专题03 分式与二次根式（山西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题03 分式与二次根式（解析版） 考点1 分式的运算 1．（2022·山西·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查分式的化简及平方差公式，属于基础题，掌握通分、约分等基本步骤是解题的关键． 2．（2022·山西·中考真题）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）2 ；（2） ． 【分析】（1）先根据乘方的意义、负整数指数幂、绝对值运算，然后合并即可； （2）利用加减消元法解方程组． 【详解】（1）解： ； （2）解：． ①＋②，得， ∴． 将代入②，得， ∴． 所以原方程组的解为， 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及乘方、负整数指数幂、绝对值运算．熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2024·山西·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键． （1）先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可； （2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 4．（2020·山西·中考真题）（1）计算： （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步            第二步         第三步         　 第四步            　第五步                 　第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________； ②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1）1；（2）任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析． 【分析】（1）先分别计算乘方，与括号内的加法，再计算乘法，再合并即可得到答案； （2）先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式． 【详解】解：（1）原式 （2）任务一： ①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； 故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； ②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 故答案为：五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 任务二： 解； ． 任务三： 解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键． 考点2 二次根式的运算 1．（2022·山西·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】3 【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 2．（2020·山西·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，二次根式的性质化简，进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 3．（2021·山西·中考真题）计算： 【答案】 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式= 故答案为5 一、单选题 1．（2025·山西晋城·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的除法运算，结合分式除法法则进行化简计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D 2．（2025·山西·模拟预测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是异分母分式相加减时必须先通分，把异分母化为同分母分式然后再相加减．还要注意去括号法则，括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里面各项都变号． 将两个分式通分后合并，利用平方差公式分解分子并化简． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式，掌握相关的概念和性质是解题的关键．根据分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式判断． 【详解】解：①代数式是整式，是分式，本小题判断正确，分； ②当时，，则分式有意义，本小题判断正确，分； ③若分式的值为，则，故本小题判断错误，不得分； ④式子从左到右变形错误，故本小题判断错误，不得分； ⑤分式是最简分式，本小题判断正确，分； 则他的得分应是分， 故选：B． 4．（2025·山西吕梁·二模）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内分式加法运算，再计算除法运算即可. 【详解】解： ； 故选：C 5．（2025·山西·一模）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简，涉及公式法因式分解、约分、整式减法运算等知识，先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案．熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 6．（2025·山西朔州·模拟预测）已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式加减混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质．由可得，故，从而． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选D． 7．（2025·山西长治·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的减法，分式的除法，求算术平方根，积的乘方计算即可. 【详解】A. ，错误； B. ，错误； C. ，正确； D. ，错误； 故选：C. 【点睛】本题考查了分式的减法，分式的除法，求算术平方根，积的乘方，熟练掌握各知识点是解题的关键. 8．（2025·山西太原·二模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C． 9．（2025·山西朔州·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减乘除计算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键．利用二次根式的相关运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A中，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，故选项A不符合题意； B中，，计算正确，故选项B符合题意； C中，，计算错误，故选项C不符合题意； D中，，计算错误，故选项D不符合题意； 故选：B． 10．（2025·山西吕梁·一模）当，时，的值为（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式的化简求值，因式分解，实数的运算，涵盖二次根式的加减乘除、平方差公式应用．解题关键是通过因式分解简化表达式，再利用实数运算法则（尤其二次根式运算）逐步求值，体现了实数运算中 “先化简再计算” 的策略．先对因式分解，提取公因式得，再用平方差公式进一步分解为．