精品解析：四川省南充市营山县西城实验初级中学校2024-2025学年下学期八年级数学 期中测试题

2025年春季期中学情监测八年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，答案涂在答题卡上） 1. 二次根式有意义，则x的值不可以是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行判断即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 故x的值不可以是． 故选D． 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 9，12，15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，熟练掌握此知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、，，，故此选项不能作为直角三角形的三边长，符合题意； B、，，，故此选项能作为直角三角形的三边长，不符合题意； C、，，，故此选项能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、，，，故此选项能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：A． 3. 下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 一条对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质解题即可． 【详解】解：A、菱形和正方形的对角线都互相平分，不符合题意； B、正方形的对角线都相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意； C、正方形与菱形的对角线都互相垂直，不符合题意； D、菱形和正方形的一条对角线都平分一组对角，不符合题意； 故选：B． 4. 比较大小：，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 5. 如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质和已知条件可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴． ∴的周长． 故选：C． 6. 如图所示，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形面积的计算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键．对角线，交于点，则为直角三角形，在中，已知，根据勾股定理即可求得的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得的长度，即可解题． 【详解】解：对角线，交于点，则为直角三角形 则．， ， 菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算， 即， ∴， 故选：B． 7. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．首先将原式变形，进而利用乘法公式代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 8. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，，则等于（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．延长交于点，证明，得到，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 是的中位线， ． 故选C． 9. 如图，在正方形中，，O、E、F、M分别为的中点，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，则；在中，由勾股定理求得，由直角三角形斜边上中线的性质，求得，从而求得． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴； ∵四边形为正方形，， ∴，； ∵点E为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点F为直角三角形斜边上中点， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 10. 如图，门上钉子P处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌，测得，．（如图1），当挂牌水平悬挂（即与地面平行）时，测得挂绳．将该门挂的挂绳长度缩短后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现与地面平行，且点P、D、C三点在同一直线上，则点B的高度下降了多少厘米？（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图1，作，则，由勾股定理得，，即到的垂直距离为；如图2，作于，作于，则缩短后，由勾股定理得，，设，则，由勾股定理得，，即，可求，，则，由，可求，，则到的垂直距离为；然后根据点的高度下降了，计算求解即可． 【详解】解：如图1，作于E， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴到的垂直距离为； 如图2，作于，作于， 由题意知，缩短后， ∵长方形挂牌，点、、三点在同一直线上， ∴， 由勾股定理得，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，即， 解得，， ∴到的垂直距离为； ∴点的高度下降了， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，答案写在答题卡上） 11. 如果代数式有意义，那么的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列不等式计算即可得解． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 12. 如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，根据，点M表示的数为，由此即可解决问题． 【详解】解：由已知可得， 在中，， ， 点M表示的数为． 13. 如图，已知在中，，，，D是边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上的点E处，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角性质以及含角的直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．先利用互余计算出，再根据折叠的性质得到，根据三角形外角性质计算出，再根据含角的直角三角形进行计算即可． 【详解】解：， ， 将沿翻折，点A恰好落在边上的点E处， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 已知，则代数式的值是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 若是整数，则正整数的值为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由题意得：，解得；根据是整数，得出为平方数；据此即可求解； 【详解】解：由题意得：，解得； ∵是整数， ∴为平方数； ∵为正整数， ∴或或 故答案为：或或 16. 如图，在正方形外取一点E，连接，，．过点A作的垂线交于点P．若，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，可证明，故①正确；根据全等三角形的性质可得，再由是等腰直角三角形，可得，故②正确；从而得到，根据勾股定理可得，故③错误；再由全等三角形的性质可得，从而得到，故④正确；连接，再由全等三角形的性质可得，可求出，从而得到，进而得到（负值舍去），故⑤错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴，故④正确； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去），故⑤错误； 综上所述，正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分；解答题应写出必要的文字说明或推演步骤） 17. 计算 （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键； （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的混合运算法则求解即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 18. 实数、、在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出、、的大小并正确运用二次根式和绝对值的性质是解题关键．根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可解答． 【详解】解：由数轴得，，， ，，， ． 19. 