精品解析：北京市 朝阳区 2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

北京市朝阳区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 （考试时间90分钟　满分100分） 学校______ 班级______ 姓名______ 考号______ 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（ ） A. 4，4，5 B. 5，6，7 C. 8，8，8 D. 3，4，5 3. 如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，对角线相交于点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 8 5. 如图，在中，是边的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 13 6. 如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表： 时间 3 4 5 6 7 频数 1 6 8 12 9 5 1 则该班学生平均周阅读时间的众数是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 7. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将平行四边形沿对角线翻折，得到四边形，，交于点M，交于点．有如下四个结论：①；②；③四边形为菱形；④互相垂直且相等．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 10. 计算： =_____． 11. 写出一个图象经过第一、三象限的函数，其表达式为______． 12. 如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为______． 13. 如图，对角线的交点为坐标原点，若点坐标为，则线段的长为______． 14. 某校为增强学生体质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项测试．以下是某次八年级（1）班甲、乙两组男生引体向上测试的成绩： 甲组 乙组| 如果甲、乙两组成绩的方差分别为，则______（填“>”“<”或“=”） 15. 如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是______；若，，则的长为______． 16. 同一条公路连接A，B，C三地，地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，乙车休息前、后的速度不变（乙车加、减速时间忽略不计）．甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系如图所示．两地相距______km；甲车行驶______h，甲、乙两车相距． 三、解答题（共52分，第17－24题，每题5分，第题，每题6分） 17. 计算：． 18. 如图，已知中，点E，F分别在上，且．求证：． 19. 已知，，求代数式的值． 20. 在四边形中，，点在边上，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点，若，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，已知直线经过点和． （1）求直线的表达式及该直线与轴交点的坐标； （2）若当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0，直接写出的取值范围． 22. 2025年3月31日是第30个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动，该校七、八年级各有200人，都参加了此次竞赛活动．现从七、八年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩分成四组：），并给出下面部分信息： a．七年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图： b．七年级抽取的学生竞赛成绩在组的成绩为： c．八年级抽取学生竞赛成绩为： d．七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数为： 年级 平均数 中位数 七 87 p 八 87 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出表中的值； （2）如果去掉八年级抽取的学生竞赛成绩中的一个最高分和一个最低分，记剩下13个成绩的平均数为，则______87；（填“”“”或“”） （3）请你估计该校七、八年级学生此次竞赛活动成绩达到90分及以上的总人数． 23. 学校科技创新小组有两个加工同种实验液体的装置，分别为1号装置、2号装置．当1号装置、2号装置的加工时间都为时，分别记录了1号装置中加工的实验液体的体积（单位：）和2号装置中加工的实验液体的体积（单位：），部分数据如下： 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2.4 4.8 6.0 7.2 8.4 9.6 10.8 12.0 0 0.2 0.6 1.1 2.0 3.2 4.7 6.6 8.9 11.6 （1）写出表中的值；（结果保留小数点后一位） （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决问题： 若两个装置同时开始加工，当1号装置与2号装置加工实验液体的体积相差最大时，1号装置停止加工． ①此时的加工时间为______h；（结果保留小数点后一位） ②2号装置再加工______h，与1号装置加工的实验液体的体积相等．（结果保留小数点后一位） 24. 在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点，两个函数图象在点上方的部分及点组成图形． （1）当时，求点的坐标； （2）已知和是图形上两点．若对于，都有，求的取值范围． 25. 如图，在中，，点在边上（不与点B，C重合），四边形为正方形． （1）直接写出与之间的数量关系； （2）过点作，垂足为，求证：； （3）在（2）条件下，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，，，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． （1）如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； （2）过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市朝阳区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 （考试时间90分钟　满分100分） 学校______ 班级______ 姓名______ 考号______ 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】选项A：，被开方数3是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式条件； 选项B：，被开方数为分数，且分母10含非平方因子，需分母有理化，故不是最简； 选项C：，分母含根号，需化简为，故不是最简； 选项D：，被开方数8含平方因子4，可进一步化简，故不是最简． 故选：A． 2. 以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（ ） A. 4，4，5 B. 5，6，7 C. 8，8，8 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足 （其中为最长边），则该三角形为直角三角形．逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、最长边为5，验证 ，而 ， ， 不满足勾股定理，不能组成直角三角形； B、最长边为7，验证 ，而 ， ， 不满足勾股定理，不能组成直角三角形； C、三边相等，为等边三角形，各角均为，非直角三角形； D、最长边为5，验证 ，而 ， ， 满足勾股定理，能组成直角三角形， 故选：D． 3. 如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位线，菱形的性质，解题的关键是证明是的中位线．证明是的中位线，得到，再根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 故选：C． 4. 如图，在矩形中，对角线相交于点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质．根据矩形的性质，可得，可证明是等边三角形，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B 5. 如图，在中，是边的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，斜边上的中线，根据勾股定理可以求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长． 【详解】解：，， ， D是边的中点， ， 故选：C． 6. 如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表： 时间 3 4 5 6 7 频数 1 6 8 12 9 5 1 则该班学生平均周阅读时间的众数是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了众数的定义，正确理解众数的定义是解题的关键． 根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据，直接观察频数分布表中频数最大的对应时间即可． 【详解】由表格可知，周阅读时间及其对应频数分别为：（1次）、（6次）、（8次）、（12次）、（9次）、（5次）、（1次）．其中频数最大的是12次，对应的时间为．因此，该班学生平均周阅读时间的众数是． 故选：A． 7. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方程组的解，两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，已知交点，将代入直线方程即可求出的值，从而确定方程组的解． 【详解】解：直线与相交于点， 该点的坐标同时满足两个直线方程， 将代入， 得：， 因此， 交点坐标为， 方程组的解即为两条直线的交点坐标，故解为， 故选：B． 8. 如图，将平行四边形沿对角线翻折，得到四边形，，交于点M，交于点．有如下四个结论：①；②；③四边形为菱形；④互相垂直且相等．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，通过证明三角形全等得出边和角的关系，进而判断各个结论是否正确． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②由折叠得，， ∴， ∴，故②正确； ③由①可知，， 同理可得 ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形为菱形，故③正确； ④连接、、，、分别与交于点，如图， 由折叠得，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∴，即，但无法判断的相等关系，故④错误， 综上，正确的结论是①②③， 故选：C． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，则，即． 故答案为： 10. 计算： =_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题利用二次根式的除法法则进行计算即可求出答案． 【详解】解： 故答案为． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，此题较简单，解题时要利用二次根式的除法法则进行计算是本题的关键． 11. 写出一个图象经过第一、三象限的函数，其表达式为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，当时，图象过第一，三象限，当时，图象过第二，四象限，即可解答． 【详解】解： 经过第一、三象限的函数可以是， 故答案为：（答案不唯一） 12. 如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，从而得到答案．熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，在中，，，，则由勾股定理可得， 以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点， ， 则点表示的数为， 故答案为：． 13. 如图，对角线的交点为坐标原点，若点坐标为，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质．利用平行四边形的性质求出即可． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形，是对角线的交点， ， 故答案为：． 14. 某校为增强学生体质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项测试．以下是某次八年级（1）班甲、乙两组男生引体向上测试的成绩： 甲组 乙组| 如果甲、乙两组成绩的方差分别为，则______（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义． 根据方差的定义列式计算即可． 【详解】解：， ． ， ． 所以：． 故答案为：． 15. 如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是______；若，，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：；3． 16. 同一条公路连接A，B，C三地，地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶，乙车休息前、后的速度不变（乙车加、减速时间忽略不计）．甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系如图所示．两地相距______km；甲车行驶______h，甲、乙两车相距． 【答案】 ①. 20 ②. 【解析】 【分析】（1）根据图象的信息即可解答； （2）求出点E的坐标，分甲车在线段段、甲车在线段段、甲车在线段段三种情况解答即可求解． 【详解】解：由图象得，当时，， 两地相距， 故答案为：20； 当时，乙车开始休息，当时，乙车重新出发， 乙车中途休息，22,60 从点过程中，只有甲车行驶， 甲车的速度为， 点甲行驶的时间为， ， 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， 线段所在直线的函数解析式为， 把代入得， 解得； 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， 线段所在直线的函数解析式为， 把代入得， 解得； 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， 线段所在直线的函数解析式为， 把代入得， 解得， 综上，甲车行驶小时或小时或小时，甲、乙两车相距． 【点睛】本题考查了函数的图象，一次函数的实际应用，求一次函数的解析式，读懂函数图象的信息是解题的关键． 三、解答题（共52分，第17－24题，每题5分，第题，每题6分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 18. 如图，已知中，点E，F分别在上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，进而可证明四边形是平行四边形，则． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 19. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、二次根式的混合运算等知识点．先求出、，然后再对原式因式分解，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 20. 在四边形中，，点在边上，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是解答的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论； （2）由菱形的性质得到，然后利用勾股定理求得即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ． 在中，， 根据勾股定理，得， ． 21. 在平面直角坐标系中，已知直线经过点和． （1）求直线的表达式及该直线与轴交点的坐标； （2）若当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0，直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，一次函数的图象与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直线经过点和，利用待定系数法即可求得表达式，然后求得当时，的值，得到与轴的交点的坐标； （2）根据函数的值小于函数的值，且大于0，列出不等式组求得，结合，得到，解之即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点和， ∴，解得， ∴该直线的表达式为， ∵当时，， ∴该直线与轴交点的坐标为． 【小问2详解】 解：根据题意可得， 解得 ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 22. 2025年3月31日是第30个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动，该校七、八年级各有200人，都参加了此次竞赛活动．现从七、八年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩分成四组：），并给出下面部分信息： a．