专题23弧长和扇形面积（11大类型精准练+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题23弧长和扇形面积（11大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：11大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.弧长公式 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2.扇形的面积公式 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法；②和差法；③割补法． （5） 求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点3.圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． 圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl 【类型1】已知半径和圆心角求弧长 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏盐城·三模）如图，点在以为直径的半圆上，半径，，则的长度为 (结果保留) 4．（2025·湖北咸宁·模拟预测）如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的直径是8，，求的长． 【类型2】已知弧长和圆心角求半径 5．（2025·安徽合肥·二模）若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 6．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 7．（22-23九年级上·全国·单元测试）弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的半径． 【类型3】已知弧长和半径求圆心角 8．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽合肥·三模）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 10．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 【类型4】求扇形的面积 11．（2025·浙江温州·三模）已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 12．（2025·贵州贵阳·一模）如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积是 ． 14．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形内接于，，为对角线，点在的延长线上，且． (1)判断所在直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为3，求阴影部分的面积．（结果保留） 【类型5】求弓形的面积 15．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 17．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：    (1)的长． (2)阴影部分的面积． 【类型6】求不规则图形的面积 18．（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·重庆·二模）如图，在菱形中，以点为圆心，为半径画弧，交线段于点，以为直径画半圆．若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求线段的长及阴影部分的面积． 21．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【类型7】求旋转后的面积 22．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 23．（2023·山东聊城·二模）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25六年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留） 【类型8】求圆锥的侧面积 25．（2025·广西南宁·三模）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，已知一广西斗笠的底面半径为，母线长，则该斗笠的侧面面积为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·四川绵阳·三模）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（   ） A．10 B． C． D． 27．（2025·云南昆明·二模）2025年3月9日，云南省首届“云岭石榴红”陀螺邀请赛在玉溪市新平彝族傣族自治县正式开幕．来自昆明、玉溪、普洱等省内7个州市的68支队伍齐聚一堂，展开激烈角逐，以陀螺为媒，共话民族团结，共促文化交流．陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥的母线长为，高h为，则此圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 28．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 【类型9】求圆锥的底圆半径 29．（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 31．（2025·山东临沂·二模）如图，正五边形的边长为4，以为圆心，以为半径作弧，若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ． 【类型10】求圆锥侧面展开后圆心角的度数 32．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知一个圆锥的母线长，底面半径是，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 33．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 34．（24-25九年级上·甘肃庆阳·阶段练习）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个底面半径为2，母线长为3的圆锥形漏斗模型（如图），求这个圆锥形漏斗的侧面积及侧面展开图的圆心角． 【类型11】求圆锥中的最值问题 35．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 36．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 37．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 38．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 一、单选题 1．（2025·四川宜宾·二模）圆心角为，半径为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·三模）劳动课上，小明用一张半径为，圆心角是的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子（纸片无损耗），则这个圆锥形帽子的侧面积是（  ） A． B． C． D． 3．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，且侧面积为，该圆锥的母线长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，中国被誉为制扇王国．小旭制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制水墨画，则水墨画所在纸面的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，，，是上的点，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南邵阳·一模）如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山西·模拟预测）如图，半径为2的圆形纸片上有三点，分别沿弦折叠圆形纸片，使折叠后的与都经过圆心，则，围成的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）若一个扇形的弧长为，半径为6，则此扇形的面积为 ． 