已知x，y，z满足． （1）求x，y，z的值； （2）以x，y，z为边能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，见解析 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、二次根式的化简和勾股定理的逆定理，熟练掌握上述基本知识是解题的关键； （1）根据非负数的性质结合二次根式的性质求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理计算判断即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：不能构成直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴以x，y，z为边不能构成直角三角形． 20. 如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，由互余得，故； （2）由（1）得，，故． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：， ，， ， ． 21. 如图，和均为等腰直角三角形，，连接、，且、、三点在一条直线上，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据证明两个三角形全等即可． （2）利用全等三角形的性质证明，求出即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，为矩形的对角线，将矩形分别沿折叠，使点B落在上的点M处、点D落在上的点N处． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， ， 根据折叠的性质可知，， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知，所以可证，根据角平分线的性质可证，从而可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； 根据勾股定理可求，设，则，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，即为，可知，利用平行四边形的面积公式可求结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ∴， ，， ， 设，则， ∴由折叠知：，，， ， 在中，， ， 解得：， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： （1）当点满足什么条件时，的值最小？ （2）某同学发现：设，则，则，可以求出当________时，的值最小，且最小值为________； （3）结合（1）（2）问，请利用数形结合、方程思想的数学思想方法求当x为何值时？代数式有最小值，最小值为多少？ 【答案】（1）当点到点的距离为时，的值最小 （2）； （3）当x为时，代数式有最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）如图，连接交于点C′，当点C与点重合时，的值最小，求出此时的长即可； （2）利用（1）中结论解答即可； （3）构造模型，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，连接交于点， ∵，当点与点重合时取“”， 此时取得最小值，最小值为的长， 过点作交的延长线于点，连接， ∴， 根据题意：，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，的值最小，最小值为， 即当点到点的距离为时，的值最小； 【小问2详解】 设，则， ∵，，，， ∴，， ∴， 由（1）知：当时，的值最小，最小值为； 故答案为：；； 【小问3详解】 如图，，，，，，交于点， 设，则， ∴，， ∴， 当点、、共线时，取得最小值，最小值为的长， 过点作交的延长线于点，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为， ∵， ∴， 解得：， ∴当x为时，代数式有最小值，最小值为． 【点睛】本题属于最短路径问题，考查了勾股定理，矩形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，学会构造模型解决问题，学会用面积法解决问题． 25. 如图，在平行四边形中，点P是上的一个动点，连接，是边上的高． （1）若四边形是菱形，，求的度数； （2）若，，，，求的长； （3）过点P作交线段于点F，过点B作于点H，交于点N．若，，，求证：． 【答案】（1）； （2）5； （3）证明过程见详解． 【解析】 【分析】（1）利用菱形性质和已知条件得度数，及，再根据平行线性质即可求解； （2）根据题意，利用勾股定理求线段长即可； （3）连接，根据题意可证，得线段间的关系，再证，得，等量代换即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，， ，， ， ； 【小问2详解】 是边上的高， ， 由勾股定理可得， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，解得：， ， ； 【小问3详解】 证明：连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期中学情监测八年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，答案涂在答题卡上） 1. 二次根式有意义，则x的值不可以是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 9，12，15 3. 下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 一条对角线平分一组对角 4. 比较大小：，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5 8. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，，则等于（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 9. 如图，在正方形中，，O、E、F、M分别为的中点，则的长等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，门上钉子P处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌，测得，．（如图1），当挂牌水平悬挂（即与地面平行）时，测得挂绳．将该门挂的挂绳长度缩短后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现与地面平行，且点P、D、C三点在同一直线上，则点B的高度下降了多少厘米？（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，答案写在答题卡上） 11. 如果代数式有意义，那么的取值范围是________． 12. 如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为______． 13. 如图，已知在中，，，，D是边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上的点E处，那么_________． 14. 已知，则代数式的值是 ______． 15. 若是整数，则正整数的值为________． 16. 如图，在正方形外取一点E，连接，，．过点A作的垂线交于点P．若，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分；解答题应写出必要的文字说明或推演步骤） 17. 计算 （1）； （2）； 18. 实数、、在数轴上的位置如图所示，化简． 19. 已知x，y，z满足． （1）求x，y，z的值； （2）以x，y，z为边能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 20. 如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． （1）求证：； （2）求证：． 21. 如图，和均为等腰直角三角形，，连接、，且、、三点在一条直线上，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，为矩形的对角线，将矩形分别沿折叠，使点B落在上的点M处、点D落在上的点N处． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 23. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 24. 如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： （1）当点满足什么条件时，的值最小？ （2）某同学发现：设，则，则，可以求出当________时，的值最小，且最小值为________； （3）结合（1）（2）问，请利用数形结合、方程思想的数学思想方法求当x为何值时？代数式有最小值，最小值为多少？ 25. 如图，在平行四边形中，点P是上的一个动点，连接，是边上的高． （1）若四边形是菱形，，求的度数； （2）若，，，，求的长； （3）过点P作交线段于点F，过点B作于点H，交于点N．若，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $