河南省三门峡市2024-2025学年高一下学期7月期末质量检测数学试题

答案第 1页，共 6页 ★2025年 7月 8日 2024—2025 学年度下学期期末质量检测 高一数学参考答案 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B C D A D 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 题号 9 10 11 答案 BC ACD AC 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．3 3 13．3 14． 3π 4 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分 13 分） 【解析】 （1）连结 PO，如下图示： ∵P、O分别为 SB、AB的中点， ∴OP SA ，又 PO 平面 PCD， SA平面 PCD， ∴ SA  平面 PCD. （2）