10．（2025·云南昆明·模拟预测）“五育课堂”手工课开课啦！某同学制作了一个圆锥模型，其侧面展开图的圆心角为，底面圆的半径为1，则这个圆锥的母线长为 ． 11．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 12．（2025·湖南长沙·三模）圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型：母线长为，底面半径长为，则此圆锥的侧面积为 （结果保留）． 13．（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 14．（2025·广东广州·二模）如图，在菱形中，，分别以点和点为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为 . 15．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 16．（2025·吉林·二模）如图，是的直径，且是的一条弦．射线与相切于点．作，并与交于点，延长交于，交于点，连接、．给出下面五个结论： ①；②；③；④若点与圆心重合，阴影部分的面积为；⑤，则． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 三、解答题 17．（23-24九年级上·广东阳江·阶段练习）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 18．（2023·江西南昌·一模）如图1是一座拱桥，图2是其侧面示意图，斜道的坡度，斜道的坡度，测得湖宽米，米，米，已知弧所在圆的圆心在上．（备注：坡度即坡角的正切值，如的坡度．） (1)分别求拱桥部分C、D到直线的距离； (2)求弧的长（结果保留π）． 19．（2025·江苏南通·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积． 20．（2025·山东临沂·一模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求的长． 21．（2025·黑龙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出绕点O逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，求点A所经过的路径长． 22．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23弧长和扇形面积（11大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：11大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.弧长公式 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2.扇形的面积公式 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法；②和差法；③割补法． （5） 求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点3.圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． 圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl 【类型1】已知半径和圆心角求弧长 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式． 弧长公式∶ (弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r)，由此即可计算． 【详解】解： 故选：A． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式，根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 【详解】解：的长为． 故选：D． 3．（2025·江苏盐城·三模）如图，点在以为直径的半圆上，半径，，则的长度为 (结果保留) 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式、根据，得出，进而根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的长度为， 故答案为：． 4．（2025·湖北咸宁·模拟预测）如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的直径是8，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角并结合已知可得出，根据直径所对的圆周角是直角可得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）在中，根据正切的定义和特殊角的三角函数值可求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连， ， ， ， ， ， 即， 是直径， ， ， 是半径， 是的切线． （2）解：的直径是8， ， 在中，， ， ， 的长为． 【类型2】已知弧长和圆心角求半径 5．（2025·安徽合肥·二模）若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设扇形的半径为， ∵扇形的弧长为，， 则 ∴ 解得， 故选：B 6．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 7．（22-23九年级上·全国·单元测试）弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的半径． 【答案】18 【分析】设弧所在的圆的半径为，由弧长公式计算即可得到答案． 【详解】解：设弧所在的圆的半径为， 由弧长公式得：， 解得：， 弧所在的圆的半径为18． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【类型3】已知弧长和半径求圆心角 8．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长公式，根据弧长公式（n为圆心角的度数，r为扇形的半径）求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角的度数为n， 根据题意，得， 解得， 故选：C． 9．（2025·安徽合肥·三模）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理； 先利用弧长公式求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 设的度数为， ∵， ∴半径， 则， ∴， ∴弦， 故选：C． 10．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 【答案】(1)扇形圆心角的度数为 (2)花窗的面积为 【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键． （1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可； （2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可． 【详解】（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点， ∴， 设的度数为， ∵的长度为． ∴，解得， ∴扇形圆心角的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∴花窗的面积为． 【类型4】求扇形的面积 11．（2025·浙江温州·三模）已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积公式的知识点，已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式直接计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 12．（2025·贵州贵阳·一模）如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据直接求解即可． 【详解】解：如图，． 故选：A． 13．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】此题重点考查正多边形和圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点， 连接、， 求得，由垂径定理得，则，所以，根据勾股定理求得，则，即可根据扇形的面积公式求得阴影部分面积． 【详解】解：作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点， 连接、， ， ，，、 ， ∴弧弧， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 14．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形内接于，，为对角线，点在的延长线上，且． (1)判断所在直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为3，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)所在直线与相切，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定，圆有关的性质，扇形的面积，熟练运用是解答本题的关键． （1）根据圆周角为直角的弦是直径得到是直径，再根据直径所对的圆周角是直角得到，从而得到，根据已知得，同弧所对的圆周角相等得，从而得到，即可证明； （2）找到圆心角，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：所在直线与相切，理由如下：连接， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， 点D在上， 是的切线； （2）由（1）知，， ， ， ， ． 【类型5】求弓形的面积 15．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 16．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 17．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：    (1)的长． (2)阴影部分的面积． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）由E是弧的中点，可得．根据垂径定理得：，在中，运用勾股定理可将的长求出，由即可求解； （2）利用阴影部分面积等于扇形面积减去面积即可求出． 【详解】（1）解：∵E是弧的中点，， ∴， ∴， ∵为半圆O的直径，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为1； （2）解：连接，    在中，， ， ， ， ， ． 【类型6】求不规则图形的面积 18．（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．证明，得出，则图中阴影部分的面积为扇形的面积，根据已知求得圆心角，进而根据扇形面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵半径为的扇形中，的长度为，设 ∴， 解得： ∴ ∴图中阴影部分的面积为 故选：A． 19．（2025·重庆·二模）如图，在菱形中，以点为圆心，为半径画弧，交线段于点，以为直径画半圆．若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算及等边三角形的性质，能够将阴影部分的面积转化为两个扇形的面积与等边三角形之间的关系是解题的关键．本题利用等于阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：如图作半圆的圆心，连接，并作于点， ， ， ， 为等边三角形， ∴， ， ， ， 在直角中，勾股定理可得：， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：D． 20．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求线段的长及阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)，阴影部分的面积为 【分析】本题考查圆的综合运用，涉及垂径定理，切线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆中阴影面积的计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，，利用得出垂直平分，得出，证明，结合切线的性质得出即可证明； （2）设的半径为，则，，在中，利用列式求出，利用， 求出，则，即可求出和，则可求出，求出，利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， 为的切线， ， ． ， ， 即垂直平分， ． 在和中， ， ， ， ． 又是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则，， 由（1）可知． ， ， 解得：， ， ， ， ， ，， ． ， ， ． 21．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接．由中垂线的性质得出，由等腰三角形的性质得出．求出，则可得出答案； （2）求出，，由扇形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接． 是的垂直平分线， ． 点在上． ，， ． ， ． ． 即， 是的切线． （2）解：， ． ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质和相关公式是解题的关键． 【类型7】求旋转后的面积 22．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 23．（2023·山东聊城·二模）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 24．（24-25六年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握圆面积、扇形面积以及长方形面积的计算方法是正确解题的关键．根据题意画出图形如图，将运动路径分为，根据圆面积、扇形面积以及矩形面积，即进行计算即可． 【详解】解：运动路径如图： 故答案为：． 【类型8】求圆锥的侧面积 25．（2025·广西南宁·三模）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，已知一广西斗笠的底面半径为，母线长，则该斗笠的侧面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选C． 26．（2025·四川绵阳·三模）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质． 先证明为等边三角形得到，再证明为等腰直角三角形得到，再利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于，从而得到下面圆锥的侧面积． 【详解】， 而， ∴为等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同， ∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于， ∴下面圆锥的侧面积． 故选：D． 27．（2025·云南昆明·二模）2025年3月9日，云南省首届“云岭石榴红”陀螺邀请赛在玉溪市新平彝族傣族自治县正式开幕．来自昆明、玉溪、普洱等省内7个州市的68支队伍齐聚一堂，展开激烈角逐，以陀螺为媒，共话民族团结，共促文化交流．陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥的母线长为，高h为，则此圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积的求解，掌握圆锥的侧面积为（分别为底面圆半径和母线长）是解题的关键． 先根据勾股定理求出半径，再由圆锥侧面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 28．