC=13,CD=14-x, 由勾股定理，得AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2, 所以152-x2=132-(14-x)2,解得x=9. (3)在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD2=AB2-BD2=152-x2=152-92=144, 所以AD=12,S△AEc=2BC-AD=2×14×12=84, 所以△ABC的面积为84. 15.解：设CD=x,则BD=6-x. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD2=AB2-BD2=72-(6-x)2. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-CD2=52-x2, 所以72-(6-x)2=52-x2,解得x=1, 所以CD的长为1. 【素养探究创新练】 16.解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,BC=a,AC= b,AB=c,CD=h,所以a2+b2=c2,S△ABc=2ab=2ch,所 以ab=ch,所以-2+b=2B=222=2 (2)因为CD⊥AB,∠ACB=90°, 所以，S△ABC=2ab= 2ch,,所以ab=ch. 因为∠ACB=90°,所以a2+b2=c2, 所以(a+b)2=a2+2ab+b2=c2+2ch. 因为(c+h)2=c2+2ch+h2,a,b,c,h都是正数， 所以(a+b)2<(c+h)2,所以a+b<c+h. 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 【知识要点分类练】 1.C 2.解：(1)①a+b c ②(a+b)2 2ab+c2 ③(a+b)2=2ab+c2 a2+b2=c2 (2)因为∠B=90°,所以∠BAC+∠ACB=90°. 因为∠BAC=∠DCE,所以∠DCE+∠ACB=90°, 所以∠ACE=180°-∠DCE-∠ACB=90°, 所以 S做un=SAnc +Scne +S△cx=a+2+22 又因为S稀形ABDE=— BD·(DE+AB)= —(a+b)(a+b), 所以2ab+2ab+2e2=2(a+b)2, 整理得a2+b2=c2. 3.8 4.5000 5.解：(1)该卡车能通过隧道.理由如下：如答图①,MN为卡 车的宽度，分别过点M,N作AB的垂线交半圆于点C,D,连 接CD,过AB的中点0作OE⊥CD,E为垂足，连接OC.易知 CD=MN=1.6m,AB=2m,所以由对称可得CE=DE = ·1· 全程导练·八年级数学·北师版·上册 0.8m,OC=OA=1m.在Rt△OCE中，OE2=OC2-CE2= 0.36,即OE=0.6m,所以CM=2.3+0.6=2.9(m)> 2.5m,所以这辆卡车能通过隧道. C D E A 0 B M N B G A司 0 H DE C 5题答图① 5题答图② (2)如答图②,EC为卡车的宽度，过点E作AH的垂线交半 圆于点B,垂足为F,连接OB,过点B作BG⊥CO,交CO的 延长线于点G.根据题意可知CG=BE=2.8m,BG=OF= EC=1.2m,EF=AD=2.3m,所以BF=2.8-2.3= 0.5(m).根据勾股定理，得OA2=OB2=BF2+OF2= 0.52+1.22=1.69,即OA=1.3m,所以隧道的宽至少增加 到1.3×2=2.6(m). 【能力提升综合练】 6.D 7.675 8.4 9.解：(1)S小正方形=(BC-AC)2=(6-5)2=1(cm2), 所以题图①中小正方形的面积为1 cm2. (2)由题意可知CD=6×2=12(cm). 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2+CD2=AD2, 所以52+122=AD2=169, 所以AD=13cm, 所以这个风车的外围周长为4×(13+6)=4×19=76(cm). 【素养探究创新练】 10.解：(1)c2-2ab(b-a)2 (2)a2+b2=c2 (3)13 (4)x3-x=x(x+1)(x-1) [解析]根据题意可知，题图 ②的图形的体积为x3-x,题图③的图形的体积为x(x+ 1)·(x-1),所以x3-x=x(x+1)(x-1).故恒等式为 x3-x=x(x+1)(x-1). 2 一定是直角三角形吗 【知识要点分类练】 1.B 2.C 3.合格 4.90° 5.解：(1)如答图，连接AC. 因为∠B=90°,AB=4,BC=3, 所以AC2=AB2+BC2=42+32=25, 所以AC=5. (2)因为AC=5,AD=13,CD=12, A B C D 5题答图 所以AD2=AC2+CD2, 所以△ACD是直角三角形，所以∠DCA=90°. 在Rt△ABC中，SABC=—BC·AB=一2×3×4=6. 在Rt△ADC中,S△ADc=2cD·AC=2×12×5=30, 所以S四边形ABCD=S△ADC-SABC=30-6=24. 6.解：(1)CD的长为 (2)△ABC是直角三角形，理由如下： 因为AC=8,∠CDA=90°, 由勾股定理，得AD2+CD2=AC2,即AD2+(等)2=82, 所以AD=3, 所以AB=AD+BD=35+15=10. 因为AC2+BC2=82+62=100=102=AB2, 所以△ABC是直角三角形. 7.D 8.5,12,13(答案不唯一) 【能力提升综合练】 9.B 10.D 11.C 12.45 13.18 14.45 [解析]如答图，标出点F,G,连接 和△CDE 中， 15.解：(1)M,N是线段AB的勾股分割点.理由如下： (2)设BN=x,则MN=14-AM-BN=10-x. 【素养探究创新练】 A CDE=9° 因为AM2+BN2=2.52+62=42.25,MN2=6.52=42.25, ①当MN为最长线段时，依题意，得MN2=AM2+NB2, F 所 所以AM2+NB2=MN2,所以以AM,MN,NB为边的三角形 即(10-x)2=16+x2,解得x=4.2; CG,AG.由勾股定理，得 AG2=CG2= 以 是一个直角三角形， ②当BN为最长线段时，依题意，得BN2=AM2+MN2, G △AFG≌ 所以M,N是线段AB的勾股分割点. 即x2=16+(10-x)2,解得x=5.8. 12+22=5,AC2=12+32=10,则AG2+ △CDE(SAS),所以∠FAG=∠DCE,所以∠ACB-∠DCE= 综上所述，BN的长为4.2或5.8. CG2=AC2,所以∠CGA=90°,即△CAG是 ∠CAF-∠FAG=∠CAG=45°.故答案为45. E 等腰直角三角形，所以∠CAG=45°.因为B C D AF//BC,所以∠CAF=∠BCA.在△AFG 14题答图 16.解：(1)锐角 钝角 (2)>< (3)因为c为最长边的长，2+4=6,所以4≤c<6. ①当a2+b2>c2,即c2<20时，△ABC是锐角三角形，此时 ②当a2+b2=c2,即c2=20时，△ABC是直角三角形； ③当a2+b2<c2,即c2>20时，△ABC是钝角三角形，此时 3 勾股定理的应用 【知识要点分类练】 16≤c2<20; 20<c2<36. 1.C 2.C 3.B 4.2 ·2·