2026年八年级数学秋季开学学情自测卷（长沙专用，范围：人教七下+八上三角形部分）

**基本信息** 2026年八年级开学数学学情卷，以具身机器人、长沙研学等真实情境为载体，覆盖七年级下册及三角形基础，梯度设计适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、调查方式、命题、坐标系|机器人手臂平行（几何直观）、天平跨学科实践（抽象能力）| |填空题|6/18|样本容量、平方根、不等式组|对顶角命题改写（推理意识）、中线性质（空间观念）| |解答题|9/72|统计图表、二元一次方程组、动态几何|长沙景点调查（数据意识）、“交互方程”新定义（创新意识）、动点面积问题（推理能力）|

2026年秋季八年级开学学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B C C B C C A C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 11．. 12．200 13．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 14． 15．3 16． 3、 4、 解答题：本大题共 9 小题，共计 72 分；其中第 17、18、19 题每题 6 分，第 20、21、22 题每题 8 分，第 23、24、25 题 10 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解： ······（4分） ．······（6分） 18．解：由①②，得 ，······（2分） 解得，······（3分） 把代入①，得 ， 解得，······（5分） ∴这个方程组的解是．······（6分） 19．解：解不等式，得，······（2分） 解不等式，得，······（4分） ∴不等式组的解集为，······（5分） 将解集表示在数轴上如图所示：   ······（6分） 20．（1）解：如图，分别将点、、向右平移6个单位，向上平移2个单位，得到点、、，顺次连接，即为所求． ······（4分） （2）解：． ······（8分） 21．【答案】(1)100······（2分） (2)则补全条形统计图如下： ．······（4分） (3)72······（6分） (4)解：（名），······（7分） 答：估计全校喜欢“湖南博物院”的人数是200名．······（8分） 22．（1）解：设每件A种奖品x元，每件B种奖品y元，······（1分） 根据题意得：，······（2分） 解得：，······（3分） 答：每件A种奖品4元，每件B种奖品20元；······（4分） （2）解：设A种奖品购买m件，则B种奖品购买件， 根据题意得：，······（5分） 解得：，······（6分） 又为正整数， 的最小值为69．······（7分） 答：A种奖品最少购买69件．······（8分） 23．（1）∵， ， ∴， ∴；······（3分） （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴；······（6分） （3）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴．······（10分） 24．（1）解：根据“交互方程”的定义，方程的交互方程为， 联立得方程组，······（1分） 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 即方程组的解为；······（3分） （2）解：由交互方程的定义可得， 整理得：， 已知， 代入得， 解得：， ∵是整数， ∴；······（6分） （3）解：的交互方程为， 联立得方程组， 得：， 解得， 已知，即， 将代入得：， 整理得， 解得， 因此方程组的解为， 将解代入得：， 即， ∴ ．······（10分） 25．（1）解：，，， ，解得， ，， ；······（3分） （2）解：如图，连接、作轴，轴，交于点E， 由（1）知，，， 点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点， ， ， ， ， ， ， ；······（6分） （3）解：①当点Q在第三象限时，如图构造长方形， 设运动时间为t秒， ，， ，即， ， 设， ， 解得， ， ②当点Q在第一象限时，如图构造长方形， ，即， ， 设， ， 解得， ， 综上所述，点的坐标为或．······（10分） $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季八年级开学学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15.___________________ 16.___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： 18．（6分） 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季八年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七年级下册全部内容 +部分三角形基础知识 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．在实数，，，中，无理数是（     ） A．3.14 B． C． D． 2．在下列调查方式中，适合全面调查的是（     ） A．了解一批节能灯管的使用寿命 B．了解“嫦娥六号”月球探测器的零部件质量 C．了解全国中小学生的视力情况 D．某池塘中现有鱼的数量 3．下列命题中，真命题是（     ） A．内错角相等 B．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．相等的角是对顶角 D．两点之间，垂线段最短 4．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 5．在一场足球训练赛中，小亮首发出场担任左后卫，站在图中点A的位置．若以中场线所在直线为x轴，垂直于中场线过中圈圆心的直线为y轴建立平面直角坐标系，点A所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在“古代计量工具复原”的跨学科实践活动中，同学们复刻了简易天平．如图，初始时，左盘放质量为的铜砝码，右盘放质量为的铁砝码，天平左低右高；随后，向左右两盘同时加入一个质量为的陶制砝码，天平仍保持左低右高．这一现象所体现的数学原理是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．伴随人工智能与机器人技术高速迭代，具身机器人现已具备高精度全身肢体协同能力，在弓步姿态下如图1，仍能够保证手臂与大腿精准平行，图2是其示意图，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．小阳有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框，那新选的木条的长度可以为（     ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 10．如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（     ） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．计算：______． 12．为了检验学生对防溺水“七不两会”的掌握情况，某学校从全校名学生中随机抽取名学生进行调查，该问题中样本容量是________． 13．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 14．的平方根是______． 15．如图，是的中线，若，则_____． 16．已知关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是________． 3、 解答题：本大题共 9 小题，共计 72 分；其中第 17、18、19 题每题 6 分，第 20、21、22 题每题 8 分，第 23、24、25 题 10 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． 计算： 18． 解方程组： 19．解不等式组，并将该不等式组的解集表示在如图所示的数轴上．    20．如图，在平面直角坐标系中有三个点，，，向右平移6个单位，向上平移2个单位后得到． (1)画出平移后的； (2)求的面积． 21．长沙作为中国中部地区的文化和旅游中心，近年来也逐渐成为了旅游的热门城市．某校组织学生去长沙进行研学，对研学的同学进行“我最喜欢的长沙景点”调查活动，从长沙的五个景点（A 湖南博物院，B 岳麓山，C橘子洲，D 五一广场，E梅溪湖国际文化艺术中心）中选出自己最喜欢的一个景点，将调查问卷整理后绘制成如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据所给信息解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名学生； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中“B 岳麓山”所在扇形的圆心角度数为______； (4)若该学校共有2000名学生，根据调查估计全校喜欢“A 湖南博物院”的人数是多少？ 22．长沙于2011年首次获评全国文明城市，截至2025年，长沙保持全国文明城市称号已有14年，在此期间，长沙持续推进文明城市建设工作，不断巩固和提升文明城市创建成果．我校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者，如果购买A种20件，B种15件，共需380元，如果购买A种15件，B种10件，共需260元． (1)、B两种奖品每件各多少元？ (2)现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最少购买多少件？ 23．如图，，平分，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若平分，求证：． 24．定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“交互方程”，例如：“交互方程”为． (1)求方程与它的“交互方程”组成的方程组的解； (2)已知整数，，且满足，并且是关于的二元一次方程的“交互方程”，求的值； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“交互方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 25．在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求三角形的面积； (2)如图，将点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若三角形与三角形的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当三角形的面积为8时，求出点的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级开学学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．在实数，，，中，无理数是（     ） A．3.14 B． C． D． 【答案】D 【分析】整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数，无限不循环小数是无理数，据此求解即可． 【详解】解：是有限小数，是有理数；是分数，是有理数；，是整数，是有理数；是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数． 2．在下列调查方式中，适合全面调查的是（     ） A．了解一批节能灯管的使用寿命 B．了解“嫦娥六号”月球探测器的零部件质量 C．了解全国中小学生的视力情况 D．某池塘中现有鱼的数量 【答案】B 【分析】全面调查适用于调查结果要求精确，不具有破坏性，且便于全面实施的调查． 【详解】解：A、了解一批节能灯管的使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查； B、嫦娥六号月球探测器的零部件质量要求绝对可靠，每个零部件都必须检查，适合全面调查； C、全国中小学生数量庞大，全面调查成本高难度大，不适合全面调查； D、池塘中鱼的数量难以全部统计，不适合全面调查． 3．下列命题中，真命题是（     ） A．内错角相等 B．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．相等的角是对顶角 D．两点之间，垂线段最短 【答案】B 【详解】解：对于选项A：缺少两直线平行的前提，是假命题； 对于选项B：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题； 对于选项C：相等的角不一定是对顶角，是假命题； 对于选项D：正确结论应为“两点之间，线段最短”，原命题表述错误，是假命题． 4．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的解的含义，把代入即可得到答案. 【详解】解：∵是关于和的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故选：C 5．在一场足球训练赛中，小亮首发出场担任左后卫，站在图中点A的位置．若以中场线所在直线为x轴，垂直于中场线过中圈圆心的直线为y轴建立平面直角坐标系，点A所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：根据平面直角坐标系内点的位置确定小亮所在的象限是：第三象限． 6．在“古代计量工具复原”的跨学科实践活动中，同学们复刻了简易天平．如图，初始时，左盘放质量为的铜砝码，右盘放质量为的铁砝码，天平左低右高；随后，向左右两盘同时加入一个质量为的陶制砝码，天平仍保持左低右高．这一现象所体现的数学原理是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据天平左低右高可知左边质量大于右边质量，即；向两盘同时加入质量为的砝码后，天平状态不变，说明两边同时加上后不等关系依然成立，据此判断即可； 【详解】解：初始时天平左低右高，左盘质量为，右盘质量为， ， 向左右两盘同时加入一个质量为的陶制砝码，天平仍保持左低右高， 左盘总质量大于右盘总质量，即， 这一现象体现的数学原理是：不等式两边加同一个数，不等号的方向不变，即若，则． 7．伴随人工智能与机器人技术高速迭代，具身机器人现已具备高精度全身肢体协同能力，在弓步姿态下如图1，仍能够保证手臂与大腿精准平行，图2是其示意图，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得． 8．小阳有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框，那新选的木条的长度可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设新选木条的长度为，根据三边关系求出，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：设新选木条的长度为，根据三角形三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∵已有两边长度分别为和， ∴， 化简得， 对比选项，只有满足该范围． 9．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将点向右平移6个单位长度，横坐标为，再向下平移4个单位长度，纵坐标为，即点的坐标为． 10．如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（     ） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 【答案】C 【分析】计算出大正方形的面积，从而得出大正方形的边长，再进一步估算即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积都为1， ∴大正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共5分． 11．计算：______． 【答案】 【详解】解：. 12．为了检验学生对防溺水“七不两会”的掌握情况，某学校从全校名学生中随机抽取名学生进行调查，该问题中样本容量是________． 【答案】200 【详解】解：根据统计相关概念，样本容量是指样本中包含的个体数量， ∵从全校名学生中随机抽取名学生进行调查， 因此样本容量为． 13．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【详解】原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 14．的平方根是______． 【答案】 【分析】先计算出的值，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：∵， ∴的平方根为． 15．如图，是的中线，若，则_____． 【答案】3 【分析】根据三角形的中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． 16．已知关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】解不等式①得，根据不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分列出关于的不等式，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得， 该不等式组无解，即两个不等式的解集无公共部分， ， 解得． 3、 解答题： 17．计算： 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，绝对值，立方根，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先计算各部分，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 18．解方程组： 【答案】 【详解】解：由①②，得 ， 解得， 把代入①，得 ， 解得， ∴这个方程组的解是． 19．解不等式组，并将该不等式组的解集表示在如图所示的数轴上．    【答案】，      【分析】本题考查解一元一次不等式组，准确求解是关键，还要能在数轴上表示解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为，将解集表示在数轴上如图所示：    20．如图，在平面直角坐标系中有三个点，，，向右平移6个单位，向上平移2个单位后得到． (1)画出平移后的； (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析； (2)的面积为． 【分析】（1）利用坐标系平移性质即可画图求解； （2）利用“割补法”求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，分别将点、、向右平移6个单位，向上平移2个单位，得到点、、，顺次连接，即为所求． （2）解：． 21．长沙作为中国中部地区的文化和旅游中心，近年来也逐渐成为了旅游的热门城市．某校组织学生去长沙进行研学，对研学的同学进行“我最喜欢的长沙景点”调查活动，从长沙的五个景点（A 湖南博物院，B 岳麓山，C橘子洲，D 五一广场，E梅溪湖国际文化艺术中心）中选出自己最喜欢的一个景点，将调查问卷整理后绘制成如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据所给信息解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名学生； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中“B 岳麓山”所在扇形的圆心角度数为______； (4)若该学校共有2000名学生，根据调查估计全校喜欢“A 湖南博物院”的人数是多少？ 【答案】(1)100 (2) 则补全条形统计图如下： ． (3)72 (4)200名 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用最喜欢的人数除以其所占的百分比即可得； （2）先求出最喜欢景点的人数，再补全条形统计图即可得； （3）利用乘以最喜欢的人数所占的百分比即可得； （4）利用该校的学生总人数乘以最喜欢的人数所占的百分比即可得． 【详解】（1）解：本次调查共抽取学生人数为（名）， 故答案为：100． （2）解：最喜欢景点的人数为（名）， （3）解：， 即扇形统计图中“岳麓山”所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：72． （4）解：（名）， 答：估计全校喜欢“湖南博物院”的人数是200名． 22．长沙于2011年首次获评全国文明城市，截至2025年，长沙保持全国文明城市称号已有14年，在此期间，长沙持续推进文明城市建设工作，不断巩固和提升文明城市创建成果．我校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者，如果购买A种20件，B种15件，共需380元，如果购买A种15件，B种10件，共需260元． (1)、B两种奖品每件各多少元？ (2)现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最少购买多少件？ 【答案】(1)每件A种奖品4元，每件B种奖品20元 (2)A种奖品最少购买69件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每件A种奖品x元，每件B种奖品y元，根据“购买A种20件，B种15件，共需380元，如果购买A种15件，B种10件，共需260元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A种奖品购买m件，则B种奖品购买件，利用总价单价数量，结合总价不超过900元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件A种奖品x元，每件B种奖品y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每件A种奖品4元，每件B种奖品20元； （2）解：设A种奖品购买m件，则B种奖品购买件， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为69． 答：A种奖品最少购买69件． 23．如图，，平分，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）求出根据平行线的判定得出即可； （2）根据角平分线的定义得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （3）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出， ，求出，根据三角形的内角和定理得出即可． 【详解】（1）∵， ， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 24．定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“交互方程”，例如：“交互方程”为． (1)求方程与它的“交互方程”组成的方程组的解； (2)已知整数，，且满足，并且是关于的二元一次方程的“交互方程”，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“交互方程”的定义得到方程组，进而求解即可； （2）根据“交互方程”的定义得到，可知，求出，根据是整数作答即可； 【详解】（1）解：根据“交互方程”的定义，方程的交互方程为， 联立得方程组， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 即方程组的解为； （2）解：由交互方程的定义可得， 整理得：， 已知， 代入得， 解得：， ∵是整数， ∴； 25．在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求三角形的面积； (2)如图，将点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若三角形与三角形的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当三角形的面积为8时，求出点的坐标． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性即可得解； （2）连接，由三角形与三角形的面积相等，可得，用割补法可求得，即，从而可得点的坐标； （3）分两种情况讨论，易得，因此，设，根据三角形的面积为8，用割补法分别列出方程即可． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ，， ； （2）解：如图，连接、作轴，轴，交于点E， 由（1）知，，， 点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点Q在第三象限时，如图构造长方形， 设运动时间为t秒， ，， ，即， ， 设， ， 解得， ， ②当点Q在第一象限时，如图构造长方形， ，即， ， 设， ， 解得， ， 综上所述，点的坐标为或． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：七年级下册全部内容 +部分三角形基础知识 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．在实数，，，中，无理数是（     ） A．3.14 B． C． D． 2．在下列调查方式中，适合全面调查的是（     ） A．了解一批节能灯管的使用寿命 B．了解“嫦娥六号”月球探测器的零部件质量 C．了解全国中小学生的视力情况 D．某池塘中现有鱼的数量 3．下列命题中，真命题是（     ） A．内错角相等 B．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．相等的角是对顶角 D．两点之间，垂线段最短 4．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 5．在一场足球训练赛中，小亮首发出场担任左后卫，站在图中点A的位置．若以中场线所在直线为x轴，垂直于中场线过中圈圆心的直线为y轴建立平面直角坐标系，点A所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在“古代计量工具复原”的跨学科实践活动中，同学们复刻了简易天平．如图，初始时，左盘放质量为的铜砝码，右盘放质量为的铁砝码，天平左低右高；随后，向左右两盘同时加入一个质量为的陶制砝码，天平仍保持左低右高．这一现象所体现的数学原理是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．伴随人工智能与机器人技术高速迭代，具身机器人现已具备高精度全身肢体协同能力，在弓步姿态下如图1，仍能够保证手臂与大腿精准平行，图2是其示意图，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．小阳有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框，那新选的木条的长度可以为（     ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 10．如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（     ） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．计算：______． 12．为了检验学生对防溺水“七不两会”的掌握情况，某学校从全校名学生中随机抽取名学生进行调查，该问题中样本容量是________． 13．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 14．的平方根是______． 15．如图，是的中线，若，则_____． 16．已知关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是________． 3、 解答题：本大题共 9 小题，共计 72 分；其中第 17、18、19 题每题 6 分，第 20、21、22 题每题 8 分，第 23、24、25 题 10 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． 计算： 18． 解方程组： 19．解不等式组，并将该不等式组的解集表示在如图所示的数轴上．           20．如图，在平面直角坐标系中有三个点，，，向右平移6个单位，向上平移2个单位后得到． (1)画出平移后的； (2)求的面积． 21．长沙作为中国中部地区的文化和旅游中心，近年来也逐渐成为了旅游的热门城市．某校组织学生去长沙进行研学，对研学的同学进行“我最喜欢的长沙景点”调查活动，从长沙的五个景点（A 湖南博物院，B 岳麓山，C橘子洲，D 五一广场，E梅溪湖国际文化艺术中心）中选出自己最喜欢的一个景点，将调查问卷整理后绘制成如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据所给信息解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名学生； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中“B 岳麓山”所在扇形的圆心角度数为______； (4)若该学校共有2000名学生，根据调查估计全校喜欢“A 湖南博物院”的人数是多少？ 22．长沙于2011年首次获评全国文明城市，截至2025年，长沙保持全国文明城市称号已有14年，在此期间，长沙持续推进文明城市建设工作，不断巩固和提升文明城市创建成果．我校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者，如果购买A种20件，B种15件，共需380元，如果购买A种15件，B种10件，共需260元． (1)、B两种奖品每件各多少元？ (2)现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最少购买多少件？ 23．如图，，平分，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若平分，求证：． 24．定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“交互方程”，例如：“交互方程”为． (1)求方程与它的“交互方程”组成的方程组的解； (2)已知整数，，且满足，并且是关于的二元一次方程的“交互方程”，求的值； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“交互方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 25．在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求三角形的面积； (2)如图，将点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若三角形与三角形的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当三角形的面积为8时，求出点的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季八年级开学学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 45 4 破。 6 5. 正确填涂 678 456789 23456789 12345678 789 23456789 123456789 123456789 123456789 123456789 缺考标记 一、 选择题（每小题3分，共30分) 1.A][B][C][D] 5.[A][B][C][DJ 9.[A][B][C][D] 艾南 2-A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4,A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11 12 警 13. 14. 妇 15. 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤) 17.(6分)计算：4+3+-8 18.(6分) 19.(6分) -5-4-3-2-1012345 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 3 5-4-3-2-1 .12.345六 ) 21.(8分) 条形统计图 扇形统计图 人数/名 40 30 25 C 20 20 25% E 10 10 D 0 A BCDE豪点 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 23.(10分) E A D 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) y y B B D O 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）: : : : : 2026年秋季八年级开学学情自测卷 数学 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) : : 注意事项： : 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 . 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：七年级下册全部内容+部分三角形基础知识 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 : 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上. > 1. ·: 在实数3.14,6,4,5中，无理数是（) A.3.14 B.6 C.√4 D.5 2.在下列调查方式中，适合全面调查的是() A.了解一批节能灯管的使用寿命 B.了解“嫦娥六号”月球探测器的零部件质量 O C.了解全国中小学生的视力情况 D.某池塘中现有鱼的数量 3.下列命题中，真命题是() : A.内错角相等 B.