1.5 全称量词与存在量词-2025-2026学年高中数学人教A版2019必修一讲义

高中数学人教A版必修一数学精研社同步精品讲义 1.5 全称量词与存在量词 学习目标 知识点概览 题型目录 【知识点1】全称量词和全称量词命题 2 【知识点2】存在量词和存在量词命题 4 【知识点3】用全称量词改写命题 5 【知识点4】用存在量词改写命题 6 【知识点5】全称量词命题与存在量词命题的否定 7 【题型一】判断命题是否为全称命题 10 【题型二】用全称量词改写命题 11 【题型三】判断全称命题的真假 13 【题型四】根据全称命题的真假求参数 14 【题型五】判断命题是否为特称（存在性）命题 16 【题型六】用存在量词改写命题 17 【题型七】判断特称（存在性）命题的真假 18 【题型八】根据特称（存在性）命题的真假求参数 21 【题型九】全称命题的否定及其真假判断 24 【题型十】特称命题的否定及其真假判断 26 【题型十一】含有一个量词的命题的否定的应用 27 知识点讲解 【知识点1】全称量词和全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 【归类总结】 全称量词 所有的，任意一个，一切，每一个，任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为∀x∈M，p(x) 【表达形式】 命题 全称量词命题∀x∈M，p(x) 表述形式 (1) 对所有的x∈M,都有 p(x)成立 (2) 对一切x∈M,都有 p(x)成立 (3) 对每一个x∈M,都有 p(x)成立 (4) 任选一个x∈M,都有 p(x)成立 (5) 凡是x∈M,都有 p(x)成立 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或者全部的含义 对全称量词命题的理解: （1）全称量词命题是陈述集合中所有元素都具有某种性质的命题. （2）一个全称量词命题可用包含多个变量:如R,≥0. 【例题1】．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中：①任意一个正方形都是中心对称图形；②所有三角形都有外接圆；③存在，使得；④任意一个菱形都是平行四边形． 其中全称量词命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】．．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为全称量词命题的是（   ） A．圆内接三角形中有等腰三角形 B．存在一个实数与它的相反数的和不为0 C．矩形都有外接圆 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【例题3】．．（2024高二下·黑龙江·学业考试）下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 【例题4】．．（24-25高一上·全国·课前预习）下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是（    ） A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使 【知识点2】存在量词和存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． （3）特称命题：含有存在量词的命题也叫做特称命题. 【归类总结】 存在量词 存在一个，至少有一个，有一个，有些，有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义. 【表达形式】 命题 全称量词命题∃x∈M，p(x) 表述形式 存在的x∈M,都有 p(x)成立 至少有一个x∈M,都有 p(x)成立 对有些x∈M,都有 p(x)成立 对某些x∈M,都有 p(x)成立 有一个x∈M,都有 p(x)成立 对存在量词命题的理解: （1）存在量词命题是陈述集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题. （2）一个存在量词命题可用包含多个变量 【例题1】．（2025高二下·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【知识点3】用全称量词改写命题 根据常用的逻辑用词和全称量词之间的关系改写命题 【例题1】．（24-25高一上·全国·课前预习）将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 【例题2】．（24-25高一上·全国·课前预习）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 【知识点4】用存在量词改写命题 根据常用的逻辑用词和存在量词之间的关系改写命题 【例题1】．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 【例题2】．（23-24高一上·全国·课后作业）命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 【例题3】．（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 【知识点5】全称量词命题与存在量词命题的否定 一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需把“所有的” “任意一个”等全称量词,变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说,假定全称量词命题为“”,则它的否定为“并非”,也就是“,不成立”.用“”表示“不成立”. 对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论: (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． 全称量词 指定范围 否定形式 全称命题 所有的 任何的 任意的 整体或全部 有些 有的 存在 对M中任何x，有p(x)成立 记：， 都是 不都是 对M中任何x，p(x)不成立 记：， 对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． (2) 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 存在量词 指定范围 否定形式 特称命题 有一个、存在 整体的 一部分 没有、 不存在 在M中存在某x，有p (x) 成立记：，p (x) 至少有一个 一个也没有 在M中存在某x，p (x)不成立 记：， 至多有一个 至少有两个 对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】常见关键词及其否定形式 关键词 否定词 等于 不等于 能 不能 至少有一个 一个都没有 都是 不都是 没有 至少有一个 大于 不大于 小于 不小于 至多有一个 至少有两个 是 不是 属于 不属于 【例题1】．（2025·广西柳州·模拟预测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例题2】．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【例题3】．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【例题4】．（24-25高二下·浙江宁波·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 题型总结 【题型一】判断命题是否为全称命题 【例题1-1】．（24-25高一上·山东菏泽·期中）下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 【例题1-2】．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）将改写成全称命题，下列说法正确的是（    ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．，都有 【题型二】用全称量词改写命题 【例题2-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）观察下列等式： …… …… 写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题： . 【例题2-2】．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）根据下述事实，写出一个含有量词的命题是 . ， ， ， …… 【例题2-3】．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【题型三】判断全称命题的真假 【例题3-1】．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【例题3-2】．（24-25高一上·浙江·期中）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【例题3-3】．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．命题：“，为质数” B．命题：“梯形的对角线相等”是全称量词命题； C．命题：“对任意，总有”是真命题； D．命题：“空集是任何集合的真子集”是真命题. 【题型四】根据全称命题的真假求参数 【例题4-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题4-2】．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）命题，为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【例题4-3】．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【例题4-4】．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【题型五】判断命题是否为特称（存在性）命题 【例题5-1】．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【例题5-2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【例题5-3】．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【题型六】用存在量词改写命题 【例题6-1】．（24-25高一上·全国·随堂练习）命题“存在正实数x，使得大于”，用符号语言可表示为 ，该命题为 命题．（填“真”或“假”）． 【例题】．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【题型七】判断特称（存在性）命题的真假 【例题7-1】．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【例题7-2】．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知命题，，命题，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【例题7-3】．（24-25高一上·湖北·期中）下列含有量词的命题中为真命题的是（    ） A．任意实数的平方都大于0 B．， C．存在整数，使得 D．，一元二次方程有实根 【例题7-4】．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 【例题7-5】．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是菱形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【题型八】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【例题8-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 【例题8-2】．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题8-3】．（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题8-4】．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题8-5】．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【例题8-6】．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【题型九】全称命题的否定及其真假判断 【例题9-1】．（24-25高一上·北京丰台·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例题9-2】．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【例题9-3】．（24-25高二下·山西吕梁·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例题9-4】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知命题，；命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【例题9-5】．（2024·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（    ） A．，，， B． C． D．或 【题型十】特称命题的否定及其真假判断 【例题10-1】．（2025高一上·全国·专题练习）已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 【题型十一】含有一个量词的命题的否定的应用 【例题11-1】．（24-25高一上·河北衡水·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【例题11-2】．（24-25高三上·福建·期中）已知命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 【例题11-3】．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设命题，则p的否定为（   ） A． B． C． D． 【例题11-4】．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是 【例题11-5】．（2025高三·全国·专题练习）若“”是假命题，则实数a的取值范围是 . 课后作业 1．（24-25高一上·江西·阶段练习）关于命题q：，，下来结论正确的是（    ） A．q是存在量词命题，是真命题 B．q是存在量词命题，是假命题 C．q是全称量词命题，是真命题 D．q是全称量词命题，是假命题 2.（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 3.（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 4．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 5．