接着代入，分别计算的值，最后相乘得出结果． 【详解】解： ， ， 当，时， ， 原式=， 故选；． 11．（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（   ）（结果保留整数；参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的应用．根据公式求出一个周期，即可求出在内该摆钟发出滴答声的次数． 【详解】解：一个周期， ∵， ∴在内该摆钟发出滴答声的次数约为； 故选：C． 12．（2025山西长治·模拟预测）如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（    ） 已知，．求的值． 解：； 原式． A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据求代数式值中的整体思想，即可解答． 【详解】在这个过程中体现的数学思想是整体的数学思想， 故选：B． 二、填空题 13．（2025·山西·模拟预测）计算结果为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查二次根式的混合运算，正确掌握有理数的乘方计算法则是解题的关键．先计算乘方，再计算减法即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 14．（2025·山西·模拟预测）计算: 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 15．（2025·山西吕梁·一模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式． 根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为： ． 16．（2025·山西运城·一模）计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键．直接根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 17．（2025·山西大同·二模）写出一个与的积为正整数的数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，关键是掌握． 根据二次根式的乘法和性质可得答案． 【详解】解：， 故答案为：（答案不唯一）． 18．（2025·山西晋城·一模）比较大小： （填：“”“ ”或“”） ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的化简，能够识记特殊数的算术平方根是解答此类问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 19．（2025山西大同·模拟预测）请写出一个无理数，使它与的积是有理数，这个无理数可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的性质，二次根的乘法，熟练掌握二次根式的性质和乘法法则是解本题的关键． 先化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算后确定这个符合条件的无理数． 【详解】∵，， ∴这个无理数可以是，（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 20．（2025山西晋中·三模）有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和， 使且，则可变为，即变成，从而使得化简．例如：，．请你仿照上例，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．把被开方数中的7写成，然后利用完全平方公式分解因式，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】 故答案为： 21．（2025山西运城·模拟预测）计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式运算，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 22．（2025晋城市模拟）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 三、解答题 23．（2025·山西长治·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】考查了分式的化简求值，正确对分式的分子、分母分解因式，对分式进行通分、约分是关键．先根据减法则化简，然后将x的值代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 24．（2025·山西大同·三模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了负整数指数幂，有理数的混合运算，分式的化简，熟练计算是解题的关键． （1）根据负整数指数幂，有理数的混合运算，可以解答本题； （2）先对括号内的分式通分，然后作差，再计算括号外面的式子，将除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解： ． 25．（2025·山西晋中·二模）计算： (1) (2)化简： 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算、分式的加减乘除混合运算，涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的化简、绝对值的化简，再加减运算即可求解； （2）根据分式的混合运算法则和运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（2025·山西朔州·三模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 下面是小颖同学的解题过程，请你思考并完成下列任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 当时，原式． 任务一：以上解题过程中，第______步是通分得到的． 任务二：以上解题过程中，从第______步开始出现了错误．错误的原因是：______ 任务三：请你直接写出该分式正确的化简结果，并代入求值． 【答案】（1）；（2）任务一：一；任务二：二，分式加减时，没有把看作一个整体，应该为；任务三：， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可得到答案； （2）任务一：根据解题过程可得第一步是通分得到的；任务二：观察解题过程可知，第二步开始出现错误，错误原因为分式加减时，没有把看作一个整体；任务三：先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：任务一：观察解题过程可知，第一步是通分得到的； 任务二：观察解题过程可知，第二步开始出现错误，错误原因为分式加减时，没有把看作一个整体，应该为 任务三：原式 当时，原式． 27．（2025·山西吕梁·二模）计算、化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的化简，有理数的计算，熟练计算是解题的关键． （1）先计算乘方，负整数指数幂，乘法和除法，最后加减即可； （2）先计算括号，再对分式的分子分母进行因式分解，最后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 28．（2025·山西临汾·二模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中在、3、4三个数中选一个再求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，化简二次根式，求特殊角三角函数值和零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式和计算零指数幂，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值，并代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵分式要有意义， ∴， ∴， ∴当时，原式． 29．（2025·山西临汾·二模）（1）计算：； （2）下面是小明作业本上的一道分式化简题，请仔细阅读并解答所提出的问题． 解：              ……第一步       ……第二步                   ……第三步                      ……第四步                             ……第五步 ①小明的解法中第二步变形的数学依据是_______； ②以上步骤中从第_______步开始出现错误，出现错误的原因是_______； ③正确的化简结果是_______； ④除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给同学们提一条建议． 【答案】（1）（2）①分式的基本性质②三，不应该去分母③④最后要化为最简分式或整式 【分析】本题考查了零次幂、负整数指数幂、含特殊角的三角函数的混合运算，算术平方根，分式化简，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂、负整数指数幂、含特殊角的三角函数值，算术平方根，再运算加减，即可作答． （2）①观察已有过程，得第二步变形的数学依据是分式的基本性质，即可作答． ②观察已有过程，得从第三步开始出现错误，出现错误的原因是不应该去分母，即可作答． ③把第三步的错误修改过来，重新运算化简，即可作答． ④言之有理即可，答案不唯一， 【详解】解：（1） ； （2）①小明的解法中第二步变形的数学依据是分式的基本性质， ②以上步骤中从第三步开始出现错误，出现错误的原因是不应该去分母； ③ ． ④依题意，除纠正上述错误外，分式化简时还需要注意的事项：最后得数要化为最简分式或整式． 30．（2025·山西晋中·二模）（1）计算：． （2）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算：． 解： ……………………………第一步 ……………第二步 ………………第三步 ．…………………第四步 习题2：解方程：． 解：方程两边同乘，得 ，…………第一步 ，……………第二步 ． …………………………第三步 检验：当时，，……第四步 ∴原方程的解是．……………第五步 ①习题1的解答过程是从第________步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第________步开始出现错误的； ②从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】（1）（2）①一   二②见解析 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，去绝对值，完全平方差公式，解分式方程和分式加法，计算分式加减法时第一步是通分，解分式方程的第一步是去分母，去分母时要给方程左右两边的每一项都要乘最简公分母，这是解题的关键． （1）利用负整数指数幂，去绝对值，完全平方差公式的运算法则进行求解即可； （2）①根据解分式方程和分式加法计算的步骤一步步检查即可． ②按照解分式方程和分式加法计算的步骤进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）①一   二 ②习题1： ． 习题2：方程两边同乘，得 ． ． 经检验，当时，． ∴原分式方程的解是． 31．（2025·运城市·三模）（1） （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2）， 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数以及分式化简求值，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简乘方、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，化简得，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1） ， （2） ， 把代入，得． 32．（2025·山西大同·一模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【分析】本师考查实数混合运算，分式混合运算，熟练掌握负整指数幂运算法则和分式混合运算法则是解题的关键． （1）先计算器乘方，再计算乘除，最后计算加减即可； （2）先计算括号内的，再计算除法即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 33．（2025·山西运城·模拟预测）计算： (1)； (2)化简： 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先去绝对值，计算乘方和括号内的式子，再算乘法，然后算加减法即可； （2）先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分即可． 本题考查有理数的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） 34．（2025·山西吕梁·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及因式分解、分式的混合运算、二次根式混合运算等知识，先由分式混合运算法则化简分式，再将代入化简后的结果，利用分母有理化求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 35．（2025运城市模拟）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （2）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）， ∴这个长方形的两边分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 36．（2025·山西·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据） 任务： (1)直接写出材料中的依据为：_________； (2)写出求解长的解题过程； (3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2) (3) 【分析】本题考查了两点之间线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理，二次根式的运算；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点之间线段最短即可得解； （2）作交的延长线于，则四边形为矩形，得出，，求出，，再由勾股定理计算即可得解； （3）仿照材料给出的方法计算即可得解． 【详解】（1）解：材料中的依据为：两点之间线段最短； （2）解：如图：作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：，将x和分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长， 作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，E ∵，，， ∴，， ∴； ∴的最小值为． 37．（2025山西晋城·二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成下列任务． 问题背景： 数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之后，发现由于，故，于是他们对两个正数之和与这两个正数之积的关系展开了探究． 探索发现： 发现结论：如果，那么（当且仅当时等号成立） 解释证明： 当时， 当时， 如果，那么（当且仅当时等号成立） 任务： (1)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (2)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值，这个最值是___________； (3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当长为多少时，矩形花圃的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题． 【答案】(1)，小， (2)大，； (3)当长为米时，矩形花圃的面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干提供的解题过程，模仿即可作答； （2）先整理原式得，计算化简得，结合题干的结论，即可作答． （3）设的长为米，建立，根据二次函数的性质，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得 当时，即（负值已舍去），有最小值， 把代入 得； 故答案为：，小， （2）解：依题意 ∵ ∴ 当时，有最大值，且 此时， 解得（舍去） 故答案为：大，； （3）解：设的长为米， 则 ∴ 则 ∵ ∴开口向下，在时有最大值 把代入 得 ∴当长为米时，矩形花圃的面积最大，最大面积是平方米． 38．（2025山西临汾·二模）（1）计算：． （2）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”． 规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一个同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕． 请根据下面的接力游戏解答问题： 接力游戏 老师：化简：． 甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学： 任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是依据__________进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律 ②在“接力游戏”中，出现错误的是__________同学，错误的原因是__________． 任务二：在“接力游戏”中，该分式化简的正确结果是__________． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对化简分式时还需要注意的事项给同学们提一条建议． 【答案】（1）（2）任务一：①C ②丁；分式的分子、分母互为相反数时，商为，任务二： ，任务三：见解析 【分析】（1）根据零指数幂的意义，绝对值的意义，化简二次根式，乘方的意义计算即可； （2）任务一：利用分式的基本性质解答即可； 任务二：根据分式的混合运算法则解答即可； 任务三：根据分式的混合运算法则解答即可. 【详解】解：（1）原式． （2）任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是依据分式的基本性质进行变形的， 故答案为C． ②在“接力游戏”中，出现错误的是丁同学，错误的原因是分式的分子、分母互为相反数时，商为, 故答案为丁，分式的分子、分母互为相反数时，商为． 任务二：． ， 故答案为． 任务三：（答案不唯一）例如：分式化简时，若分子分母能因式分解，一定要先因式分解，再进行化简；结果必须化为最简分式；分式化简过程中要特别注意常见的符号变形等等． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握分式混合运算的计算方法是解题的关键． 39．（2025晋城市模拟）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． ，．像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程被称为分母有理化． (1)的有理化因式是__________；的有理化因式是__________． (2)写出下列式子分母有理化的结果： ①__________； ②__________． (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3)9 【分析】（1）读懂阅读材料，理解有理化因式即可得到答案； （2）读懂阅读材料，理解分母有理化的求解过程即可得到答案； （3）先对各个部分进行分母有理化，然后发现规律，消掉中间项即可得到答案． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ， 的有理化因式是； （2）解：； ； （3）解： ． 【点睛】本题考查阅读理解数学材料，掌握分母有理化的计算过程，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子：即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． 40．（2025晋城市模拟）问题：先化简，再求值：，其中． 小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下． 小宇的解答过程如下： 解：    （第一步）        （第二步）            （第三步） 当时， 原式  （第四步） 小颖为验证小宇的做法是否正确，她将直接代入原式中： ． 由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程． 【答案】错在第二步，原式=8，过程见解析． 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而计算得出答案． 【详解】解：错在第二步， 完整正确的步骤如下：， ∵， ∴， ∴原式 ． 当时， 原式 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式与二次根式（原卷版） 考点1 分式的运算 1．（2022·山西·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·山西·中考真题）（1）计算：； （2）解方程组：． 3．（2024·山西·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 4．（2020·山西·中考真题）（1）计算： （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步            第二步         第三步         　 第四步            　第五步                 　第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________； ②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 考点2 二次根式的运算 1．（2022·山西·中考真题）计算的结果是 ． 2．（2020·山西·中考真题）计算： ． 3．（2021·山西·中考真题）计算： 一、单选题 1．（2025·山西晋城·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·模拟预测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 4．（2025·山西吕梁·二模）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·山西·一模）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山西朔州·模拟预测）已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山西长治·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山西太原·二模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025·山西朔州·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山西吕梁·一模）当，时，的值为（   ） A．1 B． C． D．4 11．（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（   ）（结果保留整数；参考数据：） A． B． C． D． 12．（2025山西长治·模拟预测）如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（    ） 已知，．