3.2 一定是直角三角形吗？ 课件2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

3.2一定是直角三角形吗？ 学习目标 1.重点：理解并掌握勾股定理的逆定理及其证明过程； 2.难点：利用直角三角形的性质和逆定理解决实际问题。 1.直角三角形有哪些性质呢？ 角： 边： 2.我们曾用什么方法得到勾股定理呢? 一个角是直角。两个锐角互余。 两条直角边的平方和等于斜边的平方。 A B C D 补： 割： 旧知回顾 1 2 3 4 补：毕达哥拉斯证法 a b c a 旧知回顾 1 2 3 4 割：赵爽弦图 a b c a 旧知回顾 【活动】画一画 下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c （1）3 4 5 （2）6 8 10 （3）5 12 13 ①这三组数都满足a2+b2=c2吗？ ②分别以每组数为三边作三角形，用量角器量量，它们都是直角三角形吗？ 【活动】探究画图 是否为直角三角形 三边平方之间有何关系 √ 怎样判定一个三角形是直角三角形呢？ 定义：有一个角是直角的三角形，是直角三角形。 反过来，只要证明三角形中，有一个直角即可！ 例：已知在△ABC中，∠A=55°，∠B=35°，证明△ABC是直角三角形。 证明： 旧知活用 证明猜想 如果一个三角形的三边满足两边平方之和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 A B C a b c 已知：△ABC，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2. 求证：∠C=90° A' B' C' a b 获得定理 如果三角形的三边a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角。 A B C a b c 勾股定理的逆定理 【符号语言】 怎样判定一个三角形是直角三角形？ （1）从角的数量关系考虑： A B C a b c 有两个角互余的三角形是直角三角形 A B C c a b （2）从边的数量关系考虑： 如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形. 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 定理归纳 勾股定理是否也能“反过来”使用呢？ 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2。 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理： 勾股逆定理： 定理学习 直角三角形 a2+b2=c2 a2+b2=c2 直角三角形 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。 已知：在ΔABC中，AB2 +AC2 =BC2 求证：ΔABC是直角三角形。 作Rt△A1B1C1，使∠A1=90°， A1B1=AB, A1C1=AC 证明： 由勾股定理得， A12B12+A12C12=B12C12 又∵ AB2 +AC2 =BC2 ∴ BC2 = B12C12 ∴ BC=B1C1 ∴ ΔABC≌△A1B1C1 (SSS) ∴ ∠A=∠A1=90° 因此，ΔABC是直角三角形。 定理证明 使用方法 步骤： ①确定最长边； ②算出最长边的平方及另两边的平方和； ③比较最长边的平方与另两边的平方和。 例 一个零件的形状如下图(左)所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如下图(右)所示，这个零件符合要求吗? 因此这个零件符合要求 做一做 如图，哪些是直角三角形，哪些不是？说说你的理由。 答案： ④⑤是直角三角形, ①②③⑥不是直角三角形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 常见勾股数： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 探究新知 勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5 2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 B A 如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流. 4 1 2 2 4 3 解:△ABE，△DEF，△FCB 均为直角三角形, 由勾股定理知 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5， BF2=32+42=25, 所以BE2+EF2=BF2, 所以△BEF是直角三角形. 勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 归 纳 反过来： 在一个三角形中，当两边的平方和等于第 三边的平方时，这个三角形是直角三角形吗？ 如果三角形两边的平方和等于第三边的平 方，那么这个三角形是直角三角形 Lavf57.62.100 $$