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求圆锥全面积，勾股定理，弧长公式， 对于（1），先根据勾股定理求出圆锥的母线，再根据得出答案； 对于（2），先根据弧长公式求出圆心角，可知该三角形是直角三角形，结合两点之间线段最短，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：∵． ∴在中，由勾股定理，得母线， ∴； （2）解：设扇形的圆心角为．由（1）知，， 而圆锥的侧面展开后的扇形的弧长为， ∴， 解得，即是等腰直角三角形． 在中，由勾股定理，得， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 【类型9】求圆锥的底圆半径 29．（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长． 设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 30．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 31．（2025·山东临沂·二模）如图，正五边形的边长为4，以为圆心，以为半径作弧，若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，展开图折叠成几何体，圆锥的计算，正确记忆相关知识点是解题关键．设该圆锥的底面半径为，根据正多边形内角和定理求出，再根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图的扇形的弧长列出方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， 由题意得， 由题意得，， ， 该圆锥的底面半径为， 故答案为：． 【类型10】求圆锥侧面展开后圆心角的度数 32．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知一个圆锥的母线长，底面半径是，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，弧长等知识．熟练圆锥侧面展开图的弧长是圆锥底面圆的周长是解题的关键．设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是， 依题意得，， 解得，， 故选：D． 33．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面展开图的圆心角度数，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数是，根据圆锥的侧面展开图得到的扇形的弧长等于其底面圆周长建立方程求解即可． 【详解】解；设圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， 由题意得，， 解得， ∴圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， 故答案为：． 34．（24-25九年级上·甘肃庆阳·阶段练习）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个底面半径为2，母线长为3的圆锥形漏斗模型（如图），求这个圆锥形漏斗的侧面积及侧面展开图的圆心角． 【答案】这个圆锥形漏斗的侧面积为，,侧面展开图的圆心角为． 【分析】本题主要考查了圆锥的计算．根据圆锥的侧面积，代入数进行计算即可；再根据即可求出圆心角． 【详解】解：圆锥的侧面积； 设侧面展开图的圆心角为， 则：， ． 答：这个圆锥形漏斗的侧面积为，侧面展开图的圆心角为． 【类型11】求圆锥中的最值问题 35．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 36．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 37．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 38．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)，， (2)约为 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， 由，得， ∴， 如图2， ∵， ∴作于D，则，， ∴，则， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 一、单选题 1．（2025·四川宜宾·二模）圆心角为，半径为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积公式直接计算即可求解，掌握扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 2．（2025·江苏无锡·三模）劳动课上，小明用一张半径为，圆心角是的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子（纸片无损耗），则这个圆锥形帽子的侧面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关扇形和圆锥的相关计算．根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：C． 3．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，且侧面积为，该圆锥的母线长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了求圆锥的母线长，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．设圆锥的母线长为，根据扇形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 由题意得，， 解得：， 圆锥的母线长为3． 故选：A． 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，中国被誉为制扇王国．小旭制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制水墨画，则水墨画所在纸面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：由题知，， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：B． 5．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，，，是上的点，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，熟练掌握圆周角定理和扇形面积公式是解题的关键．先利用圆周角定理得出，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2025·湖南邵阳·一模）如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握扇形面积公式是解题关键．先求出正六边形的内角度数，再设的半径为，根据扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：正六边形， ， 设的半径为， 则， 解得：， 即的半径为3 故选：A． 7．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．（2025·山西·模拟预测）如图，半径为2的圆形纸片上有三点，分别沿弦折叠圆形纸片，使折叠后的与都经过圆心，则，围成的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂径定理，在上取点关于直线的对称点，连接，连接交于点，由折叠的性质可得，则可证明和是等边三角形，垂直平分，进而可得，解直角三角形得到，则，可求出，同理可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图，在上取点关于直线的对称点，连接，连接交于点． 由折叠可知． 和是等边三角形，垂直平分． ， ， 在中，， ∴， ∴， 同理可得， ， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）若一个扇形的弧长为，半径为6，则此扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式．