第03讲 实数的相关概念 暑假预习讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第03讲 实数的相关概念（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：有理数的小数形式 知识点02：无理数 知识点03： 实数与数轴 知识点04：实数的绝对值与大小比较 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：循环小数化分数 题型02：无理数 题型03：无理数的大小估算 题型04：无理数整数部分的有关计算 题型05：实数概念理解 题型06：实数的分类 题型07：实数与数轴 题型08：实数的大小比较 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】有理数的小数形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 有理数必为有限小数或无限循环小数;反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 【知识点02】 无理数 无限不循环小数又叫无理数. 要点归纳： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【知识点03】 实数与数轴 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 2.实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点归纳：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 【知识点04】 实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 【题型01】循环小数化分数 【典例1-1】．循环小数化分数∶ _____． 【答案】 【详解】解：设， 则①， ②， 则由得，， 即， ， 故答案为：． 【变式1-1】求证：． 【答案】见解析 【详解】解：设，则，， 即， ， 解得，． 【变式1-2】将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） （2） （3） （4） 【变式1-3】求证：． 【答案】见解析 【详解】解：设，则， 所以， 所以， 所以． 【题型02】无理数 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、实数的分类 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，有理数包含整数和分数，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵无理数的定义为无限不循环小数，有理数包括整数与分数； A、是无限不循环小数，属于无理数； B、是整数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、是整数，属于有理数． 故选：A． 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在4、、、这四个实数中，是无理数为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数、化为最简二次根式 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数；分别对各数判断是否是无理数即可． 【详解】解：4是整数，属于有理数；，是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；，而是无理数，是无理数． 所以无理数是， 故选：C． 【典例2-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【答案】3 【知识点】无理数、实数的分类、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查有理数的定义，整数与分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，只需逐个判断各数，即可得到有理数的个数，即可求解． 【详解】解： 是有限小数，属于分数，是有理数； 是分数，是有理数； （每两个之间依次多 个 ）是无限不循环小数，是无理数； 中 是无限不循环小数，故是无理数； 是整数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； 综上，有理数共有 个． 【变式2-1】．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查多项式的运算，理解有理数加或减的结果为有理数是解题的关键．由是有理数，则为有理数，再判断选项即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴为有理数， A、∵是无理数， ∴是无理数； B、 ∵，是无理数， ∴是无理数，故整体是无理数； C、∵，是无理数， ∴是无理数，故整体是无理数； D、∵，是有理数， ∴是有理数． 故选：D． 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有__________个． 【答案】3 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可． 【详解】解：是无理数；是有限小数，是有理数；是分数，是有理数；是循环小数，是有理数；是无理数；是无限不循环小数，是无理数． 因此无理数有3个． 故答案为：3． 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海·期中）在实数、、0、、、、、、（位数无限，每两个2之间依次增加一个0）．无理数有________个． 【答案】3 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根 【分析】该题考查了无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断每个实数． 【详解】解：是无理数；是整数，是有理数；0是整数，是有理数；π是无理数；是循环小数，是有理数；是分数，是有理数；是有限小数，是有理数；，是有理数；（位数无限，每两个2之间依次增加一个0）是无限不循环小数，是无理数．因此无理数有3个． 故答案为：3． 【题型03】无理数的大小估算 【典例3-1】．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）一个正方形的面积是5，估计它的边长大小在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，无理数的估算，根据正方形的面积公式求出边长，夹逼法求出无理数的范围即可． 【详解】解：∵正方形的面积是5， ∴它的边长为， ∵， ∴； ∴它的边长大小在2与3之间； 故选A． 【典例3-2】．（25-26八年级上·上海宝山·期中）比较大小（用、、、中的一个符号）：_______________2． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】本题考查了实数大小的比较，解题的关键是掌握实数的大小的比较方法．通过比较平方数的大小关系推断平方根的大小． 【详解】解：因为，且， 所以，即 ； 故答案为． 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的值，确定其范围，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-2】．（25-26八年级上·上海松江·期中）公元3世纪，我国数学家刘徽通过将被开方数化为一个尽可能大的平方数和正整数的和，利用近似公式得到了无理数的近似值．请利用此公式估计：_____． 【答案】5.1 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，根据刘徽的近似公式，将26表示为最大平方数25与1的和，即，，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意，取则， 代入公式，得． 故答案为：5.1． 【变式3-3】．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【答案】(1)分米 (2)不需要继续伸长，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 平方分米的正方形， 正方形的边长为分米， “混天绫”的总长度分米． 答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是分米． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为分米，宽为分米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为分米，宽为分米， 长方形的周长为， ， ， 围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长． 【题型04】无理数整数部分的有关计算 【典例4-1】．（25-26八年级上·上海宝山·期末）若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查的知识点是估算无理数的大小，解题关键是利用不等式的性质确定出的范围． 先由确定 的整数部分和小数部分，再计算． 【详解】解：， ， ， ， 即， 则整数部分，小数部分， ． 故选：． 【变式4-1】．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）已知是两个连续整数，若，则___________． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数整数部分的有关计算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查无理数的估算及算术平方根，熟练掌握无理数的估算及算术平方根是解题的关键；首先估算的取值范围，由于，因此，即，从而确定连续整数，；然后计算，并化简为，然后问题可求解． 【详解】解：因为，所以，即． 由于，是两个连续整数，且， 因此，． 则． 故答案为． 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海·期中）已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出各无理数的整数部分成为解题的关键． 先确定 的整数部分，得到小数部分 ，再求不大于 的最大整数 ，最后计算 ． 【详解】解：， 的整数部分为， ． 又 ， 不大于 的最大整数为 ， 即 ． ． 故答案为：． 【变式4-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算、求一个数的平方根 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 【题型05】实数概念理解 【典例5-1】．（22-23八年级下·上海静安·期中）下列结论正确的是（        ） A．无限小数是无理数 B．带根号的数是无理数 C．循环小数是实数 D．一个正数的n次方根有n个 【答案】C 【知识点】无理数、实数概念理解 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，以及n次方根的性质判断即可． 【详解】解：A、无限小数不一定是无理数，如，故错误，不合题意； B、带根号的数不一定是无理数，如，故错误，不合题意； C、循环小数是实数，故正确，符合题意； D、一个正数的n次方根有一个或两个，故错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数，无理数的定义．无理数有三个来源：（1）开方开不尽的数；（2）与有关的一些运算；（3）有规律的无限不循环小数． 【变式5-1】．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【答案】D 【知识点】无理数、实数概念理解、实数的分类 【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意； 无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意； 无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意； 无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键． 【变式5-2】．（22-23八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：_______________ 【答案】 【知识点】实数概念理解、综合运用公式法分解因式 【分析】根据公式法可进行因式分解． 【详解】解： ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查实数及因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【变式5-3】．已知m，n是有理数，且，的值为_______． 【答案】 【知识点】实数概念理解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的是实数的运算、无理数和有理数的定义，解题的关键是理解无理数与有理数的区别在中，等式的左边是含有这个无理数部分的，等式的右边为0是有理数，可知在等式的左边的系数部分应为0． 【详解】解：原式可化为， ∵m，n是有理数， ∴，解得， ∴． 故答案为． 【题型06】实数的分类 【典例6-1】．（25-26八年级上·上海静安·期末）下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】B 【知识点】实数的分类、无理数 【分析】本题考查实数的分类，根据有理数和无理数的定义判断各说法的正误． 【详解】解：（1）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故（1）的说法错误； （2）无理数是指无限不循环小数，都是无限小数，故（2）的说法正确； （3）正实数包括正有理数和正无理数，故（3）的说法正确； （4）实数包括正实数、负实数和零，故（4）的说法错误． 综上，正确的说法有（2）和（3），共2个． 故选：B． 【典例6-2】．（25-26八年级上·上海金山·期中）在实数、0.101001001、、0、、、、3.14、中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】实数的分类、无理数 【分析】本题考查无理数，判断每个数是否为无理数（无限不循环小数），仅需识别无限不循环小数或不能表示为分数的数． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数， ∴ 是分数，是有理数； 是有限小数，有理数； 是无理数； 是整数，是有理数； 是无理数； ，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； ∴ 无理数有和，共2个． 故选：B． 【变式6-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列说法中错误的个数是（   ） ①一个有理数除以无理数若有意义，则运算结果必为无理数； ②带根号的都是无理数； ③无理数可以分为正无理数和负无理数两类； ④无理数是无限小数； ⑤0.101001000100001是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】实数的分类、无理数 【分析】此题考查的无理数和实数的定义和分类，根据无理数，实数的定义和分类逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①若有理数为，则除以无理数运算结果为（有理数），原说法错误，故①符合题意； ②带根号的数不一定都是无理数，原说法错误，故②符合题意； ③无理数可以分为正无理数和负无理数两类，正确，故③不符合题意； ④无理数是无限小数，正确，故④不符合题意； ⑤0.101001000100001是有理数，原说法错误，故⑤符合题意； 故选：C． 【变式6-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 【答案】③④ 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、实数的分类 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得． 【详解】解：①是有理数； ②是有理数； ③是无理数； ④是无理数； ⑤是有理数； ⑥是有理数； ⑦是有理数． 故答案为：③④． 【变式6-3】．把下列各数填入相应的集合内： ，，，，， 整数集合：{ }； 分数集合：{ }； 无理数集合：{ }； 【答案】0，；，；， 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，掌握相关的定义是解决本题的关键．根据整数，分数，无理数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴整数有0，， 分数有，， 无理数有，． 故答案为：0，；，；，． 【题型07】实数与数轴 【典例7-1】．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【知识点】实数概念理解、实数与数轴、数轴上两点之间的距离 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 【典例7-2】．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是______． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是解题的关键；根据数轴上点的位置关系，点B在点A左边，且，因此点B表示的数为点A表示的数减去3，然后问题可求解． 【详解】解：点A表示的数为，即，由于点B在点A左边且， 故点B表示的数为； 故答案为． 【典例7-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）数轴上点A、B、C、D依次表示四个实数：、、、0． (1)在如图所示的数轴上标出点A的大致位置和点B、C、D的位置； (2)分别求A与B、A与C两点间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)A与B、A与C两点间的距离分别为、 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是根据各数的近似值描出其在数轴上的大致位置． （1）根据点A、B、C、D表示的数描出大致位置即可； （2）求数轴上两点间的距离，用右边的点表示的数减左边的点表示的数即可． 【详解】（1）解：数轴上描出点A、B、C、D的大致位置如图： （2）解：A与B两点间的距离：， A与C两点间的距离：． 【变式7-1】．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）数轴上点和点表示的数如图所示，且点与点关于点对称，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，设点表示的数是，利用对称点到对称中心的距离相等得到． 【详解】解：点与点关于点对称， ， 设点表示的数是， ， ， 故选：A． 【变式7-2】．（25-26八年级上·上海·期末）在数轴上有两个点和点，点所对应的实数是两点的距离为3，那么点所对应的实数是__________． 【答案】 或 【知识点】实数与数轴、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上两点距离的表示，分为点B在点A的右侧和点B在点A的左侧两种情况，运用实数的加减法解题即可． 【详解】解：当点B在点A的右侧时，点B对应的数是； 当点B在点A的左侧时，点B对应的数是； 综上，点所对应的实数是或． 故答案为：或． 【变式7-3】．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是_____． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，对称的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．设点C表示的数为x，根据两点间的距离公式可得到，求解即可得到答案． 【详解】解：设点C表示的数为x， 根据题意，得， 解得， ∴点C所对应的实数为， 故答案为：． 【变式7-4】．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）已知数轴上的点、、、D所对应的实数依次是、、、． (1)在如图所示的数轴上标出点、、的位置和点的大致位置； (2)求线段、、的长． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴、求一个数的立方根、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点间距离，立方根，算术平方根，无理数的估算： （1）先计算算术平方根、绝对值、立方根，估算无理数的范围，再在数轴上表示出来即可； （2）根据数轴上两点间距离公式求解． 【详解】（1）解：，，，， 点、、、D在数轴上的位置如下所示： （2）解：， ， ． 【题型08】实数的大小比较 【典例8-1】．（2024八年级上·上海静安·期末）如果x＞1，那么x﹣1，x，x2的大小关系是（　　） A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x﹣1＜x2 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x 【答案】A 【知识点】负整数指数幂、实数的大小比较 【分析】根据，即可得到，，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，负整数指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握实数比较大小的方法． 【典例8-2】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）比较大小：___________9． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据即可解答，熟知（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式8-1】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 通过比较平方即可比较两数的大小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 【变式8-2】．（25-26八年级上·上海·期中）用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 【答案】选用圆形方案围成的场地面积较大，最大面积是． 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，若围成正方形场地，则边长为，面积为；若围成圆形场地，则圆的半径为，面积为，然后比较大小即可解决问题． 【详解】解：当围成正方形场地时：面积， 当围成圆形场地时：面积， ∵， ∴围成圆的面积较大，最大面积是． 【变式8-3】．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】实数的大小比较、数字类规律探索 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到，可以根据规律得到结果． （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为． （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得：， 这是第个等式． （2）解：由前4个等式可得第n个等式为． （3）解：∵， ∴． 本节课的核心是数系扩充：从有理数延伸到实数，新增无理数概念，明确实数的完整分类与性质。所有有理数的运算性质、大小比较法则均适用于实数，且实数实现了“数与数轴点的一一对应”，为后续实数运算、二次根式学习奠定基础。 一、单选题 1．在、、、中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解题的关键．先将，转换为小数，再根据实数的大小比较法则比较数的大小即可解答． 【详解】解：，， ， 最大的数是． 故选：A ． 2．下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B．3.14159 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．是无理数，故符合题意 B．3.14159是有限小数，属于有理数，故不符合题意； C．是分数，属于有理数，故不符合题意； D．是整数，属于有理数，故不符合题意． 故选：A． 3．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，理解其定义是解题的关键． 根据无理数的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，这个无理数在和之间， A：，故该选项不合题意； B：，故该选项符合题意； C：，故该选项不合题意； D：，故该选项不合题意． 故选：B ． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的定义性质，根据实数的定义和性质，判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A、0没有倒数，故A错误； B、实数由有理数和无理数组成，故B正确； C、负数没有平方根，故C错误； D、0既不是正实数也不是负实数，故D错误， 故选：B． 5．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周率的性质、数轴和有理数、无理数、实数的定义等，熟练掌握圆周率是无理数，属于实数是解题的关键． 【详解】选项A：圆周率是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，不符合题意； 选项B：实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而圆周率是实数，所以数轴上能找到表示它的点，不符合题意； 选项C：实数包含有理数和无理数，圆周率是无理数，也是实数，符合题意； 选项D：圆周率，小于，不符合题意； 故选：C． 6．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 二、填空题 7．用四舍五入法将精确到0.01，所得到的近似数为________． 【答案】 【分析】本题考查近似数的精确，根据四舍五入法，精确到需查看千分位上的数字． 【详解】解：精确到，千分位上的数字为8，，因此向百分位进1，百分位数字8加1后为9，故所得近似数为． 故答案为：． 8．比较大小：___________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的大小比较，通过分子有理化将差式转化为分式形式，利用分母大小比较分式值的大小． 【详解】设 ，， 对 分子有理化： ， 对 分子有理化： ， 由于 ，因此 ， 故 ，即 ， 所以 ． 故答案为<． 9．如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为__________. 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，解题的关键是掌握实数与数轴的关系以及求解算术平方根． 先求出面积为3的正方形的边长，根据点表示的数以及点、点的位置，求解即可． 【详解】解：设面积为3的正方形的边长为，则， 由算术平方根的性质可得，， 由题意可得，， 由点在数轴上表示的数为1，点在点的左边， 则点所表示的数为， 故答案为：． 10．已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键． 观察数轴得：，可得，从而原式变形为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 故答案为：3． 11．下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】本题考查的是实数的概念，实数与数轴，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 12．已知非负实数a，b，c满足，设的最大值为m，最小值为n，则的值为____________________． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，不等式的性质，实数的概念，正确表示出S与a之间的关系是解决本题的关键． 先化简求出b与a的关系，c与a的关系，再根据非负数的性质可表示出a的取值范围，进而表示出S的取值范围，由此可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 即，， ∵，，， 即，， 即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，，，，符合题意； 当时，，，，符合题意； ∴，， ∴． 故答案为：． 13．已知，是的小数部分，比较大小: _____ (填“>”、“<”或“=”) 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的小数部分表示，无理数的大小比较，解题的关键是掌握无理数大小的比较． 表示出无理数的小数部分，利用倒数法和平方法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴的小数部分为， ，的倒数为7， ， ， ∵， ∴，则， 即， 又∵， ∴ ∴， 故答案为：． 14．若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算．先估算，通过计算两式的差值并判断其正负，从而比较大小． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． 15．在下列各数∶ 中，无理数有_____个． 【答案】5 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在中，无理数有、、、、，共5个． 故答案为：5． 16．已知与互为相反数，则的值是__________． 【答案】5 【分析】本题考查实数的性质，立方根的性质，先根据两个立方根互为相反数，得到被开方数互为相反数，求出的值，整体代入代数式进行求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴和互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 17．已知的小数部分是b，那么的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的整数和小数部分相关问题和利用完全平方公式的计算，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键，首先根据题意得到的值，从而得到，再将代数式利用完全平方公式化简后得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵的整数部分为3， ∴， ∵两边平方得：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 18．点是数轴上的三个点，点所对应的数分别为、，点到点的距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是_____． 【答案】或 【分析】本题考查实数与数轴，一元一次方程，两点间的距离，分类讨论，根据点到点的距离是它到点距离的2倍，列出方程是解题关键． 分两种情况进行讨论，点C在点A，点B之间和点C在点B右侧时，分别根据点到点的距离是它到点距离的2倍，列出方程即可解答． 【详解】解：∵点C到点A的距离是它到点B距离的2倍， ∴点C不可能在点A左侧， 设C表示的数为a， 分两种情况：①当点C在点A和点B之间时， 则，， ∴， 解得：； ②当点C在点B右侧时， 则，， ∴， 解得： ． 综上，点C表示的数是或． 故答案为：或． 三、解答题 19．先化简再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的性质，先去括号，然后合并同类项化简整式，再由被开方数大于等于0求出x的值，进而求出y的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 20．把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，0，，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），3.14 (1)负实数集合{               …}； (2)分数集合{               …}； (3)无理数集合{               …}． 【答案】(1)，，，， (2)，3.14 (3)，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0）， 【分析】本题考查了实数的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据小于0的实数为负实数进行逐个分析，即可作答； （2）结合分数的定义进行逐个分析，即可作答． （3）根据无限不循环小数即为无理数进行逐个分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ∴ ∴负实数集合{，，，，，…}； （2）解：依题意，，不是分数， ∴分数集合{，3.14，…}； （3）解：依题意， ∴，不是无理数， ∴无理数集合{，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），…} 21．（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了估算无理数的大小及实数与数轴，熟练掌握估算无理数的方法以及会根据数轴判定实数的大小是解题的关键． （1）根据数轴上a的位置，判断出a，b，c的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简； （2）先估算出与的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）由数轴知，， ∴ ； （2）∵，， ∴，， ∴． 22．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较． （1）根据“作差法”比较大小即可； （2）根据“作差法”比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．我们知道：整数和分数统称为有理数．而无限循环小数属于分数，你知道为什么吗？请先看下面把无限循环小数化成分数的例题，然后解决问题： 【例】把循环小数化分数： 解：设 ① 则 ② ②①得： 所以 应用： (1)把循环小数化成分数（写出演算过程）． (2)直接写出下列循环小数化成分数后的结果： ① ；② ； ③ ． 【答案】(1)，过程见解析 (2)①、②、③ 【分析】（1）设，表示出，然后相减解得出关于的一元一次方程，再求解即可． （2）仿照例题列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设， 则， ， 即， 解方程得， 即． （2）①设 则 ∴ 解得：，即 ② 设 则 ∴ ∴ 解得：，即 ③设 ∴ ∴ ∴ ∴，即 24．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数； （3）设存在正整数n，则，由进行判断即可求解； （4）设点D与数x对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：； 故答案为：； （2）∵点A表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后B表示的数为， 第二次翻滚后C表示的数为， 第三次翻滚后D表示的数为， ∵经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P， ∴点P表示的数为； 故答案为：； （3）设存在正整数n，则， ∴， ∵n为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数n； 故答案为：不存在； （4）设点D与数x对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 25．【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． （2）设，a与b是互质的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为6的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴， ∴b也是6的倍数，与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． 26．如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)图形见解析 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． （1）根据题意，得到大正方形的面积，求出边长，即可得到小正方形的对角线； （2）由（1）可得边长为的正方形的对角线为，再根据数轴，即可得到点表示的数； （3）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （4）从原点开始画一个长是，高是的长方形，对角线长即是，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点，再把这个长方形向左平移个单位，用同样的方法得到点． 【详解】（1）解：由图可得，大正方形的面积为， ∴边长为： ∴小正方形对角线为：． （2）解：由题意可得，小正方形的边长为， ∴对角线为， ∴点表示的数为：． （3）解：如图所示： ∵长方形的面积为 ∴拼成的正方形的面积也为； ∴正方形的边长为： ∴长为宽为的长方形的对角线长为． （4）解：如图，即为所求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 实数的相关概念（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：有理数的小数形式 知识点02：无理数 知识点03： 实数与数轴 知识点04：实数的绝对值与大小比较 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：循环小数化分数 题型02：无理数 题型03：无理数的大小估算 题型04：无理数整数部分的有关计算 题型05：实数概念理解 题型06：实数的分类 题型07：实数与数轴 题型08：实数的大小比较 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】有理数的小数形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 有理数必为有限小数或无限循环小数;反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 【知识点02】 无理数 无限不循环小数又叫无理数. 要点归纳： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【知识点03】 实数与数轴 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 2.实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点归纳：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 【知识点04】 实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 【题型01】循环小数化分数 【典例1-1】．循环小数化分数∶ _____． 【变式1-1】求证：． 【变式1-2】将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】求证：． 【题型02】无理数 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在4、、、这四个实数中，是无理数为（   ） A．4 B． C． D． 【典例2-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【变式2-1】．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有__________个． 【变式2-3】．（25-26八年级上·上海·期中）在实数、、0、、、、、、（位数无限，每两个2之间依次增加一个0）．无理数有________个． 【题型03】无理数的大小估算 【典例3-1】．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）一个正方形的面积是5，估计它的边长大小在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【典例3-2】．（25-26八年级上·上海宝山·期中）比较大小（用、、、中的一个符号）：_______________2． 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（25-26八年级上·上海松江·期中）公元3世纪，我国数学家刘徽通过将被开方数化为一个尽可能大的平方数和正整数的和，利用近似公式得到了无理数的近似值．请利用此公式估计：_____． 【变式3-3】．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【题型04】无理数整数部分的有关计算 【典例4-1】．（25-26八年级上·上海宝山·期末）若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）已知是两个连续整数，若，则___________． 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海·期中）已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 【变式4-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【题型05】实数概念理解 【典例5-1】．（22-23八年级下·上海静安·期中）下列结论正确的是（        ） A．无限小数是无理数 B．带根号的数是无理数 C．循环小数是实数 D．一个正数的n次方根有n个 【变式5-1】．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【变式5-2】．（22-23八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：_______________ 【变式5-3】．已知m，n是有理数，且，的值为_______． 【题型06】实数的分类 【典例6-1】．（25-26八年级上·上海静安·期末）下列四个说法中，正确的有（    ）． （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数； （3）正实数包括正有理数和正无理数；（4）实数可以分为正实数和负实数两类． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【典例6-2】．（25-26八年级上·上海金山·期中）在实数、0.101001001、、0、、、、3.14、中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列说法中错误的个数是（   ） ①一个有理数除以无理数若有意义，则运算结果必为无理数； ②带根号的都是无理数； ③无理数可以分为正无理数和负无理数两类； ④无理数是无限小数； ⑤0.101001000100001是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 【变式6-3】．把下列各数填入相应的集合内： ，，，，， 整数集合：{ }； 分数集合：{ }； 无理数集合：{ }； 【题型07】实数与数轴 【典例7-1】．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【典例7-2】．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是______． 【典例7-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）数轴上点A、B、C、D依次表示四个实数：、、、0． (1)在如图所示的数轴上标出点A的大致位置和点B、C、D的位置； (2)分别求A与B、A与C两点间的距离． 【变式7-1】．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）数轴上点和点表示的数如图所示，且点与点关于点对称，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】．（25-26八年级上·上海·期末）在数轴上有两个点和点，点所对应的实数是两点的距离为3，那么点所对应的实数是__________． 【变式7-3】．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是_____． 【变式7-4】．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）已知数轴上的点、、、D所对应的实数依次是、、、． (1)在如图所示的数轴上标出点、、的位置和点的大致位置； (2)求线段、、的长． 【题型08】实数的大小比较 【典例8-1】．（2024八年级上·上海静安·期末）如果x＞1，那么x﹣1，x，x2的大小关系是（　　） A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x﹣1＜x2 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x 【典例8-2】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）比较大小：___________9． 【变式8-1】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 【变式8-2】．（25-26八年级上·上海·期中）用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 【变式8-3】．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式，并回答问题： 第1个； 第2个； 第3个； 第4个； …… (1)化简：_____；这是第_____个等式． (2)第个等式是_____．（用含的式子表示） (3)比较与1的大小． 本节课的核心是数系扩充：从有理数延伸到实数，新增无理数概念，明确实数的完整分类与性质。所有有理数的运算性质、大小比较法则均适用于实数，且实数实现了“数与数轴点的一一对应”，为后续实数运算、二次根式学习奠定基础。 一、单选题 1．在、、、中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 2．下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B．3.14159 C． D． 3．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 5．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 6．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 二、填空题 7．用四舍五入法将精确到0.01，所得到的近似数为________． 8．比较大小：___________． 9．如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为__________. 10．已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简________． 11．下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 12．已知非负实数a，b，c满足，设的最大值为m，最小值为n，则的值为____________________． 13．已知，是的小数部分，比较大小: _____ (填“>”、“<”或“=”) 14．若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 15．在下列各数∶ 中，无理数有_____个． 16．已知与互为相反数，则的值是__________． 17．已知的小数部分是b，那么的值为____________． 18．点是数轴上的三个点，点所对应的数分别为、，点到点的距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是_____． 三、解答题 19．先化简再求值：，其中x，y满足． 20．把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，0，，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），3.14 (1)负实数集合{               …}； (2)分数集合{               …}； (3)无理数集合{               …}． 21．（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 22．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 23．我们知道：整数和分数统称为有理数．而无限循环小数属于分数，你知道为什么吗？请先看下面把无限循环小数化成分数的例题，然后解决问题： 【例】把循环小数化分数： 解：设 ① 则 ② ②①得： 所以 应用： (1)把循环小数化成分数（写出演算过程）． (2)直接写出下列循环小数化成分数后的结果： ① ；② ； ③ ． 24．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 25．【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 26．如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $