第21章 二次根式（高效培优单元测试·强化卷）数学华东师大版九年级上册

第21章 二次根式（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 2．已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查二次根式化简．先把化简，再根据同类二次根式的定义得到，从而可确定m的值． 【详解】解：∵，最简二次根式与可以合并， ∴和是同类二次根式， ， 解得：． 故选D． 3．如果，那么下面各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质和乘除运算，熟练掌握运算法则是关键． 由条件且可知，a和b均为负数．根据平方根的性质，需确保被开方数为非负数，且运算结果符号正确。．逐一分析选项即可． 【详解】解：∵说明a和b同号．进一步说明a和b均为负数． A、 中，和无意义（实数范围内），故选项错误； B、 ，故选项错误； C、 ，故选项正确；     D、 ，故选项错误； 故选：C 4．在如图所示的数轴上，两点对应的实数分别是和，点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，根据题意求出的长，进而得到的长以及的长，即可确定点C对应的实数． 【详解】解：由题意知， 点到点的距离与点到点的距离相等， ， ， 点所对应的实数是， 故选D． 5．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ； 故选D． 6．按图所示的程序计算，若输入，则输出的结果是（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是程序框图、无理数的大小估算及二次根式的混合运算，理解程序框图的含义是解本题的关键．把代入程序框图对应的代数式，再进行计算即可． 【详解】解：，， ， 把代入，得， 故选：B． 7．已知x，y为实数，且，则的值为（   ） A． B．9 C． D．18 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．把根号外的因式移入根号内，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据可得，所以移入括号内为进行计算即可． 【详解】解：根据根式的性质可得可得， 因此 故选：B． 9．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：，其中①，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：②．若一个三角形的三边长依次为3，5，6，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（    ） A．7 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的运用，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．由分析可得，代入公式①中比较容易计算，把分别代入进行计算解答． 【详解】解：∵3，5，6都是整数，代入公式①中计算方便， ∴， ∴， 故选：B． 10．已知x，y是正整数，若，则x+y的值是（    ） A．187或143 B．137或275 C．143或275 D．5或11 【答案】A 【分析】根据，设，，则a+b=5，可得a=1，b=4或a=2，b=3或a=3，b=2或a=4，b=1，再由，分别代入求值即可． 【详解】解：∵， 设，， ∴ ∴a+b=5， ∵a、b是正整数， ∴a=1，b=4或a=2，b=3或a=3，b=2或a=4，b=1， ∵，， ∴或， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的化简方法，根据数的特点分类求解是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x值是 ． 【答案】3（小于4的实数都可） 【分析】本题主要考查了二次根式无意义的条件，根据二次根式无意义的条件是被开方数小于0就行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内没有意义， ∴，即， ∴符合题意的x值可以为3， 故答案为：3（小于4的实数都可）， 12．若式子化简的结果为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，将转化为：，分，和三种情况讨论，求解，根据化简的结果为，得出结论即可． 【详解】解：， 当时：原式，不满足题意； 当时：原式，不满足题意； 当时：原式，满足题意； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的性质，以及化简绝对值．熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． 13．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．已知分别为等腰三角形的两条边长，且满足，此三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的意义、三角形三边关系、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：由 则 即 分别为等腰三角形的两条边长 故该等腰三角形是以为腰，为底 故周长为： 故答案为：． 15．利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据已知可得，然后利用完全平方公式得到的整系数方程为：，可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴得到的整系数方程为：， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去绝对值，再把各二次根式化为最简二次根式，计算零指数幂，然后合并即可； （2）化简二次根式，并进行乘法运算，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（8分）先化简：，再求当时此代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．（8分）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把，代入进行计算，即可作答． （2）先整理，再把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，且，， ∴． 19．（8分）已知，． (1)求的值； (2)若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算算化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先利用分母有理化化简和，从而求出和的值，然后再利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】（1）∵， ， ∴， ， ∴ （2）∵， ∴， ∴， ∴的小数部分是， ∴， ∵， ∴， ∴的小数部分， ∴， 20．（10分）已知满足． (1)求的值； (2)试问以为三边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能构成三角形，三角形的周长为 【分析】本题考查了非负数的性质、二次根式的运算、三角形的三边关系等知识，正确求出的值是解题的关键； （1）根据非负数的性质结合二次根式的性质解答即可； （2）根据三角形的三边关系即可进行判断，再根据二次根式的加减法则求解三角形的周长即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴以为三边能构成三角形，三角形的周长． 21．（10分）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板，，． (1)木板①中截出的正方形木板的边长为______（结果保留根号）； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积（结果保留根号）； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能截出；理由见解析 【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵木板B为正方形，且面积为， ∴木板B的边长为：． （2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． （3）解：能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，， 能截出． 22．（11分）观察下列一组等式，解答问题． ，， ，， …… (1)观察以上规律，请写出第个等式： （为正整数）； (2)利用上面的规律，计算：； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出第个等式即可； （2）原式利用（1）中得出的规律计算，即可求出式子的值； （3）利用得出的规律将与进行转化，再进行比较即可． 此题考查了分母有理化，实数比较大小，熟练掌握分母有理化是解本题的关键．分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ……， 第个等式为：． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题可得，，， ， ． 23．（12分）综合运用材料一：形如，二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为　　　，点的“横负纵变点”为　　　； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可得到答案； （2）由题意得到，即可得到答案； （3）根据题意得到，，进行化简即可． 【详解】（1）解：，故， 的“横负纵变点”为， ，故， 点的“横负纵变点”为， 故答案为：；； （2）解：， ； （3）解：， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次根式（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．11 3．如果，那么下面各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在如图所示的数轴上，两点对应的实数分别是和，点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 5．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 6．按图所示的程序计算，若输入，则输出的结果是（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 7．已知x，y为实数，且，则的值为（   ） A． B．9 C． D．18 8．把根号外的因式移入根号内，其结果是（    ） A． B． C． D． 9．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：，其中①，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：②．若一个三角形的三边长依次为3，5，6，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（    ） A．7 B． C． D．8 10．已知x，y是正整数，若，则x+y的值是（    ） A．187或143 B．137或275 C．143或275 D．5或11 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x值是 ． 12．若式子化简的结果为，则x的取值范围是 ． 13．已知，则代数式的值是 ． 14．已知分别为等腰三角形的两条边长，且满足，此三角形的周长为 ． 15．利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算： ． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（8分）计算： (1) (2) 17．（8分）先化简：，再求当时此代数式的值． 18．（8分）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2) ． 19．（8分）已知，． (1)求的值； (2)若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 20．（10分）已知满足． (1)求的值； (2)试问以为三边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 21．（10分）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板，，． (1)木板①中截出的正方形木板的边长为______（结果保留根号）； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积（结果保留根号）； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 22．（11分）观察下列一组等式，解答问题． ，， ，， …… (1)观察以上规律，请写出第个等式： （为正整数）； (2)利用上面的规律，计算：； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 23．（12分）综合运用材料一：形如，二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为　　　，点的“横负纵变点”为　　　； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$