19.2实数（第2课时无理数）（题型专练）数学沪教版五四制2024八年级上册

19.3 第2课时 无理数 题型一、无理数的判断 1．下列实数中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． 2．下列各数中是无理数的是（　　） A． B． C．3.1415926 D． 3．下列实数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 题型二、无理数的概念理解 4．下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 5．下列结论正确的是（        ） A．无限小数是无理数 B．带根号的数是无理数 C．循环小数是实数 D．一个正数的n次方根有n个 6．下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 7．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数 C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数 题型三、用计算器计算实数 8．用计算器计算的值大约为（   ） A．3.0482 B．3.0495 C．3.0513 D．3.0525 9．用计算器计算（结果精确到0.01）： （1） ； （2） ． 10．用计算器计算（结果精确到）： （1） ； （2） ． 11．利用计算器计算下列各题： （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________； （5）___________； 猜想：（6）___________（用含n的式子表示）． 题型一、无理数的大小估算 12．已知是连续的正整数，，则 ． 13．写出在与之间的一个有理数，这个数可以是 （只需填写一个）． 14．比较大小： （填“＞”，“＝”，“＜”）． 15．已知，，则 （精确到0.01）． 16．比较大小： ． 17．学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（    ） A．3米和4米之间 B．4米和5米之间 C．5米和6米之间 D．6米和7米之间 18．在引入无理数的时候，我们把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形，类似的，若正方形的边长为长为，则下列说法中正确的有（    ） ①可以用数轴上的一个点来表示； ②； ③； ④； ⑤是有理数．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二、无理数的整数部分和小数部分有关计算 19．的整数部分是 ． 20．的小数部分是 ． 21．若的整数部分是，小数部分是，则 ． 22．若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 23．已知是实数，且，求的整数部分． 1． [定义新运算]对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对26进行如下操作：26，即对26进行两次操作后变成2．若对整数进行上 述两次操作后变为4，那么的最大值为 ． 2．[证明方法]在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.3 第2课时 无理数 题型一、无理数的判断 1．下列实数中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】根据无理数的定义可得：无理数是 故选：D． 2．下列各数中是无理数的是（　　） A． B． C．3.1415926 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故不符合题意； B、是无理数，故符合题意； C、3.1415926是小数，属于有理数，故不符合题意； D、是分数，属于有理数，故不符合题意； 故选：B． 3．下列实数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数叫做无理数，掌握其概念是解题的关键．根据无理数的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、，是无理数，符合题意； B、是小数，不符合题意； C、是分数，不符合题意； D、，是整数，不符合题意； 故选：A． 题型二、无理数的概念理解 4．下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【答案】D 【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意； 无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意； 无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意； 无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键． 5．下列结论正确的是（        ） A．无限小数是无理数 B．带根号的数是无理数 C．循环小数是实数 D．一个正数的n次方根有n个 【答案】C 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，以及n次方根的性质判断即可． 【详解】解：A、无限小数不一定是无理数，如，故错误，不合题意； B、带根号的数不一定是无理数，如，故错误，不合题意； C、循环小数是实数，故正确，符合题意； D、一个正数的n次方根有一个或两个，故错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数，无理数的定义．无理数有三个来源：（1）开方开不尽的数；（2）与有关的一些运算；（3）有规律的无限不循环小数． 6．下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【答案】D 【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意； B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意； C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 7．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数 C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数 【答案】A 【分析】无限不循环小数是无理数，无理数和有理数统称实数，根据定义进行逐项判断即可． 【详解】、根据无理数的定义，无理数都是无限小数，故本选项正确； 、有理数不只是有限小数，例如无限循环小数也是有理数，故本选项错误； 、无限小数不一定都是无理数，其中无限循环小数为有理数，故本选项错误； 、实数可以分为正实数和负实数和，故本选项错误； 故选：． 【点睛】此题考查了有理数，无理数，实数的定义，解题的关键在于正确区分各名词的含义． 题型三、用计算器计算实数 8．用计算器计算的值大约为（   ） A．3.0482 B．3.0495 C．3.0513 D．3.0525 【答案】B 【分析】此题主要考查了用计算器求数的立方根，以及四舍五入法求近似值问题的应用，要熟练掌握． 利用计算器计算即可． 【详解】解：， 故答案为：B． 9．用计算器计算（结果精确到0.01）： （1） ； （2） ． 【答案】 4.82 8.02 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）； （2）． 故答案为：4.82，8.02． 10．用计算器计算（结果精确到）： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了计算器运算算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用计算器算出，再运算乘法，最后运算加法，即可作答． （2）先运用计算器算出，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 11．利用计算器计算下列各题： （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________； （5）___________； 猜想：（6）___________（用含n的式子表示）． 【答案】（1）3；（2）6；（3）10；（4）15；（5）21；（6） 【分析】本题考查了平方根及立方的运算中的规律探究问题，解题的关键是通过前五个特殊例子找到一般性规律． （1）利用立方运算及算术平方根运算即可； （2）利用立方运算及算术平方根运算即可； （3）利用立方运算及算术平方根运算即可； （4）利用立方运算及算术平方根运算即可； （5）利用立方运算及算术平方根运算即可； （6）通过前五个计算可发现规律结果为． 【详解】解：（1）， 故答案为：3； （2）， 故答案为：6； （3）， 故答案为：10； （4）， 故答案为：15； （5）， 故答案为：21； 猜想：（6）， 故答案为：． 题型一、无理数的大小估算 12．已知是连续的正整数，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，根据，可得，，代入代数式计算即可求解，由夹逼法求出的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是连续的正整数，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．写出在与之间的一个有理数，这个数可以是 （只需填写一个）． 【答案】答案不唯一，3 【分析】根据无理数的估算，实数大小比较解答即可．本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键． 【详解】∵，， ∴在与之间的一个有理数，可以是3， 故答案为：3． 14．比较大小： （填“＞”，“＝”，“＜”）． 【答案】< 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较被开方数的大小，然后根据两个负数的大小比较即可求解． 【详解】解：∵，， ∵ ∴，即， 故答案为：<． 15．已知，，则 （精确到0.01）． 【答案】 【分析】本题考查了近似数、实数的运算，取、近似值，然后计算． 【详解】 ； 故答案为：． 16．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，估计，的大小即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 则， ∴， 故答案为：． 17．学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（    ） A．3米和4米之间 B．4米和5米之间 C．5米和6米之间 D．6米和7米之间 【答案】B 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用用“夹逼法”求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的面积是20平方米， ∴个正方形的边长为米， ∵， ∴． 故选B． 18．在引入无理数的时候，我们把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形，类似的，若正方形的边长为长为，则下列说法中正确的有（    ） ①可以用数轴上的一个点来表示； ②； ③； ④； ⑤是有理数．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数、实数与数轴、二次根式的性质、无理数的估算，根据题意得出，即可判断③；由为无理数，可以用数轴上的一个点来表示即可判断①⑤；估算出即可判断②，由二次根式的性质即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形， 边长为的正方形的一条对角线的长为， 类似的，若正方形的边长为长为， ，故③正确； 为无理数，可以用数轴上的一个点来表示，故①正确，⑤错误； ，， ，即，故②错误； ， ，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个， 故选：B． 题型二、无理数的整数部分和小数部分有关计算 19．的整数部分是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法求出的取值范围即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是， 故答案为：． 20．的小数部分是 ． 【答案】/ 【分析】由题意易得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，则， ∴， ∴的整数部分是， ∴的小数部分为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 21．若的整数部分是，小数部分是，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算无理数大小要用逼近法．先求出，再用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 根据，确定a和b的值，然后计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分为， ∴ ， 故答案为：． 22．若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即 ∴, ∴， 故答案为：． 23．已知是实数，且，求的整数部分． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和算术平方根，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键； 首先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后代入求出算出平方根，观察分析该结果是介于哪两个相邻的正整数之间，取其较小的整数值为整数部分． 【详解】根据题意得： ， ， ， ， ， 把代入中得 ， ， ， 的整数部分为：2． 1． [定义新运算]对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对26进行如下操作：26，即对26进行两次操作后变成2．若对整数进行上 述两次操作后变为4，那么的最大值为 ． 【答案】624 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小的方法是解题的关键．由的定义为不大于的最大整数，624进行两次操作后变为4，625进行两次操作后变为5，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴对624进行两次操作后可变为4， 又∵，， ∴进行两次操作后可变为4的所以整数中，最大的是624， 即的最大值为624． 故答案为：624． 2．[证明方法]在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 【答案】；；为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾 【分析】仿照题干方法进行证明即可． 【详解】假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：， 所以：，可得：， 所以：， 因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾， 所以：是一个无理数． 【点睛】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$