2025年初高中衔接数学专题讲义

数学 初高中衔接手册 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 目 录 第1讲 乘法公式 1 第2讲 因式分解 3 第3讲 根式与根式的运算 5 第4讲 分式运算 7 第5讲 绝对值和绝对值不等式的解法 9 第6讲 一元二次方程根与系数的关系 12 第7讲 二次函数的图象和性质 16 第8讲 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法 19 第9讲 分式方程与无理方程的解法 22 第10讲 一元一次不等式（组）的解法 23 第11讲 一元二次不等式的解法 25 第12讲 分式不等式和特殊的高次不等式的解法 28 第13讲 三角形的“四心” 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第1讲 乘法公式 知识点1 平方公式 （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ． （3）三数和平方公式 ； 知识点2 立方公式 （1）立方和公式 ； （2）立方差公式 ； （3）两数和立方公式 ； （4）两数差立方公式 ． 探究一 平方公式的应用 【例1】计算： （1） （2） （3） （4） （5） 归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． 【练习1】计算： 探究二 立方公式的应用 【例2】计算：（1） （2） 归纳总结：常用配方法：，． 【练习2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) (2) 探究三 整体代换 【例3】已知，求：（1）；（2）． 归纳总结： （1）本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐． （2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算． 【练习3-1】已知， 求：（1）；（2）． 【练习3-2】已知，，求的值． 第2讲 因式分解 知识点1 因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用． 知识点2 因式分解方法 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等． 知识点3 常用的乘法公式： （1）平方差公式：； （2）完全平方和公式：； （3）完全平方差公式：． （4）. （5）(立方和公式) （6） (立方差公式) 探究一 公式法 【例1】分解因式：(1) (2) 归纳总结：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【练习1】把下列各式分解因式： (1) (2) (3) 探究二 提取公因式法与分组分解法 【例2-1】把分解因式． 【例2-2】分解因式：（1）； （2）． 【例2-3】分解因式： （1）；（2）． 【例2-4】把分解因式． 【练习2】分解因式（1） (2) 探究三 十字相乘法 【例3-1】把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 归纳总结：这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和． 因此， 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例3-2】把下列各式因式分解： (1) (2) 归纳总结： 用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 【练习3-1】把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 探究四 拆、添项法 【例4】分解因式 第3讲 根式与根式的运算 知识点1 二次根式的概念 一般地，形如的代数式叫做二次根式. 知识点2 二次根式性质 (1) (2) (3) (4) 二次根式的意义 探究一 根式的简化 【例1-1】将下列式子化为最简二次根式： （1） ； （2）． (3) 归纳总结：注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论． 【练习1-1】 化简下列各式：（1）； (2) 【例1-2】（1）若，则的取值范围是 ； （2）等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【练习1-2】（1） ； （2）若，求的值． 探究二 有理化因式和分母有理化 【例3-1】计算：． 【例3-2】化简：． 【例3-3】化简：（1）； （2）． 【例3-4】已知，求的值 ． 【练习3】（1）＝ ； （2）若，则 ． 第4讲 分式运算 知识点1 分式的意义与性质 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式． 当M≠0时，分式具有下列性质：； ． 知识点2 繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 探究一 分式的化简与求值 【例1-1】代数式有意义，则需要满足的条件是_________ 【例1-2】若，求常数的值． 【练习1】化简： 探究二 裂项相消 【例2】（1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有． 【练习2】（1）证明：（其中n是正整数）； （2）证明：对任意大于1的正整数n， 有． 探究三 分式的应用 【例3】设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值． 【练习3】设，且e＞1，3c2－10ac＋3a2＝0，求e的值． 探究四 多项式除以多项式 【例4】计算 归纳总结：做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式商式+余式 【练习4】计算 （1） （2） 【课后作业】 1．对任意的正整数n， ()； 2．若，则＝（ ） （A）１ （B） （C） （D） 3．计算． 4．计算：． 第5讲 绝对值和绝对值不等式的解法 知识点1 绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 知识点2 绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 知识点3 两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． 