精品解析：北京市通州区2024-2025学年八年级下学年期末数学 测试卷

通州区2024—2025学年第二学期八年级期末质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准砌填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A. B. C. D. 4. 如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 6. 关于一次函数．下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象向下平移6个单位经过原点 C. 图象与轴交于点 D. 随的增大而增大 7. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点E，F分别是，的中点，连结，若，，则菱形的边长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 等腰三角形ABC中，，记，周长为y，定义为这个三角形坐标． 如图所示，直线，，将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中， ①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域I中； ②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中； ④图中点P所对应等腰三角形的底边比点Q所对应等腰三角形的底边短． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③ 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 10. 方程的解是_____． 11. 如果一次函数的图象经过，且y随x的增大而减小，那么这个一次函数的表达式可以是______．（写出一个即可） 12. 某班进行体育中考模拟测试，按测试成绩将40人分成5个小组，第5组的频率是，则第5小组有_____名同学． 13. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为__________． 14. 一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围______． 15. 一组数据平均数为4，方差为．再添加一个数据4，得到一组新数据．若记这组新数据的方差为，则______（填“>”“=”或“<”）． 16. 如图，在等边三角形中，，P为上一点（与点A、C不重合），连接，以、为邻边作平行四边形，则的取值范围是_______． 三、解答题（本题共68分，第17题8分；第18—25每题5分；第26题6分；第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17 解方程： （1） （2） 18. 已知一次函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）点，判断点P是否在的图象上． 19. 如图，平行四边形中，点E，F分别在，边上，且，连接，．求证：． 20. 交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若为最小正整数，求此时方程的根． 22. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成作图：作的角平分线，交的延长线于点M，连接．（保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：四边形是矩形． 23. 在2025年十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫生健康委员会宣布实施“体重管理年”3年行动．旨在引导全社会养成重视体重、科学饮食与锻炼的习惯，健康生活，（身体质量指数）是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准． a．九年级男女生标准如下： 等级 九年级男生标准 九年级女生标准 低体重 正常 超重 肥胖 b．某校九年级（1）班男女生统计图如下： c．该校九年级（1）班男生在13.2～19.6的数据为： 14.1，14.5，15.9，16.3，16.5，16.6，16.6，16.7，16.9，17.1，17.5，18.1，18.4； （1）九年级（1）班男生正常的人数是 人，的中位数为 ； （2）扇形统计图中低体重的圆心角为 °； （3）该校九年级共有男生440人，女生400人，估算该校正常的人数． 24. 在平面直角坐标系中，点在直线：上，直线：经过点A，且与轴交于点． （1）求m的值及直线的表达式； （2）点在直线上，轴交直线于点D，点D的纵坐标为．若，直接写出的取值范围． 25. 如图，菱形中，分别延长至点E、F，使，，连结． （1）求证：是等腰三角形； （2）连结，若，，求的长． 26. 形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： （1）当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． （2）某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 27. 如图，已知正方形中，E为对角线上一点，过点E作交于点F，连结，G为的中点，连结． （1）①依题意，请补全图1 ②求证：； （2）将第（1）问中的绕点B逆时针旋转，如图2所示，G为的中点，连结．求证：． 28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度得到点，点绕点M逆时针旋转得到点Q，称点Q为点P关于点M的“k阶变换点”．已知点． （1）如图1，若点，点Q为点P关于点M的“1阶变换点”则点Q的坐标为 ； （2）如图2；若点M为x轴上一点，点Q为点P关于点M的“2阶变换点”，点Q的纵坐标为，求点M的坐标； （3）如图3，正方形，点A坐标为，M是正方形上一点，点Q为点P关于点M的“2阶变换点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 通州区2024—2025学年第二学期八年级期末质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准砌填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；如果将图形旋转后仍与原图形重合，这个图形即是中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】A、中心对称图形，但不是轴对称图形，故该选项正确； B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误； D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项错误； 故选：A． 2. 如果是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把的值代入方程即可得到一个关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 故选：A． 3. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据甲、乙的进球的统计图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小，由此即可得到答案． 【详解】解：由图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方差的定义，解题的关键在于能够熟练掌握，波动越小，方差越小，数据越稳定． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，在解题时熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的对应情况是解此类题的关键． 根据一元二次方程的系数结合根的判别式计算即可得出，即可得出结论． 【详解】∵在方程中， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6. 关于一次函数．下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象向下平移6个单位经过原点 C. 图象与轴交于点 D. 随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、平移及与坐标轴的交点，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解∶A、一次函数中， ，图象经过第一、二、四象限，选项说法错误，不符合题意； B、一次函数图象与y轴交于点，向下平移6个单位经过原点，选项说法正确，符合题意； C、一次函数中，当时， ，与x轴交于点，选项说法错误，不符合题意； D、一次函数中，y随x的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； 故选∶B． 7. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点E，F分别是，的中点，连结，若，，则菱形的边长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练运用相关知识是解题的关键． 先利用三角形的中位线定理得，再由菱形的对角线互相垂直得，最后用勾股定理求长． 【详解】点E，F分别是，的中点， ， 四边形是菱形， ，， ， 菱形的边长为5． 故选：D． 8. 等腰三角形ABC中，，记，周长为y，定义为这个三角形的坐标． 如图所示，直线，，将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中， ①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域I中； ②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中； ④图中点P所对应等腰三角形的底边比点Q所对应等腰三角形的底边短． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】设，则．根据，利用不等式的性质得出，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边，得出，利用不等式的性质得到，即可判断②；③根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出，即可判断③；分别求出点P、点Q所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④． 【详解】解：如图，等腰三角形中，，记，周长为， 设，则， ①∵， ， ∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的上方，不可能位于区域I中，故结论①正确，符合题意； ②∵三角形任意两边之和大于第三边， ，即， ， ∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论②错误，不符合题意； ③若三角形是等腰直角三角形，则， ， ， ， 即， ∴若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中，故结论③正确，符合题意； ④由图可知，点P位于区域Ⅲ中，此时， ， ， 点Q位于区域Ⅱ中，此时， ， ， ∴点P所对应等腰三角形的底边比点Q所对应等腰三角形的底边长，故结论④错误，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理，等腰三角形、等腰直角三角形的性质，不等式的性质，难度适中．理解三角形的坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为． 故答案为：． 10. 方程的解是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 因式分解得， 或， 解得，． 故答案为：，． 11. 如果一次函数的图象经过，且y随x的增大而减小，那么这个一次函数的表达式可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足． 根据一次函数的性质，时，y随x的增大而减小，不妨令，把经过的点代入求出b的值即可． 【详解】的图象经过，且y随x的增大而减小， ， 不妨令， 则， 把代入得， ． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 某班进行体育中考模拟测试，按测试成绩将40人分成5个小组，第5组的频率是，则第5小组有_____名同学． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了频率的计算公式：频数频率数据总和，是需要识记的内容．根据频数频率数据总和，计算可得答案． 【详解】解：名， 故答案为：12． 13. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，，是的中线， ， 故答案为：3． 14. 一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象和一次函数的性质，根据一次函数的图象直接解答即可． 【详解】根据函数图象可知：当时，， 故答案为：． 15. 一组数据的平均数为4，方差为．再添加一个数据4，得到一组新数据．若记这组新数据的方差为，则______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数，方差的计算方法，掌握方差的计算方法是解题的关键． 根据方差公式即可求解． 【详解】解：根据题意， ， 添加一个数据后的平均数为， ∴ ， ∵，即， 故答案为： ． 16. 如图，在等边三角形中，，P为上一点（与点A、C不重合），连接，以、为邻边作平行四边形，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得：，，当点P与点C重合时，此时OP有最大值，当时，此时OP有最小值，即可求解． 【详解】如图，设AB与PD交于点O，连接OC， ∵四边形ADBP是平行四边形 ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ 当点P与点C重合时，此时OP有最大值 ∴DP的最大值为 当时，此时OP有最小值 ∵ ∴ ∴DP的最小值为 ∵P为 AC 上一点（与点A、C不重合） ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、垂线段最短等知识点，灵活运用这些性质是解决问题的关键． 三、解答题（本题共68分，第17题8分；第18—25每题5分；第26题6分；第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法． （1）通过移项、因式分解将方程转化为乘积形式求解； （2）直接配方法求解． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ，． 18. 已知一次函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）点，判断点P是否在的图象上． 【答案】（1） （2）点P不在的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）将点代入表达式，可求出k的值； （2）将点代入（1）中解析式进行检验即可． 【小问1详解】 解：把点代入表达式 得：． 【小问2详解】 由（1）可知； 当时，， ∴点P不在的图象上． 19. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，边上，且，连接，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．先证明四边形是平行四边形，从而得到，从而即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E，F分别在边上，， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 20. 交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】设该品牌头盔销售量的月增长率为20% 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔2月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若为最小正整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当方程有两个不相等的实数根，则”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根． （1）根据方程根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）由（1）结论结合为正整数，即可得出，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解． 【小问1详解】 解： 关于的一元二次方程有两个实数根, ， 解得：， 的取值范围为． 