（24-25高一上·安徽·阶段练习）命题“矩形都有外接圆”是（   ） A．全称量词命题、真命题 B．全称量词命题、假命题 C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题 6．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 8．（2025·甘肃庆阳·三模）已知表示这n个数中最大的数.下列四组数据中，能说明命题“”是假命题的有（    ）组. ①1，2，3，4；②-3，-1，7，5；③8，-1，-2，-3；④5，3，0，-1. A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2025·天津和平·三模）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，命题是奇数，则（   ） A．是奇数．是假命题 B．是奇数．是真命题 C．是奇数．是真命题 D．是奇数．是假命题 11．（2025·河北廊坊·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D．以上说法均错误 12．（24-25高二下·重庆·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 13．（24-25高二下·广西北海·期末）命题“，使得”的否定形式为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·全国·课前预习）命题“对任意，都有”的否定为（   ） A．对任意，都有 B．不存在，使得 C．存在，使得 D．存在，使得 15．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）若命题p：有些三角形是锐角三角形，则（   ）． A．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 B．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 C．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 D．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 16．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·重庆·开学考试）存在，使得，则的最大值为 ． 18．（2023·吉林·二模）若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 19．（2024高三·全国·专题练习）若命题“∃x∈R，ax2＋x＋1<0”为假命题，则实数a的取值范围是 . 21．（24-25高一上·福建福州·期中）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 22．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知命题．命题． (1)写出两个命题的否定； (2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围． 23．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围. 24．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设命题，，命题，． (1)若q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若p为假命题、q为真命题，求实数m的取值范围． 25．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 26．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）根据要求完成下列问题 (1)已知、，集合，集合集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由. (2)已知、，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 27．（24-25高一上·天津·阶段练习）设命题，不等式恒成立：命题． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中数学人教A版必修一数学精研社同步精品讲义 1.5 全称量词与存在量词 学习目标 知识点概览 题型目录 【知识点1】全称量词和全称量词命题 2 【知识点2】存在量词和存在量词命题 4 【知识点3】用全称量词改写命题 5 【知识点4】用存在量词改写命题 6 【知识点5】全称量词命题与存在量词命题的否定 7 【题型一】判断命题是否为全称命题 10 【题型二】用全称量词改写命题 11 【题型三】判断全称命题的真假 13 【题型四】根据全称命题的真假求参数 14 【题型五】判断命题是否为特称（存在性）命题 16 【题型六】用存在量词改写命题 17 【题型七】判断特称（存在性）命题的真假 18 【题型八】根据特称（存在性）命题的真假求参数 21 【题型九】全称命题的否定及其真假判断 24 【题型十】特称命题的否定及其真假判断 26 【题型十一】含有一个量词的命题的否定的应用 27 知识点讲解 【知识点1】全称量词和全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 【归类总结】 全称量词 所有的，任意一个，一切，每一个，任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为∀x∈M，p(x) 【表达形式】 命题 全称量词命题∀x∈M，p(x) 表述形式 (1) 对所有的x∈M,都有 p(x)成立 (2) 对一切x∈M,都有 p(x)成立 (3) 对每一个x∈M,都有 p(x)成立 (4) 任选一个x∈M,都有 p(x)成立 (5) 凡是x∈M,都有 p(x)成立 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或者全部的含义 对全称量词命题的理解: （1）全称量词命题是陈述集合中所有元素都具有某种性质的命题. （2）一个全称量词命题可用包含多个变量:如R,≥0. 【例题1】．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中：①任意一个正方形都是中心对称图形；②所有三角形都有外接圆；③存在，使得；④任意一个菱形都是平行四边形． 其中全称量词命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断命题是否为全称命题 【分析】根据特称命题及全称命题定义判断即可. 【详解】常见的“任意”“所有”“一切”等均为全称量词，所以命题①②④为全称量词命题,③为特称量词命题． 故选：C. 【例题2】．．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为全称量词命题的是（   ） A．圆内接三角形中有等腰三角形 B．存在一个实数与它的相反数的和不为0 C．矩形都有外接圆 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题 【详解】A，B，D是存在量词命题，C是全称量词命题． 【例题3】．．（2024高二下·黑龙江·学业考试）下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题 【分析】根据全称，特称命题的概念依次判断选项即可. 【详解】对选项A，为存在量词命题， 对选项B，为存在量词命题， 对选项C，为存在量词命题， 对选项D，为全称量词命题. 