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C.相等的角是对顶角 D.两点之间，垂线段最短 x=1 4.若 y=2 是关于x和y的二元一次方程x+y=1的解，则a的值是() : : A.-3 B.1 C.-1 D.3 O 5.在一场足球训练赛中，小亮首发出场担任左后卫，站在图中点A的位置.若以中场线所 在直线为x轴，垂直于中场线过中圈圆心的直线为y轴建立平面直角坐标系，点A所在的 象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 的 6.在“古代计量工具复原”的跨学科实践活动中，同学们复刻了简易天平.如图，初始时，左盘放质量为αg : 的铜砝码，右盘放质量为bg的铁砝码，天平左低右高；随后，向左右两盘同时加入一个质量为Cg的陶制 : : 砝码，天平仍保持左低右高.这一现象所体现的数学原理是() : 试题第1页（共8页） : : 6学科网·上好课 633 ag ag)cg A.若a>b,则a+c>bc B.若a>b,则a+c>b+c C.若a>b,则ac>bc D.若a>b,则4>b 7.伴随人工智能与机器人技术高速迭代，具身机器人现已具备高精度全身肢体 协同能力，在弓步姿态下如图1，仍能够保证手臂与大腿精准平行，图2是其示 意图，AB∥EF,∠BDE=100°，则∠DEF的度数为() 方 A.609 B.70° C.80° D.100° 8.小阳有两根长度分别为5cm和11cm的木条，她想钉一个三角形木框，那新选的木条的长度可以为() A.3cm B.5cm C.12cm D.17cm 9.在平面直角坐标系中，将点B(-3,2)向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点A重合， 则点A的坐标是() A.(3,-2) B.（-9,6) c.（-9,-2) D.(3,6) 10.如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线)剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将 这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在() ☑ A.0和0.5之间B.0.5和1之间 C.1和1.5之间 D.1.5和2之间 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.计算：√5= 12.为了检验学生对防溺水“七不两会”的掌握情况，某学校从全校3000名学生中随机抽取200名学生进行 调查，该问题中样本容量是 13.把命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式一· 14.√4的平方根是 15.如图，AD是△ABC的中线，若S△Bc=6,则S4cD= xs-m-1无解，则m的取值范围是 2x-3≥x 16.已知关于x的一元一次不等式组 试题第2页（共8页） 6学科网·上好课 三、解答题：本大题共9小题，共计72分；其中第17、18、19题每题6分，第20、21、22题每题8 分，第23、24、25题10分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.计算：V4+-3到+-8 2.x+y=4① 18.解方程组： 5x-3y=-1② 3x+2≥x 19. 解不等式组 2x-1>x-2 并将该不等式组的解集表示在如图所示的数轴上. 3 -5-4-3 -2-1 01 2345 4 20.如图，在平面直角坐标系中有三个点A(-3,2),B(-5,1),C(-2,0),△ABC 向右平移6个单位，向上平移2个单位后得到△4C. 219 1.2.345x (1)画出平移后的△4B,C: (2)求△ABC的面积. 21.长沙作为中国中部地区的文化和旅游中心，近年来也逐渐成为了旅游的热门城市.某校组织学生去长 沙进行研学，对研学的同学进行“我最喜欢的长沙景点”调查活动，从长沙的五个景点(A湖南博物院，B岳 麓山，C橘子洲，D五一广场，E梅溪湖国际文化艺术中心)中选出自己最喜欢的一个景点，将调查问卷 整理后绘制成如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图. 条形统计图 扇形统计图 人数/名 40 304 25 C 20 20-- 25% E 10 10 0 A B CDE景点 根据所给信息解答下列问题： (1)本次调查共抽取了名学生： (2)请补全条形统计图： (3)扇形统计图中“B岳麓山”所在扇形的圆心角度数为_°： (4)若该学校共有2000名学生，根据调查估计全校喜欢“A湖南博物院"的人数是多少？ 试题第3页（共8页） 22.长沙于2011年首次获评全国文明城市，截至2025年，长沙保持全国文明城市称号已有14年，在此 期间，长沙持续推进文明城市建设工作，不断巩固和提升文明城市创建成果.我校拟举办“创文知识”抢答 O 赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者，如果购买A种20件，B种15件，共需380元，如果购买A种 15件，B种10件，共需260元. (1)A、B两种奖品每件各多少元？ (2)现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最少购买多少件？ 兵 23.如图，∠ADE+∠BCF=180°，BE平分∠ABC,∠ABC=2∠E. (1)求证：AD∥BC; (2)求证：AB∥EF: 张 (3)若AF平分∠BAD,求证：∠E+∠F=90°. 24.定义：关于x,y的二元一次方程ax+y=c(其中a,b,c互不相等)中的常数项c与未知数x的系数a互 换，得到的方程叫"交互方程”，例如：+by=c“交互方程”为cx+y=a. 数 游 (1)求方程x+3y=4与它的“交互方程”组成的方程组的解： : (2)已知整数m,n,t且t满足2<t<10,并且(6m-t)x+2026y=m+t是关于x,y的二元一次方程 (1+n)x+2026y=2m+2的“交互方程”，求m的值； O (3)已知关于x,y的二元一次方程ar+by=c的系数满足a+b+c=0,且+by=c与它的“交互方程"组成的 方程组的解恰好是关于x,y的二元一次方程r+y=P的一个解，求代数式(m+nm)m-p(n+p)+2026的 值. 25.在平面直角坐标系中，点A(a,0),B(0,b),a,b满足Vb-4+a-2=0. B 性 B D O A (1)求三角形ABO的面积： (2)如图，将点A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点C,点D在x轴上且位于点A左侧，连接 CD交AB于点P,连接BC,若三角形PBC与三角形PAD的面积相等，求点D的坐标； (3)动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向下运动，动点N从点A出发以每秒1个单位长度 的速度沿x轴向左运动，点M,N同时出发，直线AM,BN交于点Q,在整个运动过程中，当三角形ABQ 的面积为8时，求出点2的坐标. 试题第4页（共8页）