求的值． 解：； 原式． A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数 二、填空题 13．（2025·山西·模拟预测）计算结果为 ． 14．（2025·山西·模拟预测）计算: 15．（2025·山西吕梁·一模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 16．（2025·山西运城·一模）计算的结果是 ． 17．（2025·山西大同·二模）写出一个与的积为正整数的数： ． 18．（2025·山西晋城·一模）比较大小： （填：“”“ ”或“”） ． 19．（2025山西大同·模拟预测）请写出一个无理数，使它与的积是有理数，这个无理数可以是 ．（写出一个即可） 20．（2025山西晋中·三模）有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和， 使且，则可变为，即变成，从而使得化简．例如：，．请你仿照上例，化简： ． 21．（2025山西运城·模拟预测）计算：的结果为 ． 22．（2025晋城市模拟）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 三、解答题 23．（2025·山西长治·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 24．（2025·山西大同·三模）（1）计算：； （2）化简：． 25．（2025·山西晋中·二模）计算： (1) (2)化简： 26．（2025·山西朔州·三模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 下面是小颖同学的解题过程，请你思考并完成下列任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 当时，原式． 任务一：以上解题过程中，第______步是通分得到的． 任务二：以上解题过程中，从第______步开始出现了错误．错误的原因是：______ 任务三：请你直接写出该分式正确的化简结果，并代入求值． 27．（2025·山西吕梁·二模）计算、化简： (1)； (2)． 28．（2025·山西临汾·二模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中在、3、4三个数中选一个再求值． 29．（2025·山西临汾·二模）（1）计算：； （2）下面是小明作业本上的一道分式化简题，请仔细阅读并解答所提出的问题． 解：              ……第一步       ……第二步                   ……第三步                      ……第四步                             ……第五步 ①小明的解法中第二步变形的数学依据是_______； ②以上步骤中从第_______步开始出现错误，出现错误的原因是_______； ③正确的化简结果是_______； ④除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给同学们提一条建议． 30．（2025·山西晋中·二模）（1）计算：． （2）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算：． 解： ……………………………第一步 ……………第二步 ………………第三步 ．…………………第四步 习题2：解方程：． 解：方程两边同乘，得 ，…………第一步 ，……………第二步 ． …………………………第三步 检验：当时，，……第四步 ∴原方程的解是．……………第五步 ①习题1的解答过程是从第________步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第________步开始出现错误的； ②从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 31．（2025·运城市·三模）（1） （2）先化简，再求值：，其中． 32．（2025·山西大同·一模）（1）计算：； （2）化简：． 33．（2025·山西运城·模拟预测）计算： (1)； (2)化简： 34．（2025·山西吕梁·一模）先化简，再求值：，其中． 35．（2025运城市模拟）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 36．（2025·山西·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据） 任务： (1)直接写出材料中的依据为：_________； (2)写出求解长的解题过程； (3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________． 37．（2025山西晋城·二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成下列任务． 问题背景： 数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之后，发现由于，故，于是他们对两个正数之和与这两个正数之积的关系展开了探究． 探索发现： 发现结论：如果，那么（当且仅当时等号成立） 解释证明： 当时， 当时， 如果，那么（当且仅当时等号成立） 任务： (1)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (2)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值，这个最值是___________； (3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当长为多少时，矩形花圃的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题． 38．（2025山西临汾·二模）（1）计算：． （2）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”． 规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一个同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕． 请根据下面的接力游戏解答问题： 接力游戏 老师：化简：． 甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学： 任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是依据__________进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律 ②在“接力游戏”中，出现错误的是__________同学，错误的原因是__________． 任务二：在“接力游戏”中，该分式化简的正确结果是__________． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对化简分式时还需要注意的事项给同学们提一条建议． 39．（2025晋城市模拟）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． ，．像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程被称为分母有理化． (1)的有理化因式是__________；的有理化因式是__________． (2)写出下列式子分母有理化的结果： ①__________； ②__________． (3)计算：． 40．（2025晋城市模拟）问题：先化简，再求值：，其中． 小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下． 小宇的解答过程如下： 解：    （第一步）        （第二步）            （第三步） 当时， 原式  （第四步） 小颖为验证小宇的做法是否正确，她将直接代入原式中： ． 由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$