1.3几何证明举例（第3课时）（教学课件）数学青岛版2024八年级上册

青岛版2024·八年级上册 1.3 几何证明举例 第一章 推理与证明 1.3.3 反证法的证明范式 章节导读 1.1定义与证明 1.2证明 1.3几何证明举例 定义 命题 如何证明 互逆命题的推导与证明 推论的意义与运用 反证法的证明范式 合情推理到逻辑推理 学 习 目 标 1 2 能复述反证法三步骤：① 假设命题不成立 → ② 推导矛盾 → ③ 原命题成立 能辨别反证法使用场景（存在性、唯一性、无限性命题） 3 能用反证法完成经典证明 情境导入 第五公设：一场两千年的几何战争 阿 基 米 德 → 牛顿 全军覆没！ 两千年前，欧几里得写下第五公设——主要说明过一点有且只有一条直线与已知直线平行！一时之间，所有数学家都想证明这个又长又怪的公设 俄罗斯‘几何狂人’罗巴切夫斯基： 既然证明不了，不如彻底造反！ 假设过一点→两条平行线！ 然而若是该假设成立，竟会发现三角形的内角和小于180° 情境导入 反证法：在荒谬中炸出新宇宙 🌀 如此荒谬的假设，你会认同吗？ 不！他用反证法挖出了新宇宙 ▶ 罗氏几何！ 爱因斯坦用此推翻牛顿引力，重塑时空！ 反证法究竟有何等威力?能把把‘不可能’变成新世界的基石？ 接下来，让我们走进课堂，了解什么是反证法！如何使用反证法！ 5 新知探究 反证法——当直接证明“走不通”时的思维突围 ⚙️ 当一个命题从已知条件出发不易直接证得结论时，还有其他方法吗？ 🤔 🗣️ 思考与交流 1 2 ∠1=∠2? 你常用的直接证明方法是什么？ 试试用“新方法”证明熟悉的定理 🌈 证明平行线的性质定理Ⅰ： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 💡 提示： 如果“假设同位角不相等”，会发生什么？ 案例解析：用反证法证明平行线同位角相等 新知探究 已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于点G、H。 求证：∠1=∠2。 【证明】 假设：∠1≠∠2（提出反面假设） 过点G作直线A'B'，使∠EGB'=∠2 所以A'B'∥CD（同位角相等，两直线平行） 因为AB∥CD（已知） 所以过点G有两条直线AB、A'B'均平行于CD 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾 所以∠1≠∠2的假设不成立 所以∠1=∠2 A C B D E F G H A` B` 1 2 方法技巧 反证法与直接证明的“区别”： 直接证明：从已知条件出发，正向推导到结论 反证法：从结论的反面出发，逆向推导到矛盾，从而间接证明结论 ⚙️ 知识小结 💭 反证法：从“假设反面”到“证明结论”的逻辑闭环 以上这种证明方法有怎样的特点？它包括了哪几个步骤？ ❓ 📌 反证法的核心特点 - **间接性**：不直接证明结论，而是通过“否定反面”间接验证； 概括与表达 - **矛盾性**：核心是“推导矛盾”（与已知条件、定理冲突） - **逻辑性**：严格遵循“假设→推导→结论”的闭环，无逻辑漏洞。 ⚙️ 反证法的三步流程 ① **否定结论** 🚫 假设命题的结论不成立 ② **推出矛盾** ❌ 从假设出发，结合已知条件，推导出自相矛盾的结果 ③ **肯定结论** ✅ 由矛盾判定假设不成立，从而证明原结论 **反证法**：提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方法 新知探究 情境一：“以有证无”，反证法破解否定性命题的核心逻辑 🔍 1.用反证法证明： 一个三角形中不可能有两个直角 假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90° 因为∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理） 所以90°+90°+∠C=180°（等量代换） 所以∠C=0°（等式的性质） 但∠C=0°与三角形内角的定义矛盾（三角形的每个内角都大于0°） 因此，“△ABC中有两个直角”的假设不成立 【证明】 原命题得证： 一个三角形中不可能有两个直角 方法技巧 直接证明“不存在”“没有”“不可能”非常困难（无法穷举所有情况），但假设“存在”“有”，更容易导出矛盾。 9 新知探究 🔍 情景二：反证法破“至少/至多”题：从“全反假设”到“矛盾突破” 2.用反证法证明：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45° 已知：设直角三角形ABC中，∠C=90° 求证：∠A或∠B中至少有一个≤45° 【证明】假设∠A>45°，∠B>45° 因为∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和定理） 且∠C=90°（已知） 所以∠A+∠B=90°（等量代换，等式的性质） 因为∠A>45°且∠B>45°（已知） 所以∠A+∠B>45°+45°=90° 这与∠A+∠B=90°矛盾 所以假设不成立，原命题得证 方法技巧 （1）“至少一个”的反面是“全不”（如“至少有一个锐角≤45°”的反面是“所有锐角都>45°”）； （2）“至多一个”的反面是“至少两个”（如“至多有一个直角”的反面是“有两个或更多直角”） 新知探究 情景三：反证法破“唯一性”命题，用“多”的假设，证“一”的必然 🔍 3.平行公理——过直线外一点只有一条直线与已知直线平行 已知：直线l，点P在l外； 求证：过P只有一条直线与l平行 证明：假设过P有两条直线​、都平行于l（ ​​） 因为​ //l， //l,且​（已知） 所以​（平行线的传递性） 因为​、都过点P（已知） 所以​，即二者重合（两点确定一条直线的基本事实） 这与假设矛盾，假设不成立，原命题得证。 P l 方法技巧 直接证明“只有一个”需要排除所有其他可能，而假设“有两个或更多”，更容易通过逻辑推导矛盾（如与定义、定理冲突）。 知识小结 🔍 反证法的适用情境归纳 📌 核心逻辑 反证法的本质是 “否定反面→推导矛盾→肯定原结论”，适用于直接证明困难的命题 四大适用情境 1. 否定性命题 特点：证明“不存在”“不可能”“没有” 2. 唯一性命题 特点：证明“唯一”“只有一个”“有且仅有” 3. “至少/至多”类命题 特点：证明“至少有一个”“至多有一个” 4. 难以直接构造的命题 特点：无法通过直接举例或正向推导证明 🔄 证明的方法主要有两种：直接证明与间接证明，而“反证法”就是间接证明的典型方法 课堂练习 1.下列关于反证法证明平行公理的步骤， 顺序正确 的是（ ） ① 两条直线都过P且平行，必重合； ② 假设过P有两条不同直线与l平行； ③ 假设不成立，原命题得证； ④ 由平行传递性得两条直线平行。 A. ②→④→①→③ B. ①→②→③→④ C. ③→②→①→④ D. ②→①→④→③ 导出矛盾 假设反面 得出结论 推导过程 答案解析：假设推导矛盾是反证法解答的一般过程，故选A 方法技巧 反证法的核心流程是“假设→推导→矛盾→结论” 课堂练习 2. 用反证法证明“三角形中不可能有两个钝角”时， 推导过程中导出的矛盾 是（ ） A.与“三角形内角和为180°”矛盾 B. 与“钝角的定义（大于90°）”矛盾 C. 与“平行线性质”矛盾 D. 与“线段中点的定义”矛盾 否定性命题 【解】 否定性命题，该将“不可能”假设为“必然” 假设三角形中有两个钝角（设为∠A>90°，∠B>90°），则∠A+∠B>180° 加上第三个角∠C>0°，三角形内角和∠A+∠B+∠C>180° 与“三角形内角和为180°”的定理矛盾，故选择A。 方法技巧 解题关键： 能够对要进行的命题进行假设，根据假设的内容推导出与之相对应的矛盾 课堂练习 3.下列命题中，最适合用反证法证明的是：（ ） 三角形的内角和为180° B. 是无理数 C. 二次函数的图像是抛物线 D. 直角三角形的勾股定理 性质定理 无法正向推导的命题 性质定理 性质定理 【解】 在以上四个选项中，性质定理都可以通过正向推理得出，但“ 是无理数 ”是难以正向推导的命题，故选B 方法技巧 解答关键： 能清楚的了解“反证法使用的四大场景” 1.否定性命题 2.唯一性命题 3.“至多/至少”类命题 4.无法正向推导的命题 课堂练习 用反证法证明：三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60° 已知：△ABC是任意三角形； 求证：∠A,∠B,∠C中至少有一个≥60° 证明：假设△ABC的三个内角都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60° 因为∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°（三角形内角和定理） 所以∠A+∠B+∠C<180°与三角形内角和定理（∠A+∠B+∠C=180°）矛盾 所以，“三个内角都小于60°”的假设不成立，原结论得证 本题核心逻辑： 假设反面（都<60°）→推导（和<180°） →矛盾（与内角和定理冲突） →肯定原结论（至少一个≥60°） 方法技巧 课堂练习 用反证法证明： 已知：a+b>0 求证：a，b中至少有一个大于零。 🚫假设a，b都不大于零，即a≤0且b≤0 ➡️所以a+b≤0+0=0（不等式加法性质） ❌因为a+b≤0与已知条件a+b>0矛盾 ✅所以“a，b都不大于零”的假设不成立 原结论得证： a。b中至少有一个大于零 证明： 经过以上的练习，你对推理与证明的过程与方法是否完全熟悉了？ 现在我们已经掌握了证明题的证明步骤，也对证明的方法和过程进行了深入的学习，那么证明题的完整逻辑流程是什么呢？ 知识小结 🔍 证明题的逻辑流程 🧩 准备阶段 - 核心命题 - 隐含条件 ▫ 策略选择 - 直接法 - 反证法 ▫ 审题拆解 (构建基础) ⛓ 执行阶段 (逻辑链条构建) 已知条件 ↓ ↓ ↓ 公理/定义引用 定理/推论衔接推导 过渡结论生成 ⇅ 循环逼近结论 ✅ 收尾阶段 (闭环验证) ▫ 结论匹配 - 覆盖命题 - 边界检验 ▫ 表述规范 - 符号标准化 ▫ 复盘校验 - 特例反代 课堂总结 📌1.反证法本质： 通过“否定结论→推导矛盾→肯定原结论”的间接证明方法 🔑2. 三步骤流程（逻辑闭环） 步骤 关键操作 ① 否定结论 假设命题结论不成立 ② 推出矛盾 结合已知条件，推导出矛盾 ③ 肯定结论 因假设不成立，原命题得证 🧠3. 四大适用场景 🔴1. 否定性命题 🟢2. 唯一性命题 🔵 3.“至少/至多”类命题 🟣4. 难以直接构造的命题 感谢聆听! $$