探究一 绝对值的性质 【例1-1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A．±2 B．2 C．-2 D．4 【例1-2】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（ ） A．7或-7 B．7或3 C．3或-3 D．-7或-3 【例1-3】已知：abc≠0，且M=，当a，b，c取不同值时，M有 ____种不同可能． 【练习1】已知是非零整数，且，求的值 探究二 绝对值的应用 【例2】若，则． 归纳总结：绝对值具有非负性，即若，则必有，，． 【练习2-1】练习1：， ________；__________ 【练习2-2】若，则． 探究三 零点分段法去绝对值 【例3】化简代数式 【练习3】化简代数式 探究四 绝对值函数 【例4-1】画出的图像 【例4-2】画出的图象 【例4-3】画出函数的图像 【例4-4】画出函数的图像 探究五 解绝对值不等式 【例5-1】解不等式 ． 【练习5-1】解不等式：（1）； （2） （3） 【例5-2】解不等式 ． 归纳总结：（1）． （2）或 【练习5-2】解不等式：（1）；（2）；（3）； 【例5-3】解不等式组． 【练习5-3】解不等式． 【例5-4】解不等式： 归纳总结：（1）． （2）或． 【练习5-4】解不等式：． 【例5-5】解不等式： 【练习5-5】解不等式：＞4． 第6讲 一元二次方程根与系数的关系 知识点1 一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根： (2) 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为： 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 所以：， 韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 探究一 与根个数之间的关系 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) (2) (3) 【练习1-1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根． 【练习1-2】已知实数、满足，试求、的值． 探究二 一元二次方程的根与系数的关系 【例2-1】若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 归纳总结：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ，，， ，， 等等．韦达定理体现了整体思想． 【练习2】若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求的值；（3）x13＋x23． 【例2-2】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 【例2-2】关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足． 探究三 一元二次方程的根的范围 【例3-1】若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围． 【例3-2】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。 【练习3-1】已知一元二次方程一个根小于0，另一根大于2，求的取值范围。 【课后作业】 1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 2．若是方程的两个根，则的值为( ) A． B． C． D． 3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( ) A． B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为，且满足，求的值． 第7讲 二次函数的图象和性质 知识点1 二次函数的图象与解析式 二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 知识点2 二次函数的最值 二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础． 在初中阶段大家已经知道： 当时，函数在处取得最小值，无最大值； 当时，函数在处取得最大值，无最小值． 今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题． 探究一 求二次函数解析式 【例1-1】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式． 归纳总结：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题． 【例1-2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． 归纳总结： 上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题． 【例1-3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 探究二 二次函数的最值 【例2-1】当时，求函数的最大值和最小值． 【例2-2】当时，求函数的最大值和最小值． 归纳总结： 二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例2-3】当时，求函数的取值范围． 【例2-4】当时，求函数的最小值(其中为常数)． 【例2-5】当时，求函数的最小值(其中为常数)． 【课后作业】 1．把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是 （ ） （A）（－1，4） （B）（－1，－4） （C）（1，－4） （D）（1，4） 2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1）已知二次函数的图象经过点A（0，），B（1，0），C（，2）； （2）已知抛物线的顶点为（1，），且与y轴交于点（0，1）； 3．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？ 4．抛物线，当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象过原点． 5．求下列二次函数的最值： (1) ； (2) ． 6．