第五讲：一元二次方程根与系数的关系（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第五讲：一元二次方程根与系数的关系 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+课后高频精炼） 知识点01：一元二次方程的根与系数的关系 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)时， 当b2 - 4ac≥0方程有两个根为 x1，x2， 那么 知识点02：一元二次方程的根与系数的关系的应用 （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1，x2的对称式的值。 （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号 考点1：已知方程的一个根利用根与系数的关系求另一根 【典型例题】 已知一元二次方程有一个根为，则另一根及的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键．将代入，即可求得的值，再由两根之积为定值可求得另一个根． 【详解】解：由题知，此方程的两根之积为， ∵该方程的一个根为， ∴方程的另一个根为． 将代入方程得， ， 得． 故选：D． 【变式训练1】 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（    ） A．1和2 B．和2 C．2和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程计算即可求出的值，再把的值代入方程，求出另一个根即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 原方程可化为， 设方程的另一个根为，则， ． 故选：B． 考点2：一元二次方程的根与系数的关系 【典型例题】 若一元二次方程的两根分别为，，则（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【答案】 4； ； ； 20． 【详解】（1）4 ； （2）； ； （3）； ； （4）20 ． 【变式训练1】 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， ， 故选：B． 考点3：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【典型例题】 已知一元二次方程的两实数根为、，不解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是求出，， 由根与系数的关系可得出，，将转化为只含和的形式，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两实数根为、， ∴，， ∴． 【变式训练1】 设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系，得到，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2）∵， ∴ ． 一、单选题 1．设，是一元二次方程的两根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，即可直接得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，可得： ， 故选：． 2．已知实数满足，则以为根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵实数满足， ∴当以为根的一元二次方程的二次项系数为1时，此时一次项系数为，常数项是，即符合题意的方程为， 故选：A． 3．若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题主要考查了一元二次方程根于系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系算出，，再把变形为，代入计算即可得到答案；要掌握一元二次方程根于系数的关系，能把变形为是解题的关键． 【详解】解：∵x的一元二次方程的两个实数根为和， ∴根据根与系数的关系得到： ，， ， 故选：B． 4．设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵，分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则． 故选：B． 5．设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，再将变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：由题意得，，， 所以 ， 故选：D． 6．若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方程的根符合，，然后整理化简，即可解答本题． 【详解】解：设关于y的方程的两根分别为，， ∵关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q， ∴，， ∴，， 化简，得：，， 整理可得，， 故选：A． 7．已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根及k的值分别是（    ） A．，0 B．1，4 C．2， D．4，0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据根与系数的关系即可求出另一个根与k的值． 【详解】设方程的另一个根为t． 根据题意，得， 解得． 故选A． 8．用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程，即可． 【详解】解：配方法为：， ， ， ， ∵当原方程变形为时，，， ∴． 故选：A． 二、填空题 9．已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设出方程的另一个根，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为4， 故答案为；4． 10．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】4049 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为． 根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到和，即得． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：4049． 11．若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ． 【答案】11 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．由题意得，，，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：11． 12．已知实数，满足，．且，则 的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根与系数的关系．把变形为，则可以把、看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，然后利用，所以变形为，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， ， 、可看作方程的两根， ，， ， ． 故答案为：． 13．设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 先利用根与系数的关系得到，，再计算，然后利用整体代入的方法计算即可求解． 【详解】解：、b是方程的实数根， ，， ． 故答案为：． 14．一元二次方程有两个实数根，．若，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得答案． 【详解】解：∵有两个实数根，，， ∴， ∴； 故答案为：4． 15．一元二次方程与的所有实数根的和等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系进行计算是解题的关键．根据进行计算即可． 【详解】解：根据， 故实数根的和为， 实数根的和为， 故所有实数根的和等于， 故答案为：． 16．设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系； 首先根据根的判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系求出满足条件的k值即可解答． 【详解】方程的两个实数根， ，，， 解得：， ， ， ， 解得：，， ， ． 故答案为：1． 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点． （1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由（1）中m的取值范围即可确定m的值． 【详解】（1）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根为，， ∴、， ∴， 解得或． ∵， ∴． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数的值； 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查了二次方程以及根的判别式，求根公式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． （1）先计算根的判别式，即可得到结论； （2）利用求根公式得到，则，从而得到答案． 【详解】（1）证明： ， 故不论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：， ， 方程有一个根是负整数， ， 故正整数的值为或或． 19．已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据已知和根与系数的关系得：，解得：，，因为关于的一元二次方程的两实数根，则，列式可得：，所以； （2）分类讨论：①当或时，即方程有一根为7，把代入方程得的值，并根据三角形三边关系取舍；②当时，即方程有两个相等实根，，则△，，同理根据三角形三边关系舍去． 此题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的判定、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）时，方程有两个不相等的实数根；（2）时，方程有两个相等的实数根；（3）时，方程没有实数根；（4）；（5）． 【详解】（1）解：由根与系数关系得：， 依题意得：， ， ， ， 解得：，， 由得：， ， ； （2）解：分两种情况： ①当或时，即方程有一根为7，把代入方程得：， 整理得，解得，， 当时，，解得,，由，则此情况不存在； 当时，，解得，则三角形周长为； ②当时，即方程有两个相等实根，，则，，方程化为，解得，则，故舍去， ∴这个三角形的周长为17． 20．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：解 得， 则，       所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为；           当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第五讲：一元二次方程根与系数的关系 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+课后高频精炼） 知识点01：一元二次方程的根与系数的关系 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)时， 当b2 - 4ac≥0方程有两个根为 x1，x2， 那么 知识点02：一元二次方程的根与系数的关系的应用 （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1，x2的对称式的值。 （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号 考点1：已知方程的一个根利用根与系数的关系求另一根 【典型例题】 已知一元二次方程有一个根为，则另一根及的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1】 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（    ） A．1和2 B．和2 C．2和 D．和 考点2：一元二次方程的根与系数的关系 【典型例题】 若一元二次方程的两根分别为，，则（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【变式训练1】 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 考点3：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【典型例题】 已知一元二次方程的两实数根为、，不解方程，求的值． 【变式训练1】 设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 一、单选题 1．设，是一元二次方程的两根，则（　　） A． B． C． D． 2．已知实数满足，则以为根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（   ）． A． B． C． D． 4．设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．10 D．11 5．设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根及k的值分别是（    ） A．，0 B．1，4 C．2， D．4，0 8．用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为 ． 10．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 11．若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ． 12．已知实数，满足，．且，则 的值为 ． 13．设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 14．一元二次方程有两个实数根，．若，则的值为 15．一元二次方程与的所有实数根的和等于 ． 16．设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数的值； 19．已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的边长，求的周长． 20．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 学科网（北京）股份有限公司 $$