山西省大同市2026届高三第一次学情调研教学质量监测（暨高二期末）数学试题

2026 届高三年级第一次学情调研教学质量检测试题（卷） 数 学 （考试时间：120 分钟 试卷满分 150 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.答案：D 解析：解方程 2 6 0x x   得 3x   或 2x  ，所以  3,2A  ，又A B B ，所以集合B是集合A 的子集．集合A的子集有 2 , 3 ， 3 2 ， ，，所以a的可能取值有 1 2 、 1 3  、0．故选 D． 2.答案：C 解析：由题得 5i 3 4i z   ，则 | 5i | 5 1 | 3 4i | 5 z    .故选 C. 3.答案：A 解析：① A 小区安排一人，有 2 233 2 1 18C AC  种，② A 小区安排两人有 23 2 2 6C A  种，共 24种.故选 A． 4.答案：C 解析：由图表可知，物资的价格和需求量存在负相关关系，故 A错误； 由经验回归方程为 ˆ 28.1 11.5y x  ，可知 y 与 x 具有线性相关关系，故 B错误； 当取 1.9x  时，得 28.1 11.5 1.9 6.25y     ，故 C正确； 1.4 1.6 1.8 2 2.2 1.8 5 x       ， 12 10 7 3 32 5 5 m m y        ，则 32 28.1 11.5 1.8 5 m    ，解得 5m  ，故 D错误．故选 C． 5.答案:B 解析：由题意得 1a b  ，设向量a b、 的夹角为 ，因为 1 2 a b  ，所以 1 cos 2   ，故 π 3   . 以O 为原点，以 a 方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系，使b 的起点与O 重合，终点在第一象 限，则   1 3 1,0 , , 2 2 a b          ，设  ,p x y ，则 2 1 3 2 2 2 p a x p b x y           ，故 2 2 3 3 x y      ， 所以 2 3 3 2,p         ，故   2 2 2 3 4 3 3 2 3 p          .故选 B. 6.答案：A 解析：因为 tan 3  且 2 3   ，所以 1 cos 2    ， 3 sin 2    ， 所以  2 3 1 3 cos sin 2 2sin cos 2 4 2       1 3 3 1 4 2 2 2           .故选 A. 7.答案：B 解析：若 0a ，则 )(xf 的定义域为 1| xx ，不关于原点对称，所以 0a . 若奇函数 b x axf    | 1 1 |ln)( 有意义，则 1x 且 0 1 1    x a ，所以 1x 且 a x 1 1 . 因为奇函数的定义域关于原点对称，由 1 1 1  a ，解得 2 1 a .由 0)0( f ，得 0 2 1 ln b ， 所以 2lnb .故选 B. 8.答案：A 解析：由题意知直线 l 的斜率不为 0，故可设直线方程为 3x ty  ， 设  1 1M x y, ，  2 2,N x y ， 1 0y  ， 2 0y  ， 联立可得 2 3 y x ty x     ，消去 x 可得 2 3 0tyy    ， 2Δ 12 0t   ， 由韦达定律可得 1 2y y t  ， 1 2 3y y   ， 由  1 1,3x yAM  ，  2 2,3x yAN  ，且 4 0AM AN  ，则 1 24y y  ， 由 1 2 3y y   ，则 2 24 3y   ，解得 2 2 3 y   ， 1 2 3y  ， 所以 2 1 1 1 3 15 3 2 3 3 2 2 2 4 OMNS OA y y               .故选 A. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分. 9.答案：AB 解析： ) 3 |cos(|)(   xxf 的定义域为 R，因为 )() 3 |cos(|) 3 |cos(|)( xfxxxf   ，所以 )(xf 为偶函数，其图像关于 y 轴对称，故 A 正确； 当 0x 时， ) 3 cos()(   xxf ，作出函数在 y 轴右 侧的图像，再把图像关于 y 轴对称到左侧，得到 )(xf 的函数图像，由函数图像可知，函数在区间 ) 12 5 , 6 (  上单调递减，不具有周期性，不关于点 ( ,0) 6  对称，所以 B正确，C错误，D错误. 故选 AB. 10.答案：BC 解析：由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大，反 之，标准差越大，数据越分散，峰值越小.