第19章 实数（单元测试·提升卷）数学沪教版五四制2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第19章 实数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 D B C B B B 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 5 8. 9. 3 10. 14 11. -80 12. 13. 14. 15. 16. 4 17. -2 18. 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.（6分） 【详解】解： 原式（3分） （5分） （6分） 20.（6分） 【详解】解：设，（1分） 两边平方得：，（2分） ∴，（3分） ②×③×④得; ,（4分） ∵均为非负数， ∴， ∴， ⑤÷②得，， 同理有，（5分） 所求的显然满足①， 所以，原式=（6分） 21.（7分） 【详解】（1）解；∵2个相同的小正方形刚好拼成一个大正方形， ∴小正方形的面积是大正方形面积的一半， 小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， 故答案为：16；4；（2分） （2）解：∵一共有5个小正方形， ∴组成的大正方形的面积为5， ∴组成的大正方形的边长为， 画出示意图如图： （7分） 22.（7分） 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴．（3分） （2）解： ．（7分） 23.（6分） 【详解】解：（1）∵， ∴；（2分） （2）∵，， ∴；（4分） （3）∵， ∴规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位．（6分） 24. （10分） 【详解】解：（1）填表如下：（2分） a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（4分） （3）①， ， 介于整数12和13之间；（6分） ②， ；（8分） ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮．（10分） 25.（8分） 【详解】（1）解：①根据题意得：， 故答案为：4；（1分） ②， ， 不超过的最大整数为2， 故答案为：2；（2分） （2）解：根据题意得：， ，且m是整数， m的最小值是1；最大值是； 故答案为：1，511；（4分） （3）解：存在，x的值为4或9， ，， 当时，即， ， 当时，， ， ∴当时，， 当时，， ， 所以当时，， 当时，的最小值为，的最小值为3， ， 不存在x值使得， x的值为4或9时，成立．（8分） 26.（8分） 【详解】（1）解：，，， ，， ，， 故答案为：；；（2分） （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直， 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ， 至少旋转秒时，射线、射线互相垂直；（5分） （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动秒后，转动至的位置，则， ； 分两种情况： 当时，，， ， ， ，， 当时，， ， ， 解得； 当时，，， ，， 当时，， 此时，， ， 解得； 综上所述，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行．（8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第19章 实数·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个数：中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 5．任何正实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫做一次操作．如对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有正数中，最大的是（    ） A．256 B．255 C．225 D．224 6．如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．的算术平方根减去的立方根的差为 ． 8．如图，圆的半径为1个单位长度，该圆上仅有点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴负方向滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是 ． 9．若实数满足等式，则化简 ． 10．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h(米)与下降的时间t(秒)的关系可以近似地表示为(不计空气阻力)，一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了920米，这段时间大约有 秒(精确到1秒)． 11．我们知道，负数没有平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“开心组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数为“开心组合数”．若三个数，，是“开心组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，那么 ． 12．如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ．    13．比较大小： 14．已知，，依据立方根运算规律得： ． 15．已知数轴上点表示的数是，数轴上到点的距离为且在点右侧的点所表示的数是 ． 16．司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 17．已知，且，则的值为 ． 18．已知，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算： 20．计算： 21．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形． (1)问题发现：若大正方形的面积为，则小正方形的面积是_____，边长为_____； (2)拓展延伸：如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由． 22．【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 23．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 24．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 25．小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2． (1)①实数25经过一次变换所得的数是_______； ②实数25经过一次B变换所得的数是_______； (2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______； (3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由． 26．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足． (1) ， ； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？（直接写出答案即可） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第19章 实数·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个数：中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 5．任何正实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫做一次操作．如对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有正数中，最大的是（    ） A．256 B．255 C．225 D．224 6．如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．的算术平方根减去的立方根的差为 ． 8．如图，圆的半径为1个单位长度，该圆上仅有点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴负方向滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是 ． 9．若实数满足等式，则化简 ． 10．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h(米)与下降的时间t(秒)的关系可以近似地表示为(不计空气阻力)，一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了920米，这段时间大约有 秒(精确到1秒)． 11．我们知道，负数没有平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“开心组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数为“开心组合数”．若三个数，，是“开心组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，那么 ． 12．如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ．    13．比较大小： 14．已知，，依据立方根运算规律得： ． 15．已知数轴上点表示的数是，数轴上到点的距离为且在点右侧的点所表示的数是 ． 16．司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 17．已知，且，则的值为 ． 18．已知，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算： 20．计算： 21．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形． (1)问题发现：若大正方形的面积为，则小正方形的面积是_____，边长为_____； (2)拓展延伸：如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由． 22．【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 23．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 24．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 25．小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2． (1)①实数25经过一次变换所得的数是_______； ②实数25经过一次B变换所得的数是_______； (2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______； (3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由． 26．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足． (1) ， ； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？（直接写出答案即可） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第19章 实数·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个数：中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：所给4个数中，是无理数，，，是有理数， 故选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意， 故选：D 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴选项B符合题意； ∵， ∴选项C不符合题意； ∵， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 3．下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A、因为，，且，根据“若（为实数），则”，可得，故此选项不符合题意； B、因为，，且，根据“若（为非负实数），则”，可得，故此选项不符合题意； C、因为，，又，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得，故此选项符合题意． D、因为，，且，所以，故此选项不符合题意；． 故选：C． 4．如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴， ∵点表示的数为2， ∴点表示的数为， 故选：B． 5．任何正实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫做一次操作．如对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有正数中，最大的是（    ） A．256 B．255 C．225 D．224 【答案】B 【详解】解：A、256第一次操作，第二次操作，第三次操作，第四次操作， ∴256需要进行4次操作才变为1，不符合题意； B、255第一次操作，第二次操作，第三次操作 ∴255需要进行3次操作才变为1； C、225第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴225需要进行3次操作才变为1； D、224第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴224需要进行3次操作才变为1； ∵， ∴只需进行3次操作变为1的所有正数中，最大的是255． 故选：B． 6．如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．的算术平方根减去的立方根的差为 ． 【答案】 【详解】解：， 的算术平方根， 的立方根， 的算术平方根减去的立方根的差为， 故答案为：． 8．如图，圆的半径为1个单位长度，该圆上仅有点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴负方向滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是 ． 【答案】 【详解】解：圆的半径为1个单位长度， 此圆的周长， 当圆沿数轴负方向滚动时点表示的数是． 故答案为：． 9．若实数满足等式，则化简 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ，， ， ， ，， ， ． 10．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h(米)与下降的时间t(秒)的关系可以近似地表示为(不计空气阻力)，一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了920米，这段时间大约有 秒(精确到1秒)． 【答案】14 【分析】本题考查实数运算，理解算术平方根的意义是解答关键，将代入进行计算即可． 【详解】解：当时，， ∵，解得秒， 故答案为：14． 11．我们知道，负数没有平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“开心组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数为“开心组合数”．若三个数，，是“开心组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，那么 ． 【答案】 【详解】当时，则， 解得， ∵，，且10，15，30都是整数， ∴此时满足是“完美组合数”； 当时，则， 解得，不符合题意； 综上所述，． 故答案为：． 12．如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意得出大正方形的面积，根据正方形的面积公式可得边长． 【详解】解：把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， 大正方形的面积为， 大正方形的边长是，即， 故答案为：． 13．比较大小： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 14．已知，，依据立方根运算规律得： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知数轴上点表示的数是，数轴上到点的距离为且在点右侧的点所表示的数是 ． 【答案】 【详解】本题考查用数轴上的点表示实数，实数的大小比较，根据点表示的数是，数轴上到点的距离为且在点右侧，设表示的数为，根据两点间的距离列出方程求解即可．解题的关键是明确题意，利用数轴的知识解答． 【解答】解：设表示的数为， 根据题意，得：， 解得：， ∴表示的数是． 故答案为：． 16．司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是 ． 【答案】4 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故答案为4． 17．已知，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解： 则． 已知，将其代入上式可得： 所以， 因为，那么， 所以． 故答案为：． 18．已知，则 ． 【答案】 【详解】解：由，得 即， 或， 当时，， 则； 当时，，则的分母为0 ，故舍去， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算： 【详解】解： 原式 20．计算： 【详解】解：设， 两边平方得：， ∴， ②×③×④得; , ∵均为非负数， ∴， ∴， ⑤÷②得，， 同理有， 所求的显然满足①， 所以，原式= 21．如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形． (1)问题发现：若大正方形的面积为，则小正方形的面积是_____，边长为_____； (2)拓展延伸：如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由． 【详解】（1）解；∵2个相同的小正方形刚好拼成一个大正方形， ∴小正方形的面积是大正方形面积的一半， 小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， 故答案为：16；4； （2）解：∵一共有5个小正方形， ∴组成的大正方形的面积为5， ∴组成的大正方形的边长为， 画出示意图如图： 22．【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 23．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位． 24．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 25．小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2． (1)①实数25经过一次变换所得的数是_______； ②实数25经过一次B变换所得的数是_______； (2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______； (3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 故答案为：4； ②， ， 不超过的最大整数为2， 故答案为：2； （2）解：根据题意得：， ，且m是整数， m的最小值是1；最大值是； 故答案为：1，511； （3）解：存在，x的值为4或9， ，， 当时，即， ， 当时，， ， ∴当时，， 当时，， ， 所以当时，， 当时，的最小值为，的最小值为3， ， 不存在x值使得， x的值为4或9时，成立． 26．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足． (1) ， ； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？（直接写出答案即可） 【详解】（1）解：，，， ，， ，， 故答案为：；； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直， 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ， 至少旋转秒时，射线、射线互相垂直； （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动秒后，转动至的位置，则， ； 分两种情况： 当时，，， ， ， ，， 当时，， ， ， 解得； 当时，，， ，， 当时，， 此时，， ， 解得； 综上所述，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$