【小问2详解】 解：∵，且为最小正整数， ∴， 原方程为，即， 解得：，， 若为最小正整数时，方程的根为，． 22. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成作图：作的角平分线，交的延长线于点M，连接．（保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和矩形的判定． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先利用角平分线的定义得到，再利用三角形中位线性质得到，则，所以，于是得到，接着利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形为矩形得到四边形是矩形． 【小问1详解】 解：如图，射线即为求作的； 【小问2详解】 证明：是的角平分线， ． 点E，F分别是，的中点， ． ． ． ， ． ， ∴四边形平行四边形 ，， ． ∴四边形是矩形． 23. 在2025年十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫生健康委员会宣布实施“体重管理年”3年行动．旨在引导全社会养成重视体重、科学饮食与锻炼的习惯，健康生活，（身体质量指数）是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准． a．九年级男女生标准如下： 等级 九年级男生标准 九年级女生标准 低体重 正常 超重 肥胖 b．某校九年级（1）班男女生统计图如下： c．该校九年级（1）班男生在13.2～19.6的数据为： 14.1，14.5，15.9，16.3，16.5，16.6，16.6，16.7，16.9，17.1，17.5，18.1，18.4； （1）九年级（1）班男生正常的人数是 人，的中位数为 ； （2）扇形统计图中低体重的圆心角为 °； （3）该校九年级共有男生440人，女生400人，估算该校正常的人数． 【答案】（1）18，17.8 （2）36 （3）估计该校共有680人正常 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）减去其余的角度即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 解： 在等级中有11个正常数据：；在等级中有7个正常数据 该校九年级（1）班男生正常的人数是人 ； 的中位数为； 故答案为: ； 【小问2详解】 根据统计图，低体重的人数占比为，因此，扇形统计图中低体重的圆心角为； 故答案为:36； 【小问3详解】 人， 答:估计该校共有680人正常． 【点睛】本题考查了统计图的应用，解题的关键是能够从统计图中获取有用的信息，并进行正确的计算．同时，本题也体现了数学在实际生活中的应用，有助于提高学生的数学应用能力． 24. 在平面直角坐标系中，点在直线：上，直线：经过点A，且与轴交于点． （1）求m的值及直线的表达式； （2）点在直线上，轴交直线于点D，点D的纵坐标为．若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、坐标与图形、解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质并灵活运用是解答的关键． （1）先根据一次函数图象点的坐标特征求得点A坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据题意得到，，再结合已知列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：点在直线：上， ，则， 直线：：经过点A，且与轴交于点， ，解得， 直线的表达式为； 综上，直线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵点在直线上，轴交直线于点D，点D的纵坐标为， ，点D的横坐标为n， 由（1）可知，直线的表达式为， ， ， ， 整理为，解得， ． 25. 如图，菱形中，分别延长至点E、F，使，，连结． （1）求证：是等腰三角形； （2）连结，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，勾股定理： （1）根据菱形的性质以及三角形中位线定理可得，即可求证； （2）根据三角形中位线定理可得，再由菱形的性质可得，且．在中，根据勾股定理可得，然后在中，根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形菱形， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：连结交于点， ∵，，， ∴． ∵四边形是菱形，， ∴，且． ∴在中，， ∴在中，． 26. 形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： （1）当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． （2）某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为 （2）当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式． （1）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案； （2）设，则，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意． 【小问1详解】 解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． 【小问2详解】 解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 27. 如图，已知正方形中，E为对角线上一点，过点E作交于点F，连结，G为的中点，连结． （1）①依题意，请补全图1 ②求证：； （2）将第（1）问中的绕点B逆时针旋转，如图2所示，G为的中点，连结．求证：． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先运用正方形的性质可得．由垂直定义得．再运用直角三角形的性质可得，．，进而求解； （2）分别延长交于点H，连结，证明，得，．得．可证是等腰直角三角形，，得，∠1=∠2．得是等腰直角三角形．得． 【小问1详解】 解：①如图： ②证明：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵G为中点， ∴，． ∴． 【小问2详解】 证明：当点F在上时， ∵， ∴是等腰直角三角形 当点F在上时，分别延长交于点H，连结，如图所示： ∵正方形， ∴． ∴． 在和中 ∴． ∴，． ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，． ∴． ∴在和中 ∴ ∴，∠1=∠2． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查正方形和三角形的综合．熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形性质，旋转性质 三角形全等的证明及性质．直角三角形斜边上的中线性质，是解题关键． 28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度得到点，点绕点M逆时针旋转得到点Q，称点Q为点P关于点M的“k阶变换点”．已知点． （1）如图1，若点，点Q为点P关于点M的“1阶变换点”则点Q的坐标为 ； （2）如图2；若点M为x轴上一点，点Q为点P关于点M的“2阶变换点”，点Q的纵坐标为，求点M的坐标； （3）如图3，正方形，点A坐标为，M是正方形上一点，点Q为点P关于点M“2阶变换点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查点的平移，旋转的性质，两点间距离，读懂题意是解题的关键． （1）先根据定义和求出点的坐标，再根据题意即可求出点Q的坐标； （2）设，根据题意得出，最后利用即可求出点M的坐标； （3）找出的最大值与最小值，即可得出． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， 故点P向左移动1个单位，向上移动1个单位后是， ∵点绕点M逆时针旋转得到点Q， 故， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设， ， 故点P向左或向右取决于，上下不平移，则， 点与都在x轴上，点Q的纵坐标为， 应在左侧， ， ， 解得， ． 【小问3详解】 解：； 设，则，， ，， ， 当时，则 ，， 此时存在最大值，， 当时，则 ，， 此时存在最小值，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$