对于两个小组的误差，甲组的标准差 1 0.0001 0.01   ，乙组的标准差 2 0.0004 0.02   显然甲组的标准差更小，峰值更大，数 据相对乙组更集中，故 A错误，B正确；设 1 20.3 0.28  ， ，则 1 1 1 1 1 1( 0.28) ( 2 ) ( 2 ), ( 0.32) ( 2 ),P X P X P X P X P X           1 1 1 1( 0.28) ( 0.32) ( 2 ) ( 2 ) 1,P X P X P X P X         故 C正确; 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 ( 0.31) ( ) ( ) ( ), 2 2 2 P Y P Y P Y P Y                   1 1 1 1 1 1 1 1 ( 0.31) ( ) ( ), 2 2 P X P X P X             而对于任何正态分布都有 1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ),P X P Y              故 ( 0.31) ( 0.31)P Y P X   ，故 D错误.故选 BC. 11.答案：ACD 解析：对于 A选项，因为正实数m ，n 满足 1m n  ，则0 1m  ，  1m n m m     2 1 1,1m    ， 故 1 12 2 2 m n   ，故 A 正确； 对于 B选项，设 sin , cosm n   ， 0 2         ， ，满足正实数m ，n 的关系式 1m n  ， 所以 sin cos 2 sin 4 m n               ，由于 0 2         ， ，所以 2 sin 1 2 4           ， 所以1 2m n   ，故 B错误； 对于 C选项，由基本不等式得 2 1 2 4 m n mn        ，当且仅当 1 2 m n  时，等号成立，故 C正确； 对于 D选项，因为         22 2 2 2 2 2 2 22 2 1m n m n m n m n mn m n           ，可得 2 2 1 2 m n  ，当且仅当 1 2 m n  时，等号成立，故 D正确.故选 ACD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12.答案： 10 10  解析：设角 CBA ,, 所对的三边分别为 cba ,, ，依题意得 AB 边上的高 3 c CD  ，而 4  A ， 所以 3 2 , 3 c BD c AD  ，在 ACDRt 中， 3 222 cCDADAC  ； 在 BCDRt 中， 3 5 ) 3 () 3 2 ( 2222 ccc BDCDBC  ； 所以在 ABC 中， 10 10 3 5 3 2 2 ) 3 5 () 3 2 ( 2 cos 222 222        cc c cc BCAC ABBCAC C . 13.答案： 4 2 3 解析：连接 AP，因为 1AA 平面 ABCD， AP平面 ABCD，所以 1AA AP ，所以,   2 2 2 2 1 1 3 2 2 1AP A P AA     ， 所以，点 P 的轨迹是平面 ABCD内以点 A为圆心，圆心角为 π 2 ，且半径为1的圆弧及其内部， 连接 AC 交BD于点O ，因为四边形 ABCD为正方形，所以O 为 AC 的中点，且 AO BD ，因为 正方形 ABCD的边长为2 2 ，则 4AC BD  ，所以 1 2 2 AO AC  ， 设点 P 到BD的距离为d ，则 min 1 2 1d AO    ， 所以， PBD△ 面积的最小值为 min 1 1 4 1 2 2 2 BD d     ， 故 1 1 1 1 4 2 2 2 2 3 3 3 A PBD PBDV S AA       ， 即三棱锥 1A PBD 体积的最小值为 4 2 3 . 14.答案：  2,4 解析：设任意的 21 xx  ，则 012  xx ，所以 0)( 12  xxf .又  2 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x x f x     2 1 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0f x x f x f x f x x       ，所以函数 )(xf 为增函数.令 0 yx ，得 0)0( f ；令 xy  ，则 0)()()0(  xfxff ，故 )(xf 为奇函数.所以    1 1 2f f    ， )11()2(  ff ，所以 )(xf 在 1,2 上的值域为 4,2 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 解析：（1）由 22 2n nS a n   ，得 2 2 1 1 12( 1) 2 2 4n n nS a n a n n         ， ………………2分 两式相减得 1 1 4 2n n na a a n     ，则 4 2na n  ； ………………5分 （2）由（1）可知 1 1 4 2 n n b a n    ， ………………7 分 则 1 1 1 1 1 ( ) (4 2)(4 6) 2 1 28 3 n nb b n n n n         ， ………………9分 所以 1 2 2 3 1n n nT bb b b b b    1 1 1 1 1 1 1 3 5 5 78 2 1 2 3n n                              1 1 1 ( ) 3 2 3 12 2 38      n n n ………………13 分 16.（15分） 解析：(1）如图，取 PD 的中点F ，连接 AF ，EF ， 则 //EF CD， 1 2 EF CD ，又 //AB CD ， 1 2 AB CD ， 所以 //AB EF ，且 AB EF ，所以四边形 ABEF 为平行四边形， 所以 //AF BE ， ………………3分 又BE 平面PAD， AF 平面PAD ，所以 / /BE 平面 PAD； ………………5分 （2） 因为BE AB ， //AF BE ，所以 AF AB ， 又因为 AB AD ， AD AF A ，且 AD， AF 平面PAD， 所以 AB 平面PAD； ………………7分 由 1PA AD  ， 2PD  ，可知 2 2 2PA AD PD  ，所以PA AD ． 故 PA，AB，AD 两两垂直， ………………8分 以 A 为坐标原点，分别以 , ,AB AD AP 为 x 轴， y 轴， z 轴建立如上图所示的空间直角坐标系， 则  0,0,0A ，  1,0,0B ，  2,1,0C ，  0,0,1P ， 1 1 1, , 2 2 E       ， ………………10分 4)1(2  f 所以  1,0,0AB  ， 1 1 0, , 2 2 BE        ，  1,0,1BP   ，设平面 ABE 的法向量为  , ,m a b c ， 则 0 0 AB m BE m       ，即 0 1 1 0 2 2 a b c       ，令 1c  ，得 1b   ， 0a  ，所以  0, 1,1m   ， 设平面 PBE 的法向量为  , ,n x y z ，则 0 0 BE n BP n       ，即 1 1 0 2 2 0 y z x z        ， 令 1x  ，得 1z  ， 1y   ，所以  1, 1,1n   ， ………………12 分 设面 ABE与面BEP夹角为 ， 则   22 2 2 6 cos cos , 32 1 1 1 m n m n m n           所以平面 ABE与平面BEP夹角的余弦值为 6 3 ………………15分 17. （15分） 解析：（1）补全的 2×2 列联表如下 不喜爱 喜爱 合计 男性 60 180 240 女性 50 110 160 合计 110 290 400 ………………2分 零假设为 0H :人们对该活动的喜爱程度与性别无关， 根据表中数据，计算得到   2 2 400 60 110 180 50 600 2.706 110 290 240 160 319          K ……………4 分 根据小概率值 0.1  的独立性检验，没有充分证据推断 0H 不成立， 因此我们可以认为 0H 成立，即认为人们对该活动的喜爱程度与性别无关. …………6分 （2） ① 记“甲至少正确完成其中 3 道题”为事件 A， 则   3 4 3 4 4 4 3 1 3 189 4 4 4 256               P A C C ………………8 分 ② X 的所有可能取值为 2，3，4，   2 2 2 6 4 8 3 2 14 C C P X C    ，   1 3 2 6 4 8 4 3 7 C C P X C    ，   0 4 2 6 4 8 3 4 14 C C P X C    ………………14分 X 的分布列为 X 2 3 4 P 3 14 4 7 3 14 X 的数学期望   3 4 3 2 3 4 3 14 7 14 E X        . ………………15分 18.（17分） 解析：（1）因为离心率为 2 2 ，所以 2 2 c a  ，由椭圆定义知 1 2 2AF AF a  ， 由基本不等式可得   2 1 2 2 1 2 6 4 AF AF AF AF a      ， ………………2 分 当且仅当 1 2AF AF a  时，等号成立， ………………3分 故 6a  ，所以 3c  ,所以 2 2 2 3b a c   ， 故椭圆 C 的方程为 22 6 1 3 x y   ………………5分 （2）① 设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ， 由 2 2 3 6 3 1 x my x y        ，得  2 22 6 3 0m y my    ，由  2 2Δ 36 12 2 0m m    ，得 2 1m  ， 1 2 2 6 2 m y y m     ， 1 2 2 3 2 y y m   ， ………………7 分 设 PQ中点坐标为 0 3 , 2 y       ，则 1 20 2 3 2 2 y y m y m      ………………8 分 因为 0 3 , 2 y       在直线PQ上，所以 0 3 3 2 my  ，即 0 3 2 y m   所以 2 3 2 m m   = 3 2m  ，解得 2m   ………………10 分 ② 存在点  ,H HH x y 使得四边形 DMHN 为平行四边形 ………………11 分 因为  2,1D 在椭圆上，所以易知 1 2x  ， 2 2x  ， 设直线DM 的方程为  1 1 1 1 2 2 y y x x      ， 令 3x  ，得   11 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 M yy y y x m m y my            ， 同理得   2 2 1 1 N y y m my    ， ………………13分 又由①知  1 2 1 2 1 2 y y y y m    所以             1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1               M N m y m y m my y m y y y y my my my my           1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 0 1 1               m m y y m y y m my my 所以线段MN 的中点坐标为  3,0 ， ………………15分 连接DH ，则线段DH 的中点坐标也为  3,0 ，由于  2,1D ， 可得 2 3 2 1 0 2         H H x y ,所以点 H 的坐标为  4, 1H ………………17 分 19. （17分） 解析：（1） )(xf 的定义域为 ),0(  ， 2 2 2 1221 1)( x axx x a x xf   ， ………………1分 所以 af 45) 2 1 (  ；依题意有 af  ) 2 1 ( 即 aa  45 ，解得 1a . ………………3分 此时 2 3 4ln) 2 1 ( f ，所以 )(xf 在点 2 1 x 处的切线方程为 24ln  xy ， 与 xy  平行.所以实数 a 的值为 1. ………………4分 （2） 令 12)( 2  axxxg  0x  ，方程 0122  axx 的判别式 )1)(1(444 2  aaa ， 若 0 即 11  a ， 012)( 2  axxxg 恒成立， 即对任意 2 ( ) (0, ) , ( ) 0 g x x f x x     . 所以 )(xf 在 ),0(  单调递增； ………………6分 若 0 即 11  aa 或 ， 当 1a 时， 012)( 2  axxxg 恒成立， 即对任意 0 )( )(),,0( 2  x xg xfx . 所以 )(xf 在 ),0(  单调递增； 当 1a 时，令 0122  axx 得 2 20 1 1x a a x a a      或 ； 令 0122  axx 得 11 22  aaxaa . 所以在 2 2(0, 1) ( 1, )a a a a     上， 0)(  xf ； 在 )1,1( 22  aaaa 上， 0)(  xf . 所以 )(xf 在 2 2(0, 1) ( 1, )a a a a    ， 上单调递增， 在 )1,1( 22  aaaa 上单调递减. ………………9分 综上，当 1a 时， )(xf 在区间 ),0(  恒单调递增； 当 1a 时，在区间 )1,1( 22  aaaa 单调递减， 在区间 2 2(0, 1) ( 1, )a a a a    ， 单调递增.……………10分 （3） 由 m n n m 1 ln 1 ln  整理可得 nm nm 11 lnln  ， 因为 0,0  nm ，所以 0lnln  nm ，因此 0 nm ， 因为 mn nm nm nm   11 lnln ，所以 m n m n m 1 ln   ， ………………12分 令 )1(  t n m t ，则 m t t 1 ln   ，所以 tt t t m n t t m ln 1 , ln 1     ， 所以 tt t tt t t t nm ln 1 ln 1 ln 1 2       ， ………………14分 要证 2 nm ，需证 2 ln 12   tt t ，即证 1 2lnt t t   ，即 1 2ln 0t t t    ， 由（2）可知， 1a 时， x x xxf ln2 1 )(  在 ),0(  单调递增， 所以当 1t 时， 0)1()(  ftf ， 所以 t t t ln2 1  ，所以 2 nm . ………………17分 2026届高三年级第一次学情调研教学质量监测试题（卷） A.物资的价格和需求量存在正相关关系 ↑y吨 B.y与x不具有线性相关关系 C.价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25吨 6284 数学 D.m=6 123x1万元 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置 5.已知a,6是单位向量，且a:6=】若平面向量万满足p。=p6=2,则列的值为 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效 =中 3.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 42位 c.5 D.2 3 3 如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑 100.0 色笔迹签字笔写在答题卡上 &已知ma=月，a<a<证则cos'a 2 2航2a 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 5.本试题共5页，满分150分，考试时间120分钟 为B.1 c5+1 D.I-3 2 2 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 1 一项是符合题目要求的， 7.若f国=血a+一+b是奇函数，则 1.已知集合A={x2+x-6=0,B={xam=1},若A∩B=B,则实数a的取值是 a-6=-h2 a=-2b=h2 的，米1 B.2或-3 C.a=-2,b=0 h04D,a=0,b=0m= C.2或-3或0 D.