第二十九讲：正多边形和圆（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二十九讲：正多边形和圆 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：正多边形及有关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点归纳：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点02：圆的内接正多边形 定义总结 像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形， 这个圆就是这个正多形的外接圆. 圆内正多边形. 知识点03：知识总结 考点1：求正多边形的中心角 【典型例题】 如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可． 【详解】解：∵五边形是的内接正五边形， ∴五边形的中心角的度数为， 故选D． 【点睛】本题考查圆内接正多边形的中心角．熟练掌握正多边形的中心角的计算公式：，是解题的关键． 【变式训练1】 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：    ∵正六边形内接于， ∴∠COD= =60°，则∠COE=120°， ∴∠CME= ∠COE=60°， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键． 【变式训练2】 已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴这个正n边形的中心角为， 故选：D． 考点2：正多边形的中心角求多边形的边数 【典型例题】 如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 【变式训练1】 如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案． 【详解】解：连接OC， ∵AB是⊙O内接正六边形的一边， ∴∠AOB＝360°÷6＝60°， ∵BC是⊙O内接正八边形的一边， ∴∠BOC＝360°÷8＝45°， ∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15° ∴n＝360°÷15°＝24． 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键． 【变式训练2】 如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】分别连接OB、OA、OC，根据正多边形的中心角=，可分别求得∠BOC、∠AOB的度数，从而可得∠AOC的度数，再根据正多边形的中心角=，可求得边数n． 【详解】分别连接OB、OA、OC，如图所示 ∵是内接正三角形的一边 ∴∠BOC= 同理，可得：∠AOB=90° ∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=30° ∵是正边形的一边 ∴ ∴n=12 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角=，掌握这一知识是解决本题的关键． 考点3：正多边形和圆的综合 【典型例题】 如图，在圆内接正五边形中，对角线和相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质．熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的所有边都相等，所有内角都相等，结合等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：五边形为正五边形， ，， ， ， 故选C． 【变式训练1】 如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解： ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 【变式训练2】 如图，点是正六边形的中心，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题关键．根据正六边形的性质可得，，从而求出． 【详解】解：连接， 点为正六边形的中心， ， 故选：B 一、单选题 1．已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质；掌握正六边形中心角的计算方法是解题关键．如图，求出圆心角，得到为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，为内接正六边形的一边； 则， ， 为等边三角形， ． 故选：C． 2．一个正方形的边长为，则它的内切圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、正多边形与圆等知识，正确地求出正方形的边心距是解题的关键． 先证明正方形的两条对角线的交点为正方形的内切圆的圆心，再从该圆心向正方形的一边作垂线，得到该正方形的边心距，求出它的长即得到该正方形的内切圆的半径，再求出该正方形的内切圆的面积即可． 【详解】解：如图，正方形的对角线、BD交于点O， ，，， ， 点O是正方形的外心，也是它的内心， 作于点E，以点O为圆心，以为半径作，则是正方形的内切圆， ， ， ， ， ， ， 该正方形内切圆的面积为． 故选：B．    3．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，进一步即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：C． 4．如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，根据题意求出中心角的度数是解题的关键．根据求出，继而求出，再根据求出的度数，则由边数中心角得解． 【详解】解：连接，在优弧上取点D，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 5．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提． 根据正六边形的性质，正三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为， ∴， ∴， ∴的内接正多边形是六边形， ， ， ∴是正三角形， ， ∴正六边形的边长为2， 故选：B． 6．如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正多边形的性质和圆周角定理，连结和，根据正多边形求得，结合圆周角定理即可求得答案． 【详解】解：连结、，如图，    ∵五边形是正五边形， ∴， 则． 故选：B． 7．如图，正六边形内接于，点C在上，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的外接圆圆心角及圆周角，根据正多边形外接圆得到，根据圆周角等圆圆心角一半求解即可得到答案； 【详解】解：∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．如图，的半径为，是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 【答案】A 【分析】连接、，根据平行四边形的性质得，再根据圆周角定理得为的直径，利用圆周角定理得到，根据含的直角三角形三边的关系得到，然后根据矩形的面积公式求解． 【详解】解：连接、，如图， 四边形为平行四边形， ， ， ， 为的直径， ， 为等边三角形， ， ， 而， ， 在中，，， 矩形的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 二、填空题 9．正八边形的中心角等于 度． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正八边形的中心角等于； 故答案为：． 10．如图，正六边形内接于，连接，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了正多边形和圆，根据内角和定理求出，再根据正六边形的轴对称性可知平分，即可求出答案． 【详解】解：由正六边形可得， ∵正六边形是轴对称性图形， ∴平分，即． 故答案为： 11．如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 【答案】18 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 12．如果正多边形的中心角是，那么该正多边形的内角和为 ． 【答案】/720度 【分析】本题考查了正多边形和圆，多边形内角与外角．先利用多边形的中心角为，计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解． 【详解】解：这个正多边形的边数为， 所以这个正多边形的内角和． 故答案为：． 13．是的内接正六边形一边，点是优弧上的一点（点不与点，重合）且，与交于点，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】根据题意可求得，结合圆周角定理，可求得，结合平行线的性质和三角形外角的性质，即可求得答案． 【详解】∵是的内接正六边形一边， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、正多边形与圆、平行线的性质、三角形的外角的性质，牢记圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）是解题的关键． 14．如图，已知的半径为，则的内接正方形的面积为 ．    【答案】4 【分析】连接，则，由题意可得，根据勾股定理得到，即可得到正方形的面积． 【详解】解：连接，则，    由题意可得， 由勾股定理得，， ∴的内接正方形的面积为， 故答案为：4 【点睛】此题考查正多边形和圆、勾股定理等知识，求出是解题的关键． 15．已知是的内接正三角形，的半径是，则边心距的值为 ． 【答案】6cm 【分析】先在图上作出边心距对应的线段，连接，在直角中，，求出的长即可． 【详解】解：过作于，连接，则长为边心距； 在直角中，，cm 【点睛】本题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，掌握基本概念是解题的关键． 16．如图，四边形是的内接正方形，E是的中点，交于点F，则 度． 【答案】67.5 【分析】根据四边形是的内接正方形，得，根据，得，即可求出的度数． 【详解】解：∵边形是的内接正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴ ∴， ∴． 故答案为：67.5． 【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题 17．如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 18．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 19．如图，在正五边形中，对角线，相交于点． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：四边形为菱形． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先根据多边形内角和定理和正多边形的性质得到，，然后利用三角形内角和定理和等边对等角得到，即可证明出是等腰三角形； （2）首先根据三角形内角和定理和等边对等角，进而得到，然后结合即可得到，进而证明即可． 【详解】（1）∵在正五边形中 ∴， ∴ 同理可得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）由（1）中同理可得，， ∴ ∴ ∴ ∵在正五边形中 ∴ ∵ ∴ ∴四边形为菱形． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质和判定，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 20．如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作于点H，连结、，则可得，，在根据垂径定理和勾股定理即可求出的长； （2）由，，可得是等边三角形，先求出的面积，即可得正六边形的面积． 本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键． 【详解】（1） 如图，过点O作于点H，连结、， 则，， ， 在中， ， ， ， 故圆心O到的距离为． （2），， 是等边三角形， ， ， ∴正六边形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二十九讲：正多边形和圆 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：正多边形及有关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点归纳：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点02：圆的内接正多边形 定义总结 像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形， 这个圆就是这个正多形的外接圆. 圆内正多边形. 知识点03：知识总结 考点1：求正多边形的中心角 【典型例题】 如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2】 已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 考点2：正多边形的中心角求多边形的边数 【典型例题】 如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【变式训练1】 如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【变式训练2】 如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ） A．9 B．10 C．12 D．15 考点3：正多边形和圆的综合 【典型例题】 如图，在圆内接正五边形中，对角线和相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式训练2】 如图，点是正六边形的中心，则的度数是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 2．一个正方形的边长为，则它的内切圆的面积为（ ） A． B． C． D． 3．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 5．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．如图，正六边形内接于，点C在上，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．如图，的半径为，是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 二、填空题 9．正八边形的中心角等于 度． 10．如图，正六边形内接于，连接，则 ． 11．如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 12．如果正多边形的中心角是，那么该正多边形的内角和为 ． 13．是的内接正六边形一边，点是优弧上的一点（点不与点，重合）且，与交于点，则的度数为 ．    14．如图，已知的半径为，则的内接正方形的面积为 ．    15．已知是的内接正三角形，的半径是，则边心距的值为 ． 16．如图，四边形是的内接正方形，E是的中点，交于点F，则 度． 三、解答题 17．如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 18．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 19．如图，在正五边形中，对角线，相交于点． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：四边形为菱形． 20．如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$