第二章 综合与实践 进位制的认识与探究 同步提升 2025-2026学年人教版数学七年级上册

答案与解析 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A D D D B 1．日常生活中我们使用的数是十进制数．而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101记为11012，11012通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿照上面的转换方法，将二进制数1012转换为十进制数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解：将二进制数1012转换为十进制数为： ． 故选：C． 2．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干个2n数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制1025是二进制下的（　　） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 解：∵211＝2148，210＝1024， ∴最高位应是1×210， 故共有10+1＝11位数． 故选：B． 3．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（　　） A．34 B．194 C．1234 D．6154 解：1×53+2×52+3×5+4＝194． 故选：B． 4．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： 22＝1×24+0×23+1×22+1×21+0×20＝101102． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： 22＝2×32+1×31+1×30＝2113． 将二进制数10112化为三进制数为（　　） A．1023 B．1013 C．1103 D．123 解：将二进制数10112化为十进制数为1×23+0×22+1×21+1×20＝11， ∵11＝1×32+0×31+2×30， ∴将二进制数10112化为三进制数为1023， 故选：A． 5．在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和微处理器设备中．现用二进制记数法表示正整数，例如：3＝2+1＝1×21+1×20，记作3＝（11）2，12＝8+4＝1×23+1×22+0×21+0×20，记作12＝（1100）2，八进制记数法表示正整数，例如：83＝64+16+3＝1×82+2×81+3×80，记作83＝（123）8．则（1011101）2等于八进制中的数为（　　） A．35 B．82 C．83 D．135 解：（1011101）2化为1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20＝64+0+16+8+4+0+1＝93， 则93＝64+24+5＝1×82+3×81+5×80， 那么（1011101）2等于八进制中的数为135， 故选：D． 6．区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1～12，另一只手用五根手指表示1～5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是 12+8＝20．若当其左手伸出两根手指，右手大拇指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是（　　） A．7 B．25 C．21 D．29 解：由题意得， 12×2+5 ＝24+5， ＝29， ∴表示的十进制数字是29， 故选：D． 7．计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0∼9和字母A∼F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示D+E＝1B，用十进制表示也就是13+14＝1×16+11，则用十六进制表示E×F为（　　） A．210 B．2D C．6E D．D2 解：14×15＝210＝13×16+2， 则用十六进制表示E×F为D2， 故选：D． 8．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽 011 3 例如：“艮”卦所表示二进制数为001，转化为十进制数是0×22+0×21+1×20＝1，“巽”卦所表示二进制数为011，转化为十进制数是0×22+1×21+1×20＝3．（规定20＝1）依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是：（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 解：由题意可得， 符号为“”，表示的二进制数为100010， 二进制数为100010转化为十进制数为：1×25+0×24+0×23+0×22+1×21+0×20＝34， 故选：B． 二．填空题（共7小题） 9．计算机是将信息转化成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”将二进制数转化成十进制数，例如：；（；．则将二进制数（1101）2转化成十进制数的结果为　13　 ． 解：由题意可得， ， 即将二进制数（1101）2转化成十进制数的结果为13， 故答案为：13． 10．根据《易经》中的结绳记数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数＝3×72+2×71+6＝147+14+6＝167（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是　73　 天． 解：1×72+3×71+3 ＝49+21+3 ＝70+3 ＝73（天）， 即孩子自出生后的天数是73天， 故答案为：73． 11．如图是第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，十进制数2021表示ICME﹣14的举办年份，而十进制数2024正好是你进入初中的年份，请将十进制数2024换算成八进制数是　3750　 ． 解：根据十进制换算成八进制的方法可得： ∵3×83+7×82+5×81+0×80＝2024， ∴十进制数2024换算成八进制数是3750． 故答案为：3750． 12．我们平常用的是十进制，如：2019＝2×103+0×102+1×101+9，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如：二进制中111＝1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011＝1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么十进制中的21相当于二进制中的　10101　 ． 解：将十进制数21表示为二进制可得：21＝1×24+0×23+1×22+0×2+1×20， ∴21＝（10101）2， 故答案为：10101． 13．计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0∼9和字母A∼F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示D+E＝1B，用十进制表示也就是13+14＝1×16+11，则用十六进制表示B×D＝　8F　 ． 解：∵B×D＝11×13＝143， ∴143÷16＝8……15， ∴用十六进制表示为8F． 故答案为：8F． 14．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，把98转换为二进制数是　1100010　 ，转换为八进制数是　142　 ． 解：根据题意得： ∴二进制数是1100010， ∴八进制数是142， 故答案为：1100010；142． 15．生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×102+1×10+2．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数1A6转换为十进制数为 　422　 ，十六进制下A×B＝ 　6E　 ． 解：1×162+10×16+6 ＝256+160+6 ＝422， 即将十六进制数1A6转换为十进制数为422， A×B在十进制下的数为10×11＝110， ∵110÷16＝6……14， ∴十六进制下A×B＝6E， 故答案为：422；6E． 三．解答题 16．综合与实践生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：212＝2×102+1×101+2×100；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：1×24+0×23+0×22+1×21+0×20＝16+2＝18；（规定：a≠0时，a0＝1）其他进制也有类似的算法… （1）【发现】根据以上信息，将二进制数“101100”转化为十进制数是　44　 ； （2）【迁移】按照上面的格式将八进制数“1346”转化为十进制数； （3）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 解：（1）将二进制数“101100”转化为十进制数可得： 101100＝1×25+0×24+1×23+1×22+0+0＝32+8+4＝44， 故答案为：44． （2）将八进制数“1346”转化为十进制数是： 1×83+3×82+4×81+6×80＝512+192+32+6＝742． （3）孩子已经出生的天数为1×52+3×51+2×50＝25+15+2＝42（天）． 17．第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：（3745）8＝3×83+7×82+4×81+5×80＝（2021）10，表示ICME﹣14的举办年份． （1）把八进制数3751换算成十进制数是 　2025　 ； （2）小聪设计了一个n进制数126，换算成十进制数是105，求n的值． 解：（1）原式＝1536+448+40+1 ＝（2025）10． 故答案为：2025； （2）由题意得，1×n2+2×n1+6×n0＝105， n2+2n﹣99＝0， 解得：n1＝9，n2＝﹣11（舍去）， ∴n的值为9． 18．同学们以课本中的“进位制的认识与探究”为主题，开展了综合实践活动，请你解答如下的题：（备注：八卦中称为阳爻，称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，本题中每卦均由一个二进制的数来表示，其中阳爻对应数字1，阴爻对应数字0，如图2中的左起第一个卦表示的二进制数为（011）2． （1）图2中的左起第二、三、四个卦表示的二进制数分别为　（111）2　 ，　（100）2　 ，　（101）2　 ； （2）将图2中的四个二进制数分别转换为八进制数分别为　3　 ，　7　 ，　4　 ，　5　 ； （3）将八进制数（3745）8转换为十进制数为　2021　 ； （4）把十进制的数89写成八进制的数为　131　 ． 解：（1）由题意得，二进制数分别为（111）2，（100）2，（101）2， 故答案为：（111）2，（100）2，（101）2； （2）（011）2用十进制表示为0×22+1×21+1×20＝0+2+1＝3， ∴（011）2＝（3）8； （111）2用十进制表示为1×22+1×21+1×20＝4+2+1＝7， ∴（111）2＝（7）8； （100）2用十进制表示为1×22+0×21+0×20＝4+0+0＝4， ∴（100）2＝（4）8； （101）2用十进制表示为1×22+0×21+1×20＝4+0+1＝5， ∴（101）2＝（5）8； 故答案为：3；7；4；5； （3）根据八进制的数写成十进制的法则可知： （3745）8用十进制表示为3×83+7×82+4×81+5×80＝2021， 故答案为：2021； （4）根据十进制的数写成八进制的法则可知： ∵89＝1×64+1×24+1＝1×82+3×81+1×80， ∴（89）10＝（131）8， 故答案为：131． 19． 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n﹣1）进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标） 素材1 十进制数234＝2×102+3×101+4×100，记作：234． 七进制数123（7）＝1×72+2×71+3×70，记作：123（7）． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数 素材2 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算规则如下： 加法：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1＝10（2）． 减法：0﹣0＝0，1﹣0＝1，1﹣1＝0，10（2）﹣1＝1（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1 探究不同进位制的数之间的转换 ①将七进制数243（7）转化成十进制数的值为多少？ ②将十进制数22转化成二进制数的值为多少？ ③如果一个十进制两位数交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数，如果原数减去新数所得的差为18，那么我们称这样的数为“青春数”，问是否存在这样的“青春数”使得该数转化成六进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数？若存在，请求出这样的“青春数”；若不存在，请说明理由 任务2 探究进位制数的加法运算 ①10110（2）+1101（2）＝　35　 ； ②110101（2）+11110（2）＝　83　 ． 解：（1）①根据题意， 得243（7）＝2×72+4×71+3×70＝98+28+3＝129； ②根据题意得，22＝10110（2）； ③∵是“青春数”， ∴（10x+y）﹣（10y+x）＝18， ∴y＝x﹣2， ∵该数转化成六进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数， ∴36a+6a+a＝10x+y， ∴43a＝11x﹣2， ∴x＝4a+， ∵0≤a≤6，2≤x≤9，a、x均为整数， ∴a＝2，x＝8， ∴y＝8﹣2＝6， ∴10x+y＝86． 故存在，这样的“青春数”为86． （2）①10110（2）＝1×24+0×23+1×22+1×21+0×20＝22；1101（2＝1×23+1×22+0×21+1×20＝13； 则10110（2）+1101（2）＝35； ②110101（2）+11110（2）＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+1×24+1×23+1×22+1×21+0×20＝83； 故答案为：①35；②83． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/8 12:02:27；用户：王妍；邮箱：18068992688；学号：38112000 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 综合与实践 进位制的认识与探究 同步提升 一．选择题 1．日常生活中我们使用的数是十进制数．而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101记为11012，11012通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿照上面的转换方法，将二进制数1012转换为十进制数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干个2n数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制1025是二进制下的（　　） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 3．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（　　） A．34 B．194 C．1234 D．6154 4．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： 22＝1×24+0×23+1×22+1×21+0×20＝101102． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： 22＝2×32+1×31+1×30＝2113． 将二进制数10112化为三进制数为（　　） A．1023 B．1013 C．1103 D．123 5．在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和微处理器设备中．现用二进制记数法表示正整数，例如：3＝2+1＝1×21+1×20，记作3＝（11）2，12＝8+4＝1×23+1×22+0×21+0×20，记作12＝（1100）2，八进制记数法表示正整数，例如：83＝64+16+3＝1×82+2×81+3×80，记作83＝（123）8．则（1011101）2等于八进制中的数为（　　） A．35 B．82 C．83 D．135 6．区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1～12，另一只手用五根手指表示1～5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是 12+8＝20．若当其左手伸出两根手指，右手大拇指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是（　　） A．7 B．25 C．21 D．29 7．计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0∼9和字母A∼F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示D+E＝1B，用十进制表示也就是13+14＝1×16+11，则用十六进制表示E×F为（　　） A．210 B．2D C．6E D．D2 8．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽 011 3 例如：“艮”卦所表示二进制数为001，转化为十进制数是0×22+0×21+1×20＝1，“巽”卦所表示二进制数为011，转化为十进制数是0×22+1×21+1×20＝3．（规定20＝1）依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是：（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 二．填空题 9．计算机是将信息转化成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”将二进制数转化成十进制数，例如：；（；．则将二进制数（1101）2转化成十进制数的结果为　 　 ． 10．根据《易经》中的结绳记数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数＝3×72+2×71+6＝147+14+6＝167（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是　 　 天． 11．如图是第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，十进制数2021表示ICME﹣14的举办年份，而十进制数2024正好是你进入初中的年份，请将十进制数2024换算成八进制数是　 　 ． 12．我们平常用的是十进制，如：2019＝2×103+0×102+1×101+9，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如：二进制中111＝1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011＝1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么十进制中的21相当于二进制中的　 　 ． 13．计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0∼9和字母A∼F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示D+E＝1B，用十进制表示也就是13+14＝1×16+11，则用十六进制表示B×D＝　 　 ． 14．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，把98转换为二进制数是　 　 ，转换为八进制数是　 　 ． 15．生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×102+1×10+2．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数1A6转换为十进制数为 　 　 ，十六进制下A×B＝ 　 　 ． 三．解答题 16．综合与实践生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：212＝2×102+1×101+2×100；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：1×24+0×23+0×22+1×21+0×20＝16+2＝18；（规定：a≠0时，a0＝1）其他进制也有类似的算法… （1）【发现】根据以上信息，将二进制数“101100”转化为十进制数是　 　 ； （2）【迁移】按照上面的格式将八进制数“1346”转化为十进制数； （3）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 17．第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：（3745）8＝3×83+7×82+4×81+5×80＝（2021）10，表示ICME﹣14的举办年份． （1）把八进制数3751换算成十进制数是 　 　 ； （2）小聪设计了一个n进制数126，换算成十进制数是105，求n的值． 18．同学们以课本中的“进位制的认识与探究”为主题，开展了综合实践活动，请你解答如下的题：（备注：八卦中称为阳爻，称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，本题中每卦均由一个二进制的数来表示，其中阳爻对应数字1，阴爻对应数字0，如图2中的左起第一个卦表示的二进制数为（011）2． （1）图2中的左起第二、三、四个卦表示的二进制数分别为　 　 ，　 　 ，　 　 ； （2）将图2中的四个二进制数分别转换为八进制数分别为　 　 ，　 　 ，　 　 ，　 　 ； （3）将八进制数（3745）8转换为十进制数为　 　 ； （4）把十进制的数89写成八进制的数为　 　 ． 19． 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n﹣1）进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标） 素材1 十进制数234＝2×102+3×101+4×100，记作：234． 七进制数123（7）＝1×72+2×71+3×70，记作：123（7）． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数 素材2 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算规则如下： 加法：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1＝10（2）． 减法：0﹣0＝0，1﹣0＝1，1﹣1＝0，10（2）﹣1＝1（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1 探究不同进位制的数之间的转换 ①将七进制数243（7）转化成十进制数的值为多少？ ②将十进制数22转化成二进制数的值为多少？ ③如果一个十进制两位数交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数，如果原数减去新数所得的差为18，那么我们称这样的数为“青春数”，问是否存在这样的“青春数”使得该数转化成六进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数？若存在，请求出这样的“青春数”；若不存在，请说明理由 任务2 探究进位制数的加法运算 ①10110（2）+1101（2）＝　 　 ； ②110101（2）+11110（2）＝　 　 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 7页） 第二章 综合与实践 进位制的认识与探究 同步提升 一．选择题 1．日常生活中我们使用的数是十进制数．而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．二 进制数只使用数字 0，1，如二进制数 1101记为 11012，11012通过式子 1×23+1×22+0×2+1可以转换 为十进制数 13，仿照上面的转换方法，将二进制数 1012转换为十进制数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码 0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若 干个 2n数的和，依次写出 1或 0即可．如 19(10) = 16 + 2 + 1 = 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 = 10011(2)为二进制下的五位数，则十进制 1025是二进制下的（ ） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 3．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图， 一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为 （ ） A．34 B．194 C．1234 D．6154 4．2025年 5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片 在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为 0，1．十进制数 22化为二进制数： 22＝1×24+0×23+1×22+1×21+0×20＝101102． 传统三进制数的组成数字为 0，1，2．十进制数 22化为三进制数： 22＝2×32+1×31+1×30＝2113． 将二进制数 10112化为三进制数为（ ） A．1023 B．1013 C．1103 D．123 5．在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯 片编程和微处理器设备中．现用二进制记数法表示正整数，例如：3＝2+1＝1×21+1×20，记作 3＝（11） 2，12＝8+4＝1×23+1×22+0×21+0×20，记作 12＝（1100）2，八进制记数法表示正整数，例如：83＝ 64+16+3＝1×82+2×81+3×80，记作 83＝（123）8．则（1011101）2等于八进制中的数为（ ） 第 2页（共 7页） A．35 B．82 C．83 D．135 6．区别于十进制，古巴比伦使用的是 60进制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手 4根手指的 12 个指关节表示 1～12，另一只手用五根手指表示 1～5 倍．如当古巴比伦人左手伸出 1根手指，右手掐 住第八指关节时，表示的数是 12+8＝20．若当其左手伸出两根手指，右手大拇指掐中第五指关节时， 表示的十进制数字是（ ） A．7 B．25 C．21 D．29 7．计算机中常用的十六进制是一种逢 16进 1的计数制，采用数字 0∼ 9和字母 A∼ F共 16个计数符号， 这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十 六 进 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十 进 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示 D+E＝1B，用十进制表示也就是 13+14＝1×16+11，则用十六进制表示 E×F为 （ ） A．210 B．2D C．6E D．D2 8．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中 华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻 “ ”当作数字“1”，把阴爻“ ”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 第 3页（共 7页） 艮 001 1 坎 010 2 巽 011 3 例如：“艮”卦所表示二进制数为 001，转化为十进制数是 0×22+0×21+1×20＝1，“巽”卦所表示二进 制数为 011，转化为十进制数是 0×22+1×21+1×20＝3．（规定 20＝1）依次类推，则六十四卦中的“屯” 卦，符号为“ ”，其表示的十进制数是：（ ） A．33 B．34 C．35 D．36 二．填空题 9．计算机是将信息转化成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”将二进制数转化成十进制数，例如： (1)2 = 1 × 20 = 1；（10)2 = 1 × 21 + 0 × 20 = 2；(101)2 = 1 × 22 + 0 × 2 + 1 × 20 = 5．则将二进制数 （1101）2转化成十进制数的结果为 ． 10．根据《易经》中的结绳记数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如 图 1，孩子出生后的天数＝3×72+2×71+6＝147+14+6＝167（天）．请根据图 2，计算孩子自出生后的天 数是 天． 11．如图是第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符 号写出的八进制数3745．八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：3×83+7×82+4×81+5×80＝2021， 十进制数 2021表示 ICME﹣14的举办年份，而十进制数 2024正好是你进入初中的年份，请将十进制数 2024换算成八进制数是 ． 第 4页（共 7页） 12．我们平常用的是十进制，如：2019＝2×103+0×102+1×101+9，表示十进制的数要用 10个数码：0，1， 2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如：二进制中 111＝1× 22+1×21+1相当于十进制中的 7，又如：11011＝1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的 27．那 么十进制中的 21相当于二进制中的 ． 13．计算机中常用的十六进制是一种逢 16进 1的计数制，采用数字 0∼ 9和字母 A∼ F共 16个计数符号， 这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十 六 进 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十 进 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示 D+E＝1B，用十进制表示也就是 13+14＝1×16+11，则用十六进制表示 B×D ＝ ． 14．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进 制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用 的是十进制，把 98转换为二进制数是 ，转换为八进制数是 ． 15．生活中常用的十进制是用 0～9 这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×102+1 ×10+2．计算机中常用的十六进制是逢 16进 1的计数制，采用数字 0～9 和字母 A～F共 16个计数符 号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数 1A6转换为十进制数为 ，十六进制下 A×B＝ ． 三．解答题 16．综合与实践生活中常用的十进制是用 0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：212＝2×102+1×101+2 ×100；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用 0和 1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数 10010转化为十进制数：1×24+0×23+0×22+1×21+0×20＝16+2＝18；（规定：a≠0时，a0＝1）其他进 第 5页（共 7页） 制也有类似的算法… （1）【发现】根据以上信息，将二进制数“101100”转化为十进制数是 ； （2）【迁移】按照上面的格式将八进制数“1346”转化为十进制数； （3）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古 时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示， 求孩子已经出生的天数． 17．第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数 学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数 3745．八进制是以 8作为 进位基数的数字系统，有 0～7共 8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：（3745）8＝3×83+7×82+4 ×81+5×80＝（2021）10，表示 ICME﹣14的举办年份． （1）把八进制数 3751换算成十进制数是 ； （2）小聪设计了一个 n进制数 126，换算成十进制数是 105，求 n的值． 第 6页（共 7页） 18．同学们以课本中的“进位制的认识与探究”为主题，开展了综合实践活动，请你解答如下的题：（备 注：八卦中 称为阳爻， 称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，本题中每卦均由 一个二进制的数来表示，其中阳爻对应数字 1，阴爻对应数字 0，如图 2中的左起第一个卦表示的二进 制数为（011）2． （ 1 ） 图 2 中 的 左 起 第 二 、 三 、 四 个 卦 表 示 的 二 进 制 数 分 别 为 ， ， ； （2）将图 2中的四个二进制数分别转换为八进制数分别为 ， ， ， ； （3）将八进制数（3745）8转换为十进制数为 ； （4）把十进制的数 89写成八进制的数为 ． 19． 活动 名称 进位制的认识与探究 背景 材料 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基 数，基数为 n，即可称 n进位制，简称 n进制．对于任意一个用 n进位制表示的数，通常使用 n 个阿拉伯数字 0～（n﹣1）进行计数，特点是逢 n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制 数不用标角标，其他要标角标） 素材 1 十进制数 234＝2×102+3×101+4×100，记作：234． 七进制数 123（7）＝1×72+2×71+3×70，记作：123（7）． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数 字，依次乘 7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数 第 7页（共 7页） 素材 2 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以 7，然后将商继续除以 7，直到商为 1， 将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： 素材 3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码 0，1，2， 3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码 0和 1，满二进一． 二进制的四则运算规则如下： 加法：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1＝10（2）． 减法：0﹣0＝0，1﹣0＝1，1﹣1＝0，10（2）﹣1＝1（同一数位不够减时，向高一位借 1当 2） 解决问题 任务 1 探究不同进位制的数之间的转换 ①将七进制数 243（7）转化成十进制数的值为多 少？ ②将十进制数 22转化成二进制数的值为多少？ ③如果一个十进制两位数��交换其个位上的数与 十位上的数后得到一个新数，如果原数减去新数所 得的差为 18，那么我们称这样的数为“青春数”， 问是否存在这样的“青春数”使得该数转化成六进 制数后是一个各数位上的数字全都为 a 的三位 数？若存在，请求出这样的“青春数”；若不存在， 请说明理由 任务 2 探究进位制数的加法运算 ①10110（2）+1101（2）＝ ； ②110101（2）+11110（2）＝ ．