已知关于的函数在上． (1) 当时，求函数的最大值和最小值；(2) 当为实数时，求函数的最大值． 第8讲 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法 知识点1 三元一次方程组 三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程． 它的一般形式是 ，未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数． 知识点2 二元二次方程组 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组， 或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组． 探究一 二元一次方程组及其解法 方法1、代入消元法解二元一次方程组 【例1-1】解方程组 归纳总结：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x的系数是1，因此考虑将方程②变形，并用含y的代数式表示x. 用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单. 代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误. 【练习1-1】用代入法解方程组： 方法2、加减消元法解二元一次方程组 【例1-2】解方程组： 探究二 三元一次方程组及其解法 【例2-1】 解方程组   【例2-2】  解方程组 探究三 二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组解法 【例3-1】解方程组 归纳总结：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： ①由二元一次方程变形为用表示的方程，或用表示的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程； ④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值； (2) 消还是消，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如，可以消去，变形得，再代入消元． (3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这点注意． 【练习3-1】解方程组 【例3-2】解方程组 【练习3-3】解下列方程组: （1） （2） （3） （4） 探究四 二元二次方程组成的方程组的解法 【例4-1】解方程组 归纳总结：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组． 【例4-2】解方程组 第9讲 分式方程的解法 知识点1 分式方程 分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程 方法一、去分母化分式方程为一元二次方程 【例1-1】解方程 ． 归纳总结：(1) 去分母解分式方程的步骤： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验． 方法二、用换元法化分式方程为一元二次方程 【例1-2】解方程 【练习1】解方程 ． 【课后作业】 1．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 2．用换元法解方程： 第10讲 一元一次不等式（组）的解法 知识点1 一元一次不等式组 由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组． 如：． 知识点2 一元一次不等式组的解集 组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集. (1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分． (2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况： (3)求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．解一元一次不等式组的一般步骤为： ①分别解不等式组中的每一个不等式； ②将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分； ③根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个不等式组无解). ④用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈． 探究一 一元一次不等式组及其解法 【例1-1】解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 归纳总结：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画．有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈． 【例1-2】解不等式： 归纳总结：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2. 探究二 含参数的一元一次不等式组 【例2】若不等式组无解，求a的取值范围. 【课后作业】 1.解不等式组：（1） （2）， 2.求不等式组的整数解． 3.若不等式组无解，则的取值范围是什么？ 4.若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是什么？ 第11讲 一元二次不等式的解法 知识点1 一元二次不等式 形如的不等式称为关于的一元二次不等式． 知识点2 “三个二次”之间的关系 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解． 探究一 因式分解后分类讨论解一元二次不等式 【例1-1】解不等式． 归纳总结：当把一元二次不等式化为的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法． 【练习1-1】解下列不等式 （1） （2） （3） （4） 【例1-2】解下列不等式：(1) (2) 【练习1-2】解下列不等式 （1）； （2）． 【例1-3】不等式的解是_____________． 【练习1-3】若，则不等式的解是_____________． 探究二 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式 【例2-1】解下列不等式： (1) (2) (3) （4） 归纳总结：若，是一元二次方程的两个根，且，则有： （1） （2）或 【例2-2】已知不等式的解为，求和的值，并解不等式． 【练习2-1】设一元二次不等式的解为，则的值是（ ） A． B． C． D． 探究三 恒成立问题 【例3】已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围． 【练习3】已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围． 【课后作业】 1．解下列不等式： （1） （2） （3） （4） 2．若代数式的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是 ． 3．已知不等式的解是，则_________． 4．已知不等式的解集是，则________． 5．不等式的解集为，则的解是________． 第12讲 分式不等式和特殊的高次不等式的解法 探究一 简单分式不等式的解法 【例1-1】 解不等式：． 归纳总结：（1）； （2）； 【练习1-1】解下列不等式： (1) (2) 【例1-2】解不等式． 【练习1-2】解下列不等式 （1） （2） 探究二 简单的高次不等式的解法 【例2-1】解不等式：； 归纳总结：列表法，解题步骤是： ①将不等式化为形式（各项的系数化为正数），令，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，个分界点把数轴分成部分……； ②按各根把实数分成的部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面各因式积的符号写出不等式的解集． 穿根法，解题步骤是： ①将不等式化为)形式，并将各因式的系数化“+”； ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； ④若不等式（的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在轴下方的区间． 注意：奇穿偶不穿 【例2-2】解不等式： 【练习2-1】解不等式： 【练习2-2】解不等式 （1） （2） （3） 第13讲 三角形的“四心” 知识点1.三角形的重心 (1)三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心． 点是中点，则点是的重心. (2)三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点． 如上图，,,。 知识点2.三角形的内心 (1)三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 是角平分线，则点是的内心. (2)三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 知识点3.三角形的垂心 (1)三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心. (2)锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. 知识点4.三角形的外心 (1)三角形三边的垂直平分线所在直线相交于一点，该点称为三角形的外心. 分别是的垂直平分线，点是三角形的外心. (2)三角形的外心到三个顶点的距离相等. 知识点5.拓展 (1)等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一．因而在等腰三角形中，三角形的内心、重心、垂心必然在一条直线上． (2)正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心. 探究一 三角形的“四心”的性质证明 【例1】 求证分别为三边的中点， 交于一点，且都被该点分成. 【例2】 已知中，于, 于,与交于点,求证. 探究二 三角形的“四心”的运用 【例3】 若已知为三角形的重心和内心，求证三角形为等边三角形. 【例4】在中，，，求 (1)的面积及边上的高；(2)的内切圆的半径；(3)的外接圆的半径. 【例5】在中，，是边上的高，已知，点、分别是的垂心和外心，则的最小长度为 ． 参考答案 第1讲 乘法公式 探究一 平方公式的应用 【例1】（1）原式= （2）原式= （3）原式= （4）原式= （5）原式= 【练习1】原式= 探究二 立方公式的应用 【例2】（1） （2） 【练习2】（1） （2） 探究三 整体代换 【例3】，所以（1）． （2）． 【练习3-1】，，，． （1）； （2）． 【练习3-2】． 第2讲 因式分解 探究一 公式法 【例1】(1) ． (2) 【练习1】 （1）= （2）= （3）= 探究二 提取公因式法与分组分解法 【例2-1】 【例2-2】 （1）； （2） 【例2-3】 （1）===． 或＝＝＝ ＝＝． （2） = ==． 或 = ==． 【例2-4】】 【练习2】（1）= (2) == 探究三 十字相乘法 【例3-1】(1) ． (2) (3) 【例3-2】(1) (2) 【练习3-1】(1) (2) (3) 探究四 拆、添项法 【例4】 第3讲 根式与根式的运算 探究一 根式的简化 【例1-1】（1）； （2）． (3) 原式= 【练习1-1】 （1）； (2) 原式= 【例1-2】（1） （2）由于 。故选C 【练习1-2】（1） （2）因为 所以 ，此时 探究二 有理化因式和分母有理化 【例3-1】解法一：＝＝＝＝． 解法二：＝＝ ＝＝． 【例3-2】原式＝ = ＝＝． 【例3-3】（1）原式． （2）原式=，∵，∴，所以，原式＝． 【例3-4】∵， ， ∴． 【练习3】（1）＝＝ （2） = 第4讲 分式运算 探究一 分式的化简与求值 【例1-1】且，解得 【例1-2】 ∵， ∴ 解得 ． 【练习1】 探究二 裂项相消 【例2】（1）证明：∵， ∴（其中n是正整数）成立． （2）解：由（1）可知 ＝． （3） 证明： ∵＝＝， 又n≥2，且n是正整数， ∴一定为正数， ∴＜． 【练习2】（1）证明：∵ ∴（其中n是正整数）成立． （2）证明：∵ ＝＝， 又n≥1，且n是正整数， ∴一定为正数， ∴． 探究三 分式的应用 【例3】在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0， ∴e＝＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2． 【练习3】在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 3e2－10e＋3＝0，∴(3e－1)(e－3)＝0，∴e＝＜1，舍去；或e＝3．∴e＝3． 探究四 多项式除以多项式 【例4】 归纳总结：做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式商式+余式 【练习4】（1） （2） 【参考答案】 1． 2．B 3． 4． 第5讲 绝对值和绝对值不等式的解法 探究一 绝对值的性质 【例1-1】A 【例1-2】C 【例1-3】4 【解析】当a、b、c都是正数时，M= 3； 当a、b、c中有一个负数时，则M=1； 当a、b、c中有2个负数时，则M= -1； 当a、b、c都是负数时，M=-3． 【练习1】由于，且是非零整数，则一正二负或一负二正， （1）当一正二负时，不妨设，原式； （2）当一负二正时，不妨设，原式． 原式． 探究二 绝对值的应用 【例2】，所以． 归纳总结：绝对值具有非负性，即若，则必有，，． 【练习2-1】． 【练习2-2】由题意，，所以． 探究三 零点分段法去绝对值 【例3】⑴当时，原式； ⑵当时，原式； ⑶当时，原式． 综上讨论，原式． 【练习3】当时，； 当时，； 当时，． 综上讨论，原式． 探究四 绝对值函数 【例4-1】（1）关键点是，此点又称为界点； （2）接着是要去绝对值 当时，；当时，． （3）图像如右图 说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到 【例4-2】 （1）关键点是和 （2）去绝对值 当时，； 当时，； 当时，． （3）图象如右图所示． 【例4-3】 （1）关键点是 （2）去绝对值： 当时，； 当时， （3）可作出图像如右图 【例4-4】 （1）关键点是和 （2）去绝对值： 当或时，； 当时， （3）可作出图像如右图 探究五 解绝对值不等式 【例5-1】对应数轴上的一个点，由题意，到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：和，自然只有在和之间的点，到原点的距离才小于1，所以的解集是． 归纳总结：（1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． 【练习5-1】（1） （2） （3） 【例5-2】由题意，，解得，所以原不等式的解集为． 【练习5-2】（1）由题意，，解得，所以原不等式的解集为． （2）由题意，或，解得或，，所以原不等式的解集为． （3）由题意，，解得 【例5-3】由，得，解得，① 由，得，即，解得，② 由①②得，，所以原不等式的解集为． 【练习5-3】方法一：由，解得；由得，或， 联立得，所以原不等式的解集为． 方法二：或，解得，所以原不等式的解集为． 【例5-4】方法一：（零点分段法） （1）当时，原不等式变为：，解得，所以； （2）当时，原不等式变为：，解得，所以； 综上所述，原不等式的解集为． 方法二：或，解得或，所以原不等式的解集为． 【练习5-4】由得，解得，原不等式的解集为． 【例5-5】 方法1：利用零点分区间法（推荐） 【分析】:由，，得和．和把实数集合分成三个区间，即，，，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论． 【解析】：当时，得，解得：； 当时，得， 解得：； 当时，得，解得：． 综上，原不等式的解集为． 方法2：利用绝对值的几何意义 【解析】：的几何意义是数轴上的点到1和的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，，易知当或时，，所以位于和之间（不含端点），所以，所以原不等式的解集为． 【练习5-5】解法一：由，得；由，得； ①若，不等式可变为， 即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0； ②若，不等式可变为， ∴不存在满足条件的x即1＞4，； ③若，不等式可变为， 即＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4． 综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4． 解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．1 3 A B x 0 4 C D x P |x－1| |x－3| 图1．5－5 所以，不等式＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4． 由|AB|＝2，可知 点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧． x＜0，或x＞4． 第6讲 一元二次方程根与系数的关系 探究一 与根个数之间的关系 【例1】(1) ，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为： ，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为： ，∴ 原方程没有实数根． 【练习1-1】 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【练习1-2】可以把所给方程看作为关于的方程，整理得： 由于是实数，所以上述方程有实数根，因此： ， 代入原方程得：． 综上知： 探究二 一元二次方程的根与系数的关系 【例2-1】由题意，根据根与系数的关系得： (1) (2) (3) (4) 【练习2】 ∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴，． （1） ∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝ ＝ ＋6＝，∴| x1－x2|＝． （2）． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2] ＝(－)×[(－)2－3×()]＝－． 【例2-2】法一 设这两个数分别是，，则或． 因此，这两个数是－2和6． 法二 由韦达定理知，这两个数是方程2－4－12＝0的两个根． 解方程得：1＝－2，2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 【例2-2】(1) ∵方程两实根的积为5 ∴ 所以，当时，方程两实根的积为5． (2) 由得知： ①当时，，所以方程有两相等实数根，故； ②当时，，由于 ，故不合题意，舍去． 综上可得，时，方程的两实根满足． 探究三 一元二次方程的根的范围 【例3-1】设x1，x2是方程的两根，则 x1x2＝a－4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ② 由①得 a＜4， 由②得 a＜． ∴a的取值范围是a＜4． 【例3-2】解一：由 解得： 解二：设，则如图所示， 只须，解得 【练习3-1】如图，设 则只须，解之得 ∴ 【参考答案】 1． B 2． A 3．A 4． 第7讲 二次函数的图象和性质 探究一 求二次函数解析式 【例1-1】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2． 又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）． 设该二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴，解得a＝－2． ∴二次函数的解析式为，即y＝－2x2＋8x－7． 【例1-2】 【解法一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)， 展开，得 y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为 ， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝． 所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－． 【解法二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1． 又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2． 于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2． ∴a＝－，或a＝． 所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2． 【例1-3】设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得 解得 a＝－2，b＝12，c＝－8． 所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8． 探究二 二次函数的最值 【例2-1】 方法一：作出函数的图象．当时，，当时，． 方法二：配方法 当时，， 当时，． 【例2-2】 方法一：作出函数的图象．当时，， 当时，． 方法二：配方法，， 当时，，当时，． 【例2-3】方法一：作出函数在内的图象． 可以看出：当时，，无最大值． 所以，当时，函数的取值范围是． 方法二：，当时，，无最大值．所以，当时，函数的取值范围是． 【例2-4】函数的对称轴为．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即时： 当时，； (2) 当对称轴在所给范围之间．即时： 当时，； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即时： 当时，． 综上所述： 【例2-5】函数的对称轴为． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，； (2) 当对称轴在所给范围之间．即，即时，当，； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即时，当时， 综上所述：． 【参考答案】 1．D 2．（1）．（2）． 3．当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大． 4．4 14或2， 5．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值，无最小值． 6．(1) 当时，；当时，． (2) 当时，；当时，． 第8讲 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法 探究一 二元一次方程组及其解法 方法1、代入消元法解二元一次方程组 【例1-1】由②，得 . ③ 将③代入①，得 ， ，， 把 代入③，得 所以原方程组的解是 【练习1-1】 方法2、加减消元法解二元一次方程组 【例1-2】法一：①×3，②×2，得 ③-④，得29m=-29，m=-1. 将m=-1代入①，得-5+2n=1，n=3. 所以原方程组的解为 法二：①×7，②×5，得 ③+④，得29n=87，n=3. 把n=3代入①，得5m+6=1，m=-1. 所以原方程组的解为 探究二 三元一次方程组及其解法 【例2-1】 ②×3＋③，得  11x＋10z＝35．     （4） 与④组成方程组      解这个方程组，得，把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，∴． 所以 【例2-2】①+③，得  5x+6y=17      ④ ②+③×2，得，  5x+9y=23     ⑤ ④与⑤组成方程组，解这个方程组，得， 把x=1，y=2代入③得：2×1+2×2-z=3，∴  z=3 ∴  探究三 二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组解法 【例3-1】由(1)得： (3) 将(3)代入(2)得：，解得： 把代入(3)得：；把代入(3)得：． ∴原方程组的解是：． 【练习3-1】第二个方程可变形为 x＝2y＋2，，将其带人到第一个方程，整理得8y2＋8y＝0， 即y(y＋1)＝0， 解得y1＝0，y2＝－1． 把y1＝0代入③, 得 x1＝2； 把y2＝－1代入③, 得x2＝0． 所以原方程组的解是 【例3-2】根据一元二次方程的根与系数的关系，把、看成是方程的两根，解方程得：． ∴ 原方程组的解是：． 【练习3-2】解法一：由①，得 ③ 把③代入②，整理，得 解这个方程，得 ． 把代入③，得；把代入③，得． 所以原方程的解是 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求． 这个方程组的是一元二次方程 的两个根，解这个方程，得 ，或． 所以原方程组的解是 【练习3-3】 （1） （2） （3） （4） 探究四 二元二次方程组成的方程组的解法 【例4-1】得：， 即 ， ∴ ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：． 【例4-2】 (1) +(2)得：， (1) -(2)得：． 解此四个方程组，得原方程组的解是：． 第9讲 分式方程与无理方程的解法 探究一 分式方程的解法 方法一、去分母化分式方程为一元二次方程 【例1-1】原方程可化为： 方程两边各项都乘以得， 即， 整理得：，解得：或． 检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根． 所以，原方程的解是． 方法二、用换元法化分式方程为一元二次方程 【例1-2】设，则原方程可化为： 解得或． (1)当时，，去分母，得； (2)当时，． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，，都是原方程的解． 【练习1】设，则 原方程可化为：． (1)当时，； (2)当时，． 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，原方程的解是，，． 【参考答案】 1． 2． 第10讲 一元一次不等式（组）的解法 探究一 一元一次不等式组及其解法 【例1-1】解不等式①，得；解不等式②，得x＜1．所以不等式组的解集为 在数轴上表示不等式①②的解集如图． 【例1-2】解法1：原不等式可化为下面的不等式组 解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8 所以不等式组的解集为－1＜x≤8．即原不等式的解集为－1＜x≤8 解法2：，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8． 所以原不等式的解集为－1＜x≤8 探究二 含参数的一元一次不等式组 【例2】依题意： 2a-5 ≥ 3a-2，解得a ≤ -3 【课后作业】 1．解不等式①，得：，解不等式②，得：，在数轴上表示这两个不等式的解集为： ∴原不等式组的解集为： 2．解不等式①得：x＞－2，解不等式②得：x＜－7 ∴不等式组的解集为无解 3．解不等式①，得；解不等式②，得x≤4． 在数轴上表示不等式①②的解集(如图) 所以不等式组的解集为． 所以它的整数解为3,4． 4．要使不等式组无解，故必须，从而得. 第11讲 一元二次不等式的解法 探究一 因式分解后分类讨论解一元二次不等式 【例1-1】原不等式可以化为：， 于是：或 所以，原不等式的解集是． 【练习1-1】 (1) 不等式可化为 ，∴ 不等式的解集是； (2) 不等式可化为，∴ 不等式的解集是； (3) 不等式可化为，即，∴ 不等式的解集是； （4）不等式可化为 ∴ 不等式的解是． 【例1-2】(1) 原不等式可化为：，即 于是：， 所以原不等式的解是． (2) 原不等式可化为：，即 于是： 所以原不等式的解是． 【练习1-2】(1) 不等式可化为 ，∴ 不等式的解集是； （2）的根为，∴ 不等式的解集是； 【例1-3】 【练习1-3】 探究二 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式 【例2-1】 (1) 不等式可化为 ∴ 不等式的解集是． (2) 不等式可化为 ∴ 不等式的解集是． (3) 不等式可化为， 所以无解． （4）不等式可化为 ∴ 不等式的解集是． 【例2-2】依题意，和是方程的两根， 方法1：由韦达定理，∴ ，，解得，． 方法2：直接代入方程得，，解得， ∴ 不等式为，解得或． ∴ 不等式的解集为． 【练习2-1】C 探究三 恒成立问题 【例3】显然时，不合题意，于是： ． 【练习3】显然时，不恒为正数，不合题意，于是： ． 【参考答案】 1．（1）；（2）；（3）无解；（4）全体数 2． 3． 4． 5． 第12讲 分式不等式和特殊的高次不等式的解法 探究一 简单分式不等式的解法 【例1-1】 解法1：化为两个不等式组来解： ∵x∈φ或， ∴原不等式的解集是． 解法2：类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． ∵， ∴原不等式的解集是. 【练习1-1】（1）原不等式可化为：，所以原不等式的解集为． (2) ∵ ，原不等式可化为：，所以原不等式的解集为． 【例1-2】原不等式可化为： ，所以原不等式的解集为． 【练习1-2】 （1），所以原不等式的解集为． （2），所以原不等式的解集为． 探究二 简单的高次不等式的解法 【例2-1】 解法一（列表法）：①检查各因式中的符号均正； ②求得相应方程的根为：，1，3； ③列表如下： -2 1 3 x+2 - + + + x-1 - - + + x-3 - - - + 各因式积 - + - + ④由上表可知，原不等式的解集为：． 解法二：（穿根法） ①的根是，1，3，在数轴上表示这三个数， ②由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点 ③若不等式（的系数化“+”后）是“> 0”，则找“线”在轴上方的区间； 若不等式是“< 0 ”,则找“线”在轴下方的区间. 由图可知，原不等式的解集为：． 【例2-2】①检查各因式中x的符号均正； ②求得相应方程的根为：，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图： ④∴原不等式的解集为：. 【练习2-1】①将原不等式化为：； ②求得相应方程的根为：（二重），，； ③在数轴上表示各根并穿线，如图： ④∴原不等式的解集是． 【练习2-2】（1）， 所以原不等式的解集为． （2）， 所以原不等式的解集为． （3） 所以原不等式的解集为． 第13讲 三角形的“四心” 探究一 三角形的“四心”的性质证明 【例1】证明： 连结，设交于点， 分别为的中点，则，且， ，且相似比为， . 设交于点，同理可得，， 则与重合， 交于一点，且都被该点分成. 【例2】证明： 延长交于, , ， 在以为直径的圆上， . 同理，在以为直径的圆上，可得. ， 又与有公共角， ，即. 点拨 本题即证明三角形的三条高交于一点.思考下，那三角形的三条内角平分线、三边的垂直平分线、三条中线为什么也交于一点呢？ 探究二 三角形的“四心”的运用 【例3】 证明: 如图，连并延长交于. 为三角形的内心，故平分， (角平分线性质定理) 为三角形的重心，为的中点，即. ，即. 同理可得， 为等边三角形. 【例4】解析 (1)如图，作于. 为的中点，， ， 又，解得. (2)如图，为内心，则到三边的距离均为， 连， ， 即，解得. (3)是等腰三角形，外心在上，连， 则中，， 解得. 【例5】解析 ，， 如图，以为坐标原点，所以在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系． 连接并延长交于点， 为的垂心，， ， ， ，，， 设，则， 连接、，作于， ，为中点， ，， ，，，，，， 连接、，则，， ，， ，， ， 所以当时，取得最小值5，所以的最小值为． 点拨 建立直角坐标系，把几何问题转化为代数问题（把线段的最小值化为代数式的最小值），这是解析几何的方法，在高中经常用到. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$