1.5 全称量词与存在量词（思维导图+3大知识点+5大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．5 全称量词与存在量词 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一：全称量词命题与存在量词命题的概念 5 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的真假 5 知识点三：全称量词命题与存在量词命题的否定 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：命题真假的判断 7 题型二：全称量词命题与存在量词命题的判定 9 题型三：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 10 题型四：利用命题真假求参问题 12 题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定 14 知识点一：全称量词命题与存在量词命题的概念 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． （3）全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对． 2、存在量词与存在量词命题 （1）全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． （3）存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对． 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的真假 1、判断全称量词命题是真命题，需要集合中每个元素，都使成立； 判断全称量词命题是假命题，只需要举出一个反例，集合中有一个元素，使不成立； 2、判断存在量词命题是真命题，只需要找出一个成立元素，集合中有一个元素，使成立； 判断存在量词命题是假命题，需要集合中每个元素，都使不成立； 知识点三：全称量词命题与存在量词命题的否定 1、命题的否定 （1）一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （2）如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 2、全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 题型一：命题真假的判断 【例题1】下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，比如一个等边三角形和一个等腰直角三角形，故A错误； 对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误； 对于C，因为，，即，故C正确； 对于D，因为，，故D错误． 故选：C 【例题2】下列四个命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A，因为，可得，即A是真命题，所以A正确； 选项B，易知当时，不是整数，即不存在，所以B为假命题，所以B错误； 选项C，易知当时，，因此C为假命题，所以C错误； 选项D，解不等式可得，显然不存在，使得，可得D为假命题，所以D错误． 故选：A． 【方法技巧与总结】 判断命题真假的方法 （1）真命题的判定方法． 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． （2）假命题的判定方法． 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． 【变式1】下列命题中，是真命题的是（   ） A．所有梯形的对角线相等 B． C．存在一个自然数小于0 D． 【答案】D 【解析】不是所有梯形的对角线都相等，只有等腰梯形的对角线相等，A错误； 当时，，B错误； 所有的自然数均大于或等于0，C错误； 当，时，，D正确. 故选：D 【变式2】下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．，是整数 【答案】D 【解析】列表解析  直观解疑惑 选项 真假 原因 A 假 举反例，例如，但． B 假 因为对于任意实数，，所以，恒大于0. C 假 举反例，当时，，不满足． D 真 对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数， 所以，是整数． 故选：D 【变式3】下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，为偶数，而3不是偶数，即等式不成立，B错误； 对于C，取满足，而不成立，C错误； 对于D，取，则，D正确. 故选：D 题型二：全称量词命题与存在量词命题的判定 【例题3】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【解析】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 【例题4】下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【解析】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 【方法技巧与总结】 理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点 （1）全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”． （2）有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”． （3）存在命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等． 【变式4】下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 【答案】D 【解析】对选项A，为存在量词命题， 对选项B，为存在量词命题， 对选项C，为存在量词命题， 对选项D，为全称量词命题. 故选： 【变式5】下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【答案】B 【解析】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题. 故选：B. 【变式6】下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 【答案】C 【解析】对于A，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于B，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于C，命题为：所有偶数的平方是偶数，此命题为全称命题，符题意； 对于D，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意. 故选：C. 题型三：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【例题5】下列命题中是假命题的个数为 ． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 【答案】0 【解析】（1）若一个整数的末位是0，则它可以被5整除， 故“每一个末位是0的整数都是5的倍数．”是真命题； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 根据线段的垂直平分线定理，可知它是真命题； （3）实数包含无理数，而无理数就是无限不循环小数， 故“有些实数是无限不循环小数”是真命题； （4）有的三角形不是等腰三角形，比如三个角分别为的直角三角形， 故“存在一个三角形不是等腰三角形”是真命题． 故假命题的个数为0. 故答案为：0 【例题6】命题“”是 （填“真”或“假”）命题. 【答案】真 【解析】对于任意，可得，所以命题“” 为真命题. 故答案为：真. 【方法技巧与总结】 （1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； （2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题． 【变式7】下列命题为真命题的是 ． ①，；②，；③对任意，，都有． 【答案】② 【解析】当时，，故命题“”为假命题，①错误； 命题“”为真命题，②正确； 当时，，故命题“对任意，都有”为假命题，③错误． 故答案为：②. 【变式8】下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【答案】①④ 【解析】①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 【变式9】下列命题：①，；②，；③，；④，；其中所有真命题的序号是 . 【答案】①④ 【解析】对于①，因为，，所以，所以①正确； 对于②，当时，，所以②错误； 对于③，，使成立，所以③正确； 对于④，由，得，所以④错误. 故答案为：①④ 题型四：利用命题真假求参问题 【例题7】已知命题，命题 (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题只有一个为真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）若为真命题，则对任意，恒成立，所以； 若为真命题，则，解得或； 若都是真命题，则实数应同时满足上述条件，即． 综上，当都为真命题时，实数的取值范围为． （2）当为真命题，为假命题时，，解得； 当为假命题，为真命题时，，解得． 综上，当只有一个为真命题时，实数的取值范围为或． 【例题8】已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【解析】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; （2）； 由为真，则， . 【方法技巧与总结】 全称量词命题的真假与参数取值范围紧密相关。要确定参数取值范围，需先分析全称量词命题中的条件，理解其对所有个体或元素的要求。接着，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内对所有个体都成立。 存在量词命题的真假同样与参数取值范围密切相关。要确定参数取值范围，需先分析存在量词命题中的条件，理解其至少存在一个个体或元素满足要求。然后，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内至少对一个个体成立。 【变式10】已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 【解析】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立 则，可得，解得， 因此，若为真命题，则的取值范围是. （2）若命题为真命题，即，使得成立，则， 真假时，；假真时，； ，都真时，； 因为和至少有一个为真，则， 因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是. 【变式11】已知集合，且. (1)若命题是真命题，求m的取值范围； (2)若命题是真命题，求m的取值范围． 【解析】（1）由于命题是真命题， 所以，所以， 解得， （2）q为真，则，因为，所以. 所以， 解得. 【变式12】已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. （2）由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定 【例题9】命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题“”为存在量词命题,它的否定为全称量词命题, 即, 故选：A 【例题10】设是奇数集，是偶数集，则“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知命题“”为全称命题，其否定为特称命题，即， 故选：D 【方法技巧与总结】 （1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． （2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 【变式13】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是： ，. 故选：C 【变式14】命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得原命题的否定为“”. 故选：C 【变式15】已知命题：，则（    ） A．是真命题， B．是真命题， C．是假命题， D．是假命题， 【答案】C 【解析】由，得或，则当时，，故是假命题，. 故选：C 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．5 全称量词与存在量词 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：全称量词命题与存在量词命题的概念 4 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的真假 4 知识点三：全称量词命题与存在量词命题的否定 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：命题真假的判断 6 题型二：全称量词命题与存在量词命题的判定 6 题型三：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 7 题型四：利用命题真假求参问题 8 题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定 9 知识点一：全称量词命题与存在量词命题的概念 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． （3）全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对． 2、存在量词与存在量词命题 （1）全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． （3）存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对． 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的真假 1、判断全称量词命题是真命题，需要集合中每个元素，都使成立； 判断全称量词命题是假命题，只需要举出一个反例，集合中有一个元素，使不成立； 2、判断存在量词命题是真命题，只需要找出一个成立元素，集合中有一个元素，使成立； 判断存在量词命题是假命题，需要集合中每个元素，都使不成立； 知识点三：全称量词命题与存在量词命题的否定 1、命题的否定 （1）一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （2）如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 2、全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 题型一：命题真假的判断 【例题1】下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 【例题2】下列四个命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断命题真假的方法 （1）真命题的判定方法． 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． （2）假命题的判定方法． 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． 【变式1】下列命题中，是真命题的是（   ） A．所有梯形的对角线相等 B． C．存在一个自然数小于0 D． 【变式2】下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．，是整数 【变式3】下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 题型二：全称量词命题与存在量词命题的判定 【例题3】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【例题4】下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【方法技巧与总结】 理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点 （1）全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”． （2）有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”． （3）存在命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等． 【变式4】下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 【变式5】下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【变式6】下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 题型三：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【例题5】下列命题中是假命题的个数为 ． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 【例题6】命题“”是 （填“真”或“假”）命题. 【方法技巧与总结】 （1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； （2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题． 【变式7】下列命题为真命题的是 ． ①，；②，；③对任意，，都有． 【变式8】下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【变式9】下列命题：①，；②，；③，；④，；其中所有真命题的序号是 . 题型四：利用命题真假求参问题 【例题7】已知命题，命题 (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题只有一个为真命题，求实数的取值范围． 【例题8】已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【方法技巧与总结】 全称量词命题的真假与参数取值范围紧密相关。要确定参数取值范围，需先分析全称量词命题中的条件，理解其对所有个体或元素的要求。接着，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内对所有个体都成立。 存在量词命题的真假同样与参数取值范围密切相关。要确定参数取值范围，需先分析存在量词命题中的条件，理解其至少存在一个个体或元素满足要求。然后，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内至少对一个个体成立。 【变式10】已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 【变式11】已知集合，且. (1)若命题是真命题，求m的取值范围； (2)若命题是真命题，求m的取值范围． 【变式12】已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定 【例题9】命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【例题10】设是奇数集，是偶数集，则“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． （2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 【变式13】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式14】命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式15】已知命题：，则（    ） A．是真命题， B．是真命题， C．是假命题， D．是假命题， 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $