2025年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题

绝密★启用前 2025年7月浙江省普通高中学业水平考试 数学参考答案 选择题部分 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合 题目要求的，不选、多选、错选均不得分)》 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D C D D A 题号 > P 9 10 11 答案 C A B B A C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题 目要求的，全部选对得6分，部分选对部分得分，不选、错选得0分) 题号 13 14 15 答案 AB ABC ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 题号 16 17 18 答案 3 0 25 非选择题部分 四、解答题（本大题共3小题，共37分。第19题12分，第20题12分，第21题13分） 19.(12分) (1)解：PAUB)=P(A)×PB)O.5×0.603 (2)解：PAUB)+P(AUB十P(AUB) =P(A)XP(B)+P(A)XP(B)+P(A)XP(B) =0.5×0.6+0.5×0.6+0.5×0.4 0.3+0.3+0.2 0.8 20.(12分) (1)证明： ,四边形ABCD是正方形，∴，AB∥DC -niaa818 D,且AA,ABc平面AABB,DD,DCC平面DDCC1 Z学考（数学）参考答案第1页（共4页） ∴.平面A1ABB1∥平面D1DCC1,证毕. (2)(I)证明： 由题(1)同理可得平面A1ADD1∥平面B1BCC1, .∠A1D1D-∠B1C1C,A1D1IB1C1, 又A1D1⊥D1C1,即∠A1D1C1=90°， ∴.四边形A1B1C1D1是矩形， 又，BB1∥CC1,且BC∥BC1,BB1=AB=BC=1, ∴.四边形BCCB是正方形， .∠A1D1D=∠B1C1C-90°， 又：DnD,G=D,A0nDb三D,且AE平面D,DcC, (∠A1D1C1=90°，∠A1DD=90° .A1D1⊥平面D1DCC1,证毕 (2)(Ⅱ)解： 过点B作A1B1的平行线交AA1于点E,过点C作D1C1的平行线交DD1于点F,连接线段EF VABCD-A1CD1=V三使#BBA-CFD+V四使#BA1EB-C1D1FC, V三oEA-GD=SaEA×BC=X1X受×1=9 2 2 Vg袋A:B-G,c=Sa8B×BC=1X号×1=号 2 .VARCD--A1BCD1=V三棱BEA-cFD+V四使，A1EB-CD,Fc= 4 21.(13分) (1)解： 已知0∈(0，π/2)且tan0=3/4。 构造直角三角形，对边为3，邻边为4，斜边为V√32+42=5。 则sin0=3/5,cos0=4/5。 函数f(x)=血二号 C05z-20 代入0： 因此，f(e) 3 (2)解： Z学考（数学）参考答案第2页（共4页） 函数g)-需学。 要求g(x)的最小值为0，即g(x)≥0且存在x使得g(x)=0。 g(x)=0当分子为零且分母非零：acosz+2=0即cosx=一各. cosm∈【-1,1故-1≤-？≤1. 若a>0,则a≥2. 若a<0,则a≤-2。 同时，g(x)≥0要求分子与分母同号。分母sinx+1>0(定义域内)，故分子acosz+2≥0 对所有x。 函数h(t)=at+2(t∈【-1,1)的最小值≥0： min{a·(-1)+2,a·1+2}=min{-a+2,a+2}≥0， 即-a+2≥0且a+2≥0，解得-2≤a≤2. 结合条件a≥2或a≤-2，得a=2或a=-2。 验证 当a=2,g)=m2,在x=,c0sT=-1,血T=0,g)=0,且gl)≥0. 当a=-2,g(x)= 21-6o。 sin+1 在x=0,g(0)=0,且g(x)≥0. 因此，a=2或a= -2 (3)解： 条件：对任意x∈[0，/3，存在x0∈【-T/3,示/3使得f八x)≥90). 等价于(x)在0，示/3上的最小值≥9(x)在[-开/3，π/3上的最小值， 求(x)在0，x/3的最小值 f儿)-inx-1 cosz-2 端点： f0)-岂-1 f3)-器-碧罂-号-学4 -32 导数： f'(x)- 1-2cosz-sinE-0→1-2c0sz-si血r=0. (c0sz-22 辉得c05x-4/5(在0，π/3内)，sinx-3/5 amu-治}8-专 比较：f0)-1,f(x/3)=2=4≈0.0893，f(arccost(4/5)=1/3≈0.333. 最小值在x=示/3，minf=学平 求g(x)在-T/3,π/3)的最小值： 9(z)-acos+2 sin+1 Z学考（数学）参考答案 第3页（共4页） 导数： gg)=-a-an-2os2-0→a1+sim）=-2cosx. (sin+1)2 临界点存在当a∈[-4-2V3,-4+2vV3≈[-7.464，-0.536，此时 9ee)-1-子 端点： 9-/3)= 9/3)=4为 最小值函数： a+4 a<-4-23, 2-v3 ming(a)= 1- -4-2v3≤a≤-4+23， 2+3 a>-4+2V3 条件：minf≥ming(a),即 2-V3 3 ≥ming(a 分析： 若a<-4-2W3,min9a)=<0<22,满起 若-4-2V3≤a≤-4+2V3,mimg(a)-1-号，需 1-<29→≥1289 a2 →0≥4+v3圆 3 3 3 3 解得a≤-√固（因a负），即 1+V3 a≤-21 3 若a>-4+2W3,mim9(a)=>2学 (因函数增且a>-0.536时值大)，不满 足 综上，a≤-2√. 数值：-2√≈-1.908， 边界验证：当a--21√ ming=minf,满足， 因此，a的取值范围为a≤一2V 3即 1+V3 1+3 a∈-0，-21 3 Z学考（数学）参考答案第4页（共4页） Z 学考（数学）试题 第 1 页 （共 4 页） 绝密★启用前 2025 年 7 月浙江省普通高中学业水平考试 数 学 姓名 准考证号码 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4页，满分 100分，考试时间 80分钟。 考生注意： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号码用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答 题纸规定的位置上。 2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷 上的作答一律无效。 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 选择题部分 一、单项选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合 题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知一组样本数据为“2,2,3,5,6,7,8”，该样本数据的中位数是（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 2. 已知集合𝐴 = {1,2,3}，𝐵 = {2,3,5}，则𝐴 ∪𝐵 =（ ） A. {2} B. {2,3} C. {3,5} D. {1,2,3,5} 3. 函数𝑓(𝑥) = √𝑥2−9的定义域为（ ） A. (−3,0) B. (−3,0) ∪ (0,3) C. (−∞,−3] ∪ [3,+∞) D. (−3,3) 4. 已知复数𝑧 = −𝑖，则|𝑧| =（ ） A. −𝑖 B. 𝑖 C. −1 D. 1 5. 已知向量𝒂 = (𝑥,1)，𝒃 = (2, −1)，且𝒂∥𝒃，则𝑥的值是（ ） A. 1 B. −1 C. 2 D. −2 6. 已知∆𝐴𝐵𝐶的三个内角𝐴、𝐵、𝐶，则“𝑐𝑜𝑠𝐶 = 0”是“∆𝐴𝐵𝐶为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 及不充分也不必要条件 7. 若想要得到函数𝑦 = sin⁡(3𝑥 + 𝜋 6 )的图像，只需要将𝑦 = sin3𝑥的图像（ ） A. 向左平移 𝜋 6 个单位 Z 学考（数学）试题 第 2 页 （共 4 页） B. 向右平移 𝜋 6 个单位 C. 向左平移 𝜋 18 个单位 D. 向右平移 𝜋 18 个单位 8. 对于函数𝑦 = log5(1− 𝑥) + log5(1+ 𝑥)，下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数，且在𝑥 ∈ (−1,0)上单调递增 B. 是偶函数，且在𝑥 ∈ (1, +∞)上单调递减 C. 是奇函数，且在𝑥 ∈ (−1,0)上单调递增 D. 是奇函数，且在𝑥 ∈ (1,+∞)上单调递减 9. 设函数𝑦 = 3𝑥 +𝑥，𝑦 = log3𝑥 + 𝑥，𝑦 = 𝑥 3+𝑥的零点分别为𝑥1，𝑥2，𝑥3，则下列说法中正确的是 （ ） A. 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 B. 𝑥1 < 𝑥3 < 𝑥2 C. 𝑥2 < 𝑥1 < 𝑥3 D. 𝑥2< 𝑥3 < 𝑥1 10. 在直三棱柱𝐴𝐵𝐶 −𝐴1𝐵1𝐶1中，已知 AB⊥AC，E 是𝐴1𝐵的中点，D 是𝐶𝐶1的中点， AB=2，AC=1， 则 AB 与 DE 所成的角的大小为（ ） A. 𝜋 6 B. 𝜋 4 C. 𝜋 3 D. 𝜋 2 11. 在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，E 为 AB 上靠近点 B 的三等分点，F 为 BC 上的中点，连接 BD、 AF，BD 与 AF 交于点 M，则 cos∠BMF=（ ） A. √5 5 B. − √5 5 C. 2√5 5 D. − 2√5 5 12. 已知定义在𝐑上的函数𝑓(𝑥)满足：𝑓(𝑥 + 1) = 2𝑓(𝑥)，且当𝑥 ∈ [0,1]时，𝑓(𝑥) = 𝑥(1− 𝑥)，若𝑓(𝑥) ≤ 1在(−∞,𝑎]上恒成立，则实数𝑎的最大值为（ ） A. 5 2 B. 3 C. 7 2 − √2 4 D. 7 2 + √2 4 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题 目要求的，全部选对得 6 分，部分选对部分得分，不选、错选得 0 分） 13. 对于实数𝑎、𝑏、𝑐、𝑑，下列选项中正确的是（ ） A. 𝑎 > 𝑏, 𝑎+ 𝑐 > 𝑏+ 𝑐 B. 𝑎 > 𝑏, 𝑐 > 𝑑,𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑑 C. 𝑎 > 𝑏, 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 D. 𝑎 > 𝑏, 𝑐 > 𝑑,𝑎𝑐 > 𝑏𝑑 14. 用一个平面截取一个正方体，所得截面的形状可能是（ ） A. 六边形 B. 五边形 C.矩形 D. 直角三角形 Z 学考（数学）试题 第 3 页 （共 4 页） 15. 如图所示，矩形 ABCD（AB>BC）的周长为 4，将∆𝐵𝐶𝐷沿着矩形的对角线 BD 翻折至∆𝑃𝐵𝐷，PD 交 AB 于点 F，则下列说法中正确的是（ ） A. ∆𝐵𝐷𝐹是等腰三角形 B. ∆𝐴𝐷𝐹的周长为 2 C. ∆𝐵𝐷𝐹面积的最小值为3 + 2√2 D. ∆𝐴𝐷𝐹面积的最大值为3− 2√2 非选择题部分 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 9 分） 16. 已知log3𝑁 = 1 2 ，则𝑁= . 17. 函数𝑓(𝑥) = { ⁡0, |𝑥| ⁡≤ ⁡1 ⁡⁡⁡ 1 𝑥 , |𝑥| ⁡> ⁡1 ，已知𝑎 ∈ 𝐑，则𝑓(𝑓(𝑎)) = . 18. 某校抽取了 100 名学生的体育考试的分数，某同学用频率分布直方图表示出来（如图所示），则可 以得出分数在区间[70,80)的人数为 . 四、解答题（本大题共 3 小题，共 37 分。第 19 题 12 分，第 20 题 12 分，第 21 题 13 分） 19.（12 分）甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为 0.5，乙破译密码成功的概 率为 0.6，且两者结果相互独立，请回答下列问题： （1）求甲和乙同时成功破译密码的概率； （2）求密码被成功破译的概率. 频率/组距 Z 学考（数学）试题 第 4 页 （共 4 页） 20.（12 分）如图所示，四边形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷在平面𝛼上的投影（𝐴𝐴1∥𝐵𝐵1∥𝐶𝐶1∥𝐷𝐷1）， 请回答下列问题： （1）证明：平面𝐴1𝐴𝐵𝐵1∥平面𝐷1𝐷𝐶𝐶1； （2）若𝐴1𝐷1 ⊥ 𝐷1𝐶1，且𝐴𝐴1 = 2，且𝐴𝐵 = 𝐵𝐵1 = 𝐴1𝐵1 = 1. （I）证明：𝐴1𝐷1 ⊥平面𝐷1𝐷𝐶𝐶1； （II）试求𝐴𝐵𝐶𝐷 −𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的体积. 21.（13 分）已知函数𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥−1 𝑐𝑜𝑠𝑥−2 ，𝑔(𝑥) = 𝑎⁡𝑐𝑜𝑠𝑥+2 𝑠𝑖𝑛𝑥+1 ，𝑎 ∈ 𝐑. （1）已知𝜃 ∈ (0, 𝜋 2 )，𝑡𝑎𝑛𝜃 = 3 4 ，求𝑓(𝜃)的值； （2）若𝑔(𝑥)的最小值为 0，求𝑎的值； （3）若对任意𝑥 ∈ [0, 𝜋 3 ]，存在𝑥0 ∈ [− 𝜋 3 , 𝜋 3 ]，使得𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥0)恒成立，求𝑎的取值范围.