熟记扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形的面积公式即可得出求解． 【详解】解：扇形的面积为：． 故答案为：． 10．（2025·云南昆明·模拟预测）“五育课堂”手工课开课啦！某同学制作了一个圆锥模型，其侧面展开图的圆心角为，底面圆的半径为1，则这个圆锥的母线长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．设这个圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，列出方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的母线长为， 由题意得，， 解得：， 这个圆锥的母线长为3． 故答案为：3． 11．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，要熟练掌握弧长公式．根据弧长公式即可直接求解． 【详解】解：弧长为， 故答案为：． 12．（2025·湖南长沙·三模）圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型：母线长为，底面半径长为，则此圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥侧面积，根据侧面积公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理得，由弧长公式得，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 14．（2025·广东广州·二模）如图，在菱形中，，分别以点和点为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为 . 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接与交于点，先根据菱形的性质结合角直角三角形的性质求出对角线的长，继而得到菱形的面积，再由扇形面积公式求解，最后由． 【详解】解：连接与交于点， ∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 16．（2025·吉林·二模）如图，是的直径，且是的一条弦．射线与相切于点．作，并与交于点，延长交于，交于点，连接、．给出下面五个结论： ①；②；③；④若点与圆心重合，阴影部分的面积为；⑤，则． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①③⑤ 【分析】先利用切线的性质可得，再根据直角的意义与直角三角形两个锐角互余可得，，再根据等边对等角可得，从而可得，再根据等角边等边可得，由此可判断①；结合①可证明，不能得出，由此可判断②；利用三角形的外角性质可推得，由此可判断③；先证明是等边三角形，从而可利用求解，由此可判断④；连接，先利用勾股定理求得，再求得，然后证明，列出比例式，求得，再证明，从而可得，由此可判断⑤． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 连接， ，，， ， ，不能得出，故②错误； ，，， ， 故③正确； 当点与圆心重合时， ，， 是等边三角形， ， ， 故④错误； ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， 即，解得：， ∵， ∴， ∴，故⑤正确， 上述结论中，正确结论的序号有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，扇形面积等知识，解题关键是找准相似三角形列出比例式求解． 三、解答题 17．（23-24九年级上·广东阳江·阶段练习）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 【答案】(1)作图见详解 (2)弧的长为 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，弧长的计算方法，掌握垂直平分线的画法，弧长公式的计算方法是解题的关键． （1）线段的垂直平分线的交点即为圆心，根据画线段垂直平分线的方法即可求解； （2）根据弧长的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 线段交于点，如图所示， ∴点即为所求圆心． （2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角， ∴， ∴， ∴弧的长为． 18．（2023·江西南昌·一模）如图1是一座拱桥，图2是其侧面示意图，斜道的坡度，斜道的坡度，测得湖宽米，米，米，已知弧所在圆的圆心在上．（备注：坡度即坡角的正切值，如的坡度．） (1)分别求拱桥部分C、D到直线的距离； (2)求弧的长（结果保留π）． 【答案】(1)点C到直线的距离为15米，点D到直线的距离为20米 (2)米 【分析】（1）过点C作于E，过点D作于F，根据坡度的概念分别设出、、、的长，再利用勾股定理即可求出结果； （2）连接，，根据勾股定理求、，根据全等三角形的性质求出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：过点C作于E，过点D作于F， 在中，∵， 设（米），则（米）， 由勾股定理得， 解得：，（舍去）， ∴（米），（米）， 同理可证，在中， （米） 答：点C到直线的距离为15米，点D到直线的距离为20米． （2）解：连接，， ∵（米），（米），（米）， ∴（米）． 设米，则米， ∴． 解得：，即（米），（米）． 在和中， ∴． ∴，． ∴弧的长（米）． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题、弧长的计算，掌握坡度坡角的概念并熟记锐角三角函数的定义及弧长公式是解决问题的关键． 19．（2025·江苏南通·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过圆心角定理和圆周角定理可证得，利用平行线的性质得，即可求解； （2）过作于点，先证得是等边三角形，利用求出的长度和的值，通过即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． （2）解：如图，过作于点． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆心角定理，圆周角定理，平行线的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，三角函数，扇形面积的计算公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 20．（2025·山东临沂·一模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，求弧长，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）由切线的性质可得，则，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，再证明，，即可证明． （2）先证明，则，由圆周角定理得到，进一步求出，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ∴， ， ， ， 为直径， ， ，即， ． （2）解：如图，连接，由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的长为． 21．（2025·黑龙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出绕点O逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，求点A所经过的路径长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了作轴对称图形，旋转作图，弧长公式，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别找出关于y轴对称的点，再依次连接，即可作答． （2）先分别找出绕点O逆时针旋转后的点，再依次连接，即可作答． （3）先运用勾股定理算出，再结合弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： 则， 在（2）的条件下，， ∴． 即点A所经过的路径长为． 22．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$