或或0 8.已知抛物线C:y2=x,A(3,0),O为坐标原点，过点A的直线1与C交于M,N不同 2.设复数z满足(3+4)z=5i,则2= 的两点，若AM+4AN=0,则△OMN的面积为 04 A.25 c.1 D.5 2 C55 D.43 3.在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去4、B、C三个小区进行数据 采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区.则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多 不同的安排方法共有 项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. A.24种 B.36种 C.6种 D.12种 4.某地区在一段时间内对一项工业物资进行调研，分5次测得该项物资的价格x(万元) 9.关于函数f()=c0s(x+),下列说法正确的是 和需求量)（吨）之间的一组数据，绘制成散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应 的经验回归方程为少=28.1-115x,根据上述信息，如下判断正确的是 A.∫(x)的图象关于y轴对称 县因在区后治上举湘莲该 价格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量y,12 10 7 m 3 C.f(x)的最小正周期为π D.儿)的图象关于点（行，0）对称 高三数学第1页共5页 高三数学第2页共5页 道某衣料所对一快士地进行能碳平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，新象酸敏度P阳 四、解答题：本弧共5小题，共刀分解答应写出文字说明、证明过程或演筑步骤 值时会油成一定的碳差，甲都塘行的实轮数据的误整X和乙相速行的实轮数整的误装 15.(13分) y均种合正志分在，其中x-N(030001,Y-N(02800004),已知E者分有 已知数列a,}的前n明和为S.,且4=6,5=a,+2-2. 密度函数代)：一】 (1)求a,3的通项公式： 。一起术和了所对应的正志分布志度函酸分别为 (2)若6，=上，T=6+44++bh,求E a. (),则下列表述中正确的是 A.乙粗的实验银差数规相对于甲组更集中B。人(0.3)>方(0.28) 16.(15分) C,PX<028)+PXs0.32)=1D.Py<031)<P(x<0.3) 如蛋，在四被维P-AsCD中，B/CD,B=CD,A1AD 山设正实数m、为满足m+n=1,则下列说法中正确的是 E为棱PC的中点，且BE⊥AB (1)证明：BE1/平面PAD: 品后+后的最小值为巨 2 (2)若PA=AD=1,PD=反，4B=L.求平面4B5与平 七m的是大植为 。时+的最水植为号 面BEP夹角的余弦值 三，填空量：本题共3小显，每小题5分，共15分 17.(15分) 2在△MC中，已知A-子着B边上的高为B,则casC:一 某巾为发展旅游业，市旅游局提出“历史从未远去，它一直在我们身边”“一砖一瓦 皆故中，一饭一莲皆成诗”的文化创总主愿，围绕这一丰题开展了一系列丰高多彩的 13.如图，正方体ABCD-AB,CD的校长为2√互，点P在正方形ABCD的边界及其内部 文艺活动.为了了解人们对活动的喜爱程度，现蓝机抽取400人进行调老统计，得到如 运动，具满足AP≤3，则四而体4-PBD的体积的最小值是 下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 乃性 180 240 女性 50 合计 400 14,已知函数f)对任意的实数x,y都有f(x+)=()+fy),且当x>0时， (1)完成2×2列联表，并依据小概率值a=01的独立性检验，英断人对该活动的 喜爱程度是否与性别有关联 f)>0,f(-)=-2,则当x【2时，f)的值城为 务三数学第3斯共5夏 高三数学第4置共5互 (2)为宜传历史文化知识，当地文化局组织了历史知识竞赛活动.活动规定从8道备 选题中随机抽取4道题进行作答假设在8道备选题中，甲正确完成每道题的概 年)网扬有 率都是？，且每道题正确完成与否互不影响：乙只能正确完成其中的6道题 ①求甲至少正确完成其中3道题的概率： ②设随机变量X表示乙可以正确完成题的个数，求变量X的分布列及数学期望， n(ad-bc子 脂：to++4)e-e)+a其中n=a+b+cd. a0.10.050.010.0050.01 x2.7063.8416.6357.879 10.828 18.(17分) 已安国C号片-o>6>0的离心米务号 ,F,F2分别为椭圆的左右焦点， 2 点A是椭圆C上一动点，且AA的最大值为6 (1)求椭圆C的方程： (2)已知直线x=my+3与椭圆C交于P,Q两点」 0活PQ中点的模坐标为号求加的。 ②已知点D(2,),直线DP,D0与直线x=3分别交于点M,N,平面内是香存在 一点H,使得四边形DMW为平行四边形若存在，求出点H的坐标，若不存 在，请说明理由. 19.(17分) 已知函数f(x)=x 1_2alnx(aeR) ①)若函数代国在点x-处的切线与直线y=匹平行，求实数口的值。 (2)讨论函数f(x)的单调性： 3)若nm-1=nn+L,求证：m-n>2. m 高三数学第5页共5页