七年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图： b．七年级抽取的学生竞赛成绩在组的成绩为： c．八年级抽取的学生竞赛成绩为： d．七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数为： 年级 平均数 中位数 七 87 p 八 87 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出表中的值； （2）如果去掉八年级抽取的学生竞赛成绩中的一个最高分和一个最低分，记剩下13个成绩的平均数为，则______87；（填“”“”或“”） （3）请你估计该校七、八年级学生此次竞赛活动成绩达到90分及以上的总人数． 【答案】（1）88 （2） （3）160人 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义得出P为排序后第八名学生的成绩； （2）根据去掉的两个成绩为69和100，原来15个人的平均分为87分，求出剩余13个人的平均分即可得出答案； （3）用200人乘以抽取的七、八年级学生竞赛成绩中90分及以上的人数所占百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一共抽取七年级学生15人， ∴中位数是排序后的第8个数据， ∵， ∴第8个数据落在C组， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意可知：去掉的最低分为69分，最高分为100分， ∵抽取的15个人的平均分为87分， ∴剩余13个人的平均分为：； 【小问3详解】 解：根据频数分布直方图可得，抽取的七年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个； 根据抽取的八年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个； ∴该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人）， 答：该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为160人． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，频率，以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用，正确从统计图中获取需要数据． 23. 学校科技创新小组有两个加工同种实验液体的装置，分别为1号装置、2号装置．当1号装置、2号装置的加工时间都为时，分别记录了1号装置中加工的实验液体的体积（单位：）和2号装置中加工的实验液体的体积（单位：），部分数据如下： 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2.4 4.8 6.0 7.2 8.4 9.6 10.8 12.0 0 0.2 06 1.1 2.0 3.2 4.7 6.6 8.9 11.6 （1）写出表中的值；（结果保留小数点后一位） （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决问题： 若两个装置同时开始加工，当1号装置与2号装置加工的实验液体的体积相差最大时，1号装置停止加工． ①此时的加工时间为______h；（结果保留小数点后一位） ②2号装置再加工______h，与1号装置加工的实验液体的体积相等．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）3.6； （2）见解析 （3）①；②（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查函数与图象，从数据中发现规律，得到函数关系是解题的关键． （1）观察表格可发现，当x每增加时，的值增加，据此即可解答； （2）将表格数据描点，并连线即可解答； （3）①观察函数图象，得到体积相差最大时所对应的自变量的值即可解答； ②观察函数图象，得到1号装置停止加工，2号装置大约在什么时刻得到和1号装置相同的体积，减去①中得到的时间即为2号装置再加工需要的时间． 【小问1详解】 解：观察表格可发现，当x每增加时，的值增加， ∴； 【小问2详解】 解：将表格数据描点，并连线，得 【小问3详解】 解： ①观察函数图象可得，当时，实验液体的体积相差最大． ②当1号停止加工时，观察函数图象可得2号需要到8小时时，与1号装置加工的实验液体的体积相等， ∴2号装置再加工的时间为：（小时）． 故答案为：①；②（答案不唯一） 24. 在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点，两个函数图象在点上方的部分及点组成图形． （1）当时，求点的坐标； （2）已知和是图形上的两点．若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组求函数交点，一元一次不等式，一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将代入两个函数表达式，然后联立，解方程组即可得到答案； （2）先联立两个函数，求得点坐标，然后判断出点在上，将其代入，求得，然后分在函数图象与函数上两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：当时，函数表达式分别为，. 根据题意，得， 解得， . 【小问2详解】 解：联立，解得， 那么， 由题意可知，时，在上，那么有： 当时，代入，得到. 当在上时，代入，. ， ， ； 当在上时，代入，． ， ， ； 综上所述，的取值范围是或． 25. 如图，在中，，点在边上（不与点B，C重合），四边形为正方形． （1）直接写出与之间的数量关系； （2）过点作，垂足为，求证：； （3）在（2）的条件下，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）见解析； （3），证明见解析． 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，特殊四边形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结果； （2）作，交的延长线于点，根据正方形的性质得出，再由矩形的判定和性质及全等三角形的判定和性质证明即可； （3）作于点，根据正方形的性质及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：；理由如下： ∵，四边形为正方形． ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，作，交的延长线于点 ， 四边形为正方形， 设交于点， ， 四边形为矩形 矩形为正方形 ； 【小问3详解】 证明：如图，作于点. 四边形为正方形， ， 在中，根据勾股定理得 26. 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，，，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． （1）如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； （2）过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______． 【答案】（1），； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）分别写出，，，关于轴对称的坐标，即可得出答案，然后再写出相应的中点坐标，求出其距离即可； （2）①过点作轴的垂线，那么该直线为，然后写出点，关于直线的对称点为，，据题意可知，点，，在矩形的外面，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和讨论即可得出答案；②点，关于直线的对称点为，，根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和分别讨论出的范围，进而得到的范围． 小问1详解】 解：由题意可知，，，关于轴对称的坐标分别为，，在矩形的内部，，关于轴对称的坐标分别为，，不在矩形的内部， 那么矩形关于轴的对称线段的是，如图所示： 那么、的中点为，，即、， 那么、之间的距离为，该线段到矩形的对称距离为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，，在矩形的外面， ，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 综上，； 故答案为：； ②过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 综上，； 则线段到矩形的对称距离的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了“对称线段”，“对称距离”，两点距离公式，两点的中点公式，轴对称的性质，理解“对称线段”和“对称距离”，画出图形数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$