故选： 【例题4】．．（24-25高一上·全国·课前预习）下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是（    ） A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断全称命题的真假 【分析】根据全称命题的概念排除BD，然后举反例排除C，即可判断. 【详解】“有一个”和“存在一个”为存在量词， 根据全称命题的概念可知：至少有一个实数，使， 存在一个负数，使都不是全称命题，排除选项BD； 因为是无理数，而不是无理数， 所以命题：任意无理数的平方必是无理数为假命题，故选项C不合题意； 对于选项A，斜三角形的内角是锐角或钝角为全称命题且为真命题，符合题意． 故选：A 【知识点2】存在量词和存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． （3）特称命题：含有存在量词的命题也叫做特称命题. 【归类总结】 存在量词 存在一个，至少有一个，有一个，有些，有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义. 【表达形式】 命题 全称量词命题∃x∈M，p(x) 表述形式 存在的x∈M,都有 p(x)成立 至少有一个x∈M,都有 p(x)成立 对有些x∈M,都有 p(x)成立 对某些x∈M,都有 p(x)成立 有一个x∈M,都有 p(x)成立 对存在量词命题的理解: （1）存在量词命题是陈述集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题. （2）一个存在量词命题可用包含多个变量,如R,使. 【例题1】．（2025高二下·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】根据存在量词命题的定义即可得出答案． 【详解】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题. 故选：D 【知识点3】用全称量词改写命题 根据常用的逻辑用词和全称量词之间的关系改写命题 【例题1】．（24-25高一上·全国·课前预习）将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.94 【知识点】用全称量词改写命题、用存在量词改写命题 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的意义，改写命题. 【详解】（1）． （2）． （3）． 【例题2】．（24-25高一上·全国·课前预习）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 【答案】(1)一个有理数都能写成分数形式 (2)，使方程成立 (3)，它乘以任意一个实数都等于0 【难度】0.85 【知识点】用全称量词改写命题、用存在量词改写命题 【分析】（1）根据全称量词命题书写形式进行书写； （2）（3）根据存在量词命题书写形式进行书写. 【详解】（1）这是全称量词命题，一个有理数都能写成分数形式． （2）这是存在量词命题，，使方程成立． （3）这是存在量词命题，，它乘以任意一个实数都等于0． 【知识点4】用存在量词改写命题 根据常用的逻辑用词和存在量词之间的关系改写命题 【例题1】．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】用存在量词改写命题 【分析】根据存在量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的为至少有一个实数x，使得. 故选：D. 【例题2】．（23-24高一上·全国·课后作业）命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】用存在量词改写命题 【分析】,意为存在实数使得成立,故逐个选项判断即可. 【详解】“”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同， 但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确， 故选：C. 【例题3】．（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 【答案】(1)，既能被整除，又能被整除； (2)，不是平行四边形． 【难度】0.85 【知识点】用存在量词改写命题 【分析】根据存在量词命题的表示形式即可得解. 【详解】（1）因为存在量词命题的形式为“存在中的元素，”，用符号表示为“，”, 所以原命题表述为：，既能被整除，又能被整除； （2）原命题表述为：，不是平行四边形. 【知识点5】全称量词命题与存在量词命题的否定 一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需把“所有的” “任意一个”等全称量词,变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说,假定全称量词命题为“”,则它的否定为“并非”,也就是“,不成立”.用“”表示“不成立”. 对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论: (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． 全称量词 指定范围 否定形式 全称命题 所有的 任何的 任意的 整体或全部 有些 有的 存在 对M中任何x，有p(x)成立 记：， 都是 不都是 对M中任何x，p(x)不成立 记：， 对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． (2) 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 存在量词 指定范围 否定形式 特称命题 有一个、存在 整体的 一部分 没有、 不存在 在M中存在某x，有p (x) 成立记：，p (x) 至少有一个 一个也没有 在M中存在某x，p (x)不成立 记：， 至多有一个 至少有两个 对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】常见关键词及其否定形式 关键词 否定词 等于 不等于 能 不能 至少有一个 一个都没有 都是 不都是 没有 至少有一个 大于 不大于 小于 不小于 至多有一个 至少有两个 是 不是 属于 不属于 【例题1】．（2025·广西柳州·模拟预测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】运用全称量词命题的否定为存在量词命题变形即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：C. 【例题2】．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】由判别式的正负可判断，由可判断； 【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题； ， 因为，所以成立，即为真命题，为假命题， 故选：C 【例题3】．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题“”的否定是“”. 故选：D 【例题4】．（24-25高二下·浙江宁波·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由特称命题的否定是全称命题， 则“”的否定为. 故选：D 题型总结 【题型一】判断命题是否为全称命题 【例题1-1】．（24-25高一上·山东菏泽·期中）下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题 【分析】根据全称量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”. 故选：C. 【例题1-2】．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）将改写成全称命题，下列说法正确的是（    ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．，都有 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题 【分析】由全称命题的结构即可求解. 【详解】解：将改写成全称命题为：，都有． 故选：A． 【题型二】用全称量词改写命题 【例题2-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）观察下列等式： …… …… 写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题： . 【答案】对于任意的正整数n，必有成立 【难度】0.85 【知识点】用全称量词改写命题 【详解】对于任意的正整数n，必有成立. 【例题2-2】．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）根据下述事实，写出一个含有量词的命题是 . ， ， ， …… 【答案】， 【难度】0.94 【知识点】用全称量词改写命题 【分析】根据条件，能过类比归纳，即可得出结果. 【详解】由题知，一个含有量词的命题是，， 故答案为：，. 【例题2-3】．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题、用全称量词改写命题、判断命题是否为特称（存在性）命题、用存在量词改写命题 【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解． 【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 【题型三】判断全称命题的真假 【例题3-1】．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】依次对每个选项中的命题进行真假判断，通过举例或推理来确定. 【详解】对于A 选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误. 对于B 选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确. 对于C 选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误. 对于D 选项，对于命题，例如，则，D选项错误. 故选：B. 【例题3-2】．（24-25高一上·浙江·期中）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】代入或1并结合全称命题的否定判断即可； 【详解】当时，成立，所以命题为真命题； 当或1时，命题为假命题，所以为真命题； 故选：C. 【例题3-3】．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．命题：“，为质数” B．命题：“梯形的对角线相等”是全称量词命题； C．命题：“对任意，总有”是真命题； D．命题：“空集是任何集合的真子集”是真命题. 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】判断全称命题的真假、判断命题是否为全称命题、判断命题的真假 【分析】选项A由反例当时可判断，选项B根据全称量词命题的概念可判断； 选项C由可判断；选项D由空集不是空集的真子集可判断. 【详解】选项A：当时，不是质数，故A错误； 选项B：“梯形的对角线相等”指的是“任意梯形的对角线相等”是全称量词命题，故B正确； 选项C：，故C正确； 选项D：空集是任何非空集合的真子集，故D错误； 故选：BC 【题型四】根据全称命题的真假求参数 【例题4-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据全称命题的真假求参数 【详解】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 【例题4-2】．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）命题，为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据全称命题的真假求参数 【分析】利用全称量词命题为真求出的范围，再利用充分不必要条件的定义求解即得. 【详解】，则，当且仅当时取等号，由命题为真，得， 因此命题为真命题的一个充分不必要条件是集合的真子集，C是，ABD都不是. 故选：C 【例题4-3】．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】（1）根据已知条件得是的真子集，列不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，讨论和，列不等式组即可求解； （3）讨论和，列不等式组即可求解. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 【例题4-4】．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、并集的概念及运算、根据全称命题的真假求参数 【分析】（1）由集合的交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而得到或，求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为或， 所以，或； （2）因为“，都有”是真命题，所以， 因为集合，集合或， 所以或， 即或，所以实数的取值范围. 【题型五】判断命题是否为特称（存在性）命题 【例题5-1】．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可； 【详解】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题. 故选：B. 【例题5-2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】根据存在量词命题的定义求解即可. 【详解】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误； 对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误； 对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确； 对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误. 故选：C. 【例题5-3】．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】根据存在量词命题的概念即可判断. 【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题； 对于B中含有“”，该命题是全称量词命题； 对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题； 对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题； 故选：D. 【题型六】用存在量词改写命题 【例题6-1】．（24-25高一上·全国·随堂练习）命题“存在正实数x，使得大于”，用符号语言可表示为 ，该命题为 命题．（填“真”或“假”）． 【答案】 ， 假 【难度】0.94 【知识点】用存在量词改写命题、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】将命题用数学符号语言表示出来可得答案. 【详解】命题“存在正实数，使得大于”， 用符号语言可表示为“，”. 因为时，，所以该命题为假命题. 故答案为：①，；②假. 【例题】．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1) (2) (3)且. (4)｛四边形｝，｛平行四边形｝ 【难度】0.85 【知识点】用存在量词改写命题、用全称量词改写命题 【分析】根据全称量词命题或存在量词命题的知识写出正确答案. 【详解】（1）. （2）. （3）且. （4）｛四边形｝，｛平行四边形 【题型七】判断特称（存在性）命题的真假 【例题7-1】．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】判断出、的真假，即可得出结论. 【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 【例题7-2】．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知命题，，命题，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】分别判断命题、的真假，即可得答案. 【详解】解：因为命题，，所以为真命题； 命题当时，，故为真命题. 故选：A. 【例题7-3】．（24-25高一上·湖北·期中）下列含有量词的命题中为真命题的是（    ） A．任意实数的平方都大于0 B．， C．存在整数，使得 D．，一元二次方程有实根 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】AB选项可举出反例；C选项，均为整数，则为整数，故不存在整数，使得，C错误；D选项，由根的判别式进行判断. 【详解】A选项，0的平方等于0，A错误； B选项，当时，，满足要求，B正确； C选项，， 均为整数，则为整数，故不存在整数，使得，C错误； D选项，当时，， 此时一元二次方程无实根，D错误. 故选：B 【例题7-4】．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、充要条件的证明、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】分类讨论即可判断A；根据空集和交集的定义即可判断B；根据充分条件和必要条件的判定即可判断C；根据表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，即可判断D． 【详解】对于A，当时，成立；当时，成立；当时，成立；故A正确； 对于B，根据空集与交集的定义，若是空集，则A与B均是空集，故B正确； 对于C，若是一元二次方程的一个根，则； 若，则是一元二次方程的一个根， 所以是q的充要条件，故C错误； 对于D，因为时，表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，其乘积必为偶数，故不存在，使得为奇数，故D错误. 故选：AB． 【例题7-5】．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是菱形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】先判断量词，再判断量词命题的真假即可得解. 【详解】A，所有正方形都是菱形为全称量词命题，故A错误； B，，使为存在量词命题， 而恒成立，该命题为假命题，故B错误； C，至少有一个实数，使为存在量词命题， 当时，方程成立，该命题为真命题，故C正确； D，，使为存在量词命题， 而恒成立，该命题为假命题，故D错误； 故选：C. 【题型八】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【例题8-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【详解】“”为真命题，则，“”为真命题，则． 【例题8-2】．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【详解】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 【例题8-3】．（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据“，使得”是真命题，即可求解最值得解. 【详解】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题， 故，则， 故选：A 【例题8-4】．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【详解】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 【例题8-5】．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据命题的真假确定集合中的元素具有的性质，得正确结论． 【详解】“”为真命题，， 因此做这个中含有 上的数， “”为假命题，则中有不小于2的元素， 只有C选项的集合M满足题意. 故选：C． 【例题8-6】．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】已知命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值. （2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围. 【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 【题型九】全称命题的否定及其真假判断 【例题9-1】．（24-25高一上·北京丰台·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可. 【详解】根据含有一个量词的否定， 命题“，”的否定是“，”， 故选：A. 【例题9-2】．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】由全称命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：C 【例题9-3】．（24-25高二下·山西吕梁·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称量词命题的否定方法求解即可. 【详解】先改写量词，再改写结论， 得“，”的否定是“，”． 故选：A 【例题9-4】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知命题，；命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、全称命题的否定及其真假判断 【分析】举出反例证明为假命题，所以为真；找出实例证明为真命题，所以为假；由此即可求解. 【详解】对于命题，时，， 所以，为假命题，为真命题， 对于命题，，解得或， 所以，，为真命题，为假命题， 所以和都是真命题. 故选：B 【例题9-6】．（2024·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（    ） A．，，， B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据题意逐一分析四个选项即可得到答案. 【详解】A的意思是不存在偶数不满足哥德巴赫猜想，与原命题等价， B的意思是两个质数的和作为集合，包含了所有大于2的偶数的集合，与原命题等价， C的意思是两个质数的和中不是偶数的部分为空集，也就是两个质数的和都是偶数， 因为是两个质数的和，但不是偶数，和命题矛盾，C错. D的意思是要么一个偶数不大于2，要么存在一个质数使得该偶数减去质数之后还是一个质数． 故选：C． 【题型十】特称命题的否定及其真假判断 【例题10-1】．（2025高一上·全国·专题练习）已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题的否定为. 故选：A 【题型十一】含有一个量词的命题的否定的应用 【例题11-1】．（24-25高一上·河北衡水·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用 【分析】本题考查全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 【例题11-2】．（24-25高三上·福建·期中）已知命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】命题的否定为：. 故选：C. 【例题11-3】．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设命题，则p的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得解. 【详解】因为命题， 所以p的否定为. 故选：B 【例题11-4】．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、含有一个量词的命题的否定的应用 【分析】根据命题的否定为真命题，讨论的取值，结合二次不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 【例题11-5】．（2025高三·全国·专题练习）若“”是假命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、含有一个量词的命题的否定的应用 【分析】根据“”是假命题，得出它的否定命题是真命题，利用二次函数与一元二次不等式的关系即可求出实数a的取值范围. 【详解】由题意得：“”为真命题， 所以，解得或. ∴实数a的取值范围为 故答案为： 课后作业 1．（24-25高一上·江西·阶段练习）关于命题q：，，下来结论正确的是（    ） A．q是存在量词命题，是真命题 B．q是存在量词命题，是假命题 C．q是全称量词命题，是真命题 D．q是全称量词命题，是假命题 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断全称命题的真假、判断命题是否为全称命题 【分析】含有全称量词的命题是全称量词命题，再特殊值法判断即可. 【详解】对于命题，是全称量词命题，当，而，故为假命题； 所以为全称量词命题且为假命题. 故选：D． 2.（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题 【详解】①③是全称量词命题． 3.（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断全称命题的真假、判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题. 【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可； 【详解】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题. 故选：B. 5．（24-25高一上·安徽·阶段练习）命题“矩形都有外接圆”是（   ） A．全称量词命题、真命题 B．全称量词命题、假命题 C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断全称命题的真假 【分析】根据全称量词命题的定义判断即可. 【详解】命题“矩形都有外接圆”即所有的矩形都有外接圆，为全称量词命题，且为真命题. 故选：A 6．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题 【分析】根据全称量词的特征即可求解. 【详解】对于A，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于B，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于C，命题为：所有偶数的平方是偶数，此命题为全称命题，符题意； 对于D，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意. 故选：C. 8．（2025·甘肃庆阳·三模）已知表示这n个数中最大的数.下列四组数据中，能说明命题“”是假命题的有（    ）组. ①1，2，3，4；②-3，-1，7，5；③8，-1，-2，-3；④5，3，0，-1. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、判断全称命题的真假 【分析】由题意可得①和④不满足题意，对于②③，通过举特例可得判断选项正误. 【详解】对于①和④，从其中任取两个数作为一组，剩下的两个数作为另一组， 由于这两组数中的最大的数都不是负数，其中一组中的最大数即为这四个数中的最大值， 故都能使得命题“”成立； 对于②，当时，， 此时，即命题“”为假命题； 对于③，当时， 此时，即命“”为假命题. 故选：B. 9．（2025·天津和平·三模）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：D 10．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，命题是奇数，则（   ） A．是奇数．是假命题 B．是奇数．是真命题 C．是奇数．是真命题 D．是奇数．是假命题 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【详解】因为，且1是奇数，所以A正确． 11．（2025·河北廊坊·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D．以上说法均错误 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】的否定为：， 故选：B 12．（24-25高二下·重庆·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得： 全称量词命题“”的否定为“”. 故选：B． 13．（24-25高二下·广西北海·期末）命题“，使得”的否定形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据特称命题的否定规则来求解. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以“，使得”的否定是：． 故选:C． 14．（24-25高一上·全国·课前预习）命题“对任意，都有”的否定为（   ） A．对任意，都有 B．不存在，使得 C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题“对任意，都有”的否定为“存在，使得”. 故选：D 15．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）若命题p：有些三角形是锐角三角形，则（   ）． A．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 B．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 C．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 D．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假、特称命题的否定及其真假判断 【分析】判断存在量词命题真假，并根据含有一个量词命题的否定求出p的否定. 【详解】p：有些三角形是锐角三角形为真命题， 根据存在量词命题否定为全称量词命题。 所以p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形， 故选：A. 16．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断 【分析】求出命题的否定，再结合全称量词命题为真求出a的范围. 【详解】由命题“”为假命题，得为真命题， 而， 当时，，满足题意； 当时，则要， ，因此； 所以实数a的取值范围为. 故选：A 17．（24-25高一上·重庆·开学考试）存在，使得，则的最大值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】通过构造二次函数，根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置求出二次函数的最大值，结合存在命题的性质进行求解即可. 【详解】设，因为存在，使得， 所以当时，函数的最大值为非负实数， 该二次函数的对称轴为， （1）若时，即时， 函数在上，随的增大而减小， 所以有，即函数有最大值， 即，即； （2）若时，即时， 函数在上，随的增大而增大， 所以有，即函数有最大值， 即，而，此时没有满足条件的实数； （3）若时，即时， 若时，即时， 此时当时，函数有最大值，则有，即； 若时，即时， 此时当时，函数有最大值，则有，即， 综上所述：，因此的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据所给的区间和二次函数对称轴的相对位置进行分类讨论求二次函数的最大值. 18．（2023·吉林·二模）若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 19．（2024高三·全国·专题练习）若命题“∃x∈R，ax2＋x＋1<0”为假命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【详解】 由题意可知，命题“∀x∈R，ax2＋x＋1≥0”为真命题．当a＝0时，由x＋1≥0可得x≥－1，不合乎题意；当a≠0时，由题意可得解得a≥，因此，实数a的取值范围是. 20.（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】参变分离，求最值即可. 【详解】因为为真命题， 所以，其中， 所以， 故答案为： 21．（24-25高一上·福建福州·期中）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】分析可知，运算求解即可. 【详解】若命题“，”是真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 22．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知命题．命题． (1)写出两个命题的否定； (2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】（1）结合含有量词的命题的否定即可求解； （2）结合含有量词的命题的真假，列出不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以非， 因为， 所以； （2）因为，所以， 又，故，故， 命题． 即，又，故． 综上，当两个命题都是真命题时，的取值范围为． 23．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、全称命题的否定及其真假判断 【分析】（1）根据题意知为真命题，结合x的范围，即可得答案； （2）讨论命题p，q的真假，由此可得实数的取值范围。 【详解】（1）因为命题为真命题，即为真命题， 即，由于，故； （2）为真命题时， 由于，则此时恒成立，故； 命题为真命题时， 时，，符合题意； 时，，即，此时且； 综上，； 所以，当p真q假时；当p假q真时. 24．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设命题，，命题，． (1)若q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若p为假命题、q为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、全称命题的否定及其真假判断 【分析】（1）利用一元二次方程无实根求出的取值范围即得. （2）由命题为真命题求出的范围，再结合（1）求出答案. 【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由p为假命题，得，为真命题，即，， 而当时，，当且仅当时取等号，因此， 由（1）知，，则， 所以实数m的取值范围是. 25．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可. （2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可. 【详解】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为： 综上，或， 故实数m的取值范围为 26．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）根据要求完成下列问题 (1)已知、，集合，集合集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由. (2)已知、，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在，且或，. (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数、根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）求出集合，分、两种情况讨论，根据可得出实数的值；对实数的取值进行分类讨论，根据可得出关于实数的等式或不等式，即可得出实数的取值范围； （2）对于命题：根据韦达定理求得，进而结合恒成立问题求实数的取值范围；对于命题，根据二次不等式分类讨论求解，进而得解. 【详解】（1）因为，则且， ，且， 若，即，此时，，则，合乎题意； 若，即，此时，， 因为，则，此时，， 又因为，当时，，解得； 当时，，此时，， 当且时，，解得且， 因为， 若，即，则， 若，则，因为，此时，不存在. 综上所述，存在满足题设条件的实数、，且或，. （2）因为、是方程的两个实根，则， 可得， 当时，， 由不等式对任意实数恒成立可得：， 即，解得或， 所以命题为真命题时，， 命题不等式有解， 当时，不等式为，解得，合乎题意， 当时，，原不等式一定有解， 当时，只需，解得， 不等式有解时， 又命题是假命题，则， 所以命题是真命题且命题是假命题时，实数的取值范围为. 27．（24-25高一上·天津·阶段练习）设命题，不等式恒成立：命题． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、分式不等式 【分析】（1）对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. （2）根据真假或假真，列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立. 当时，则需，解得. 综上所述，的取值范围是. （2）由得， 所以，解得. 若真假，则“”且“或”，则. 若假真，则“或”且“”，则. 综上所述，的取值范围是或. 学科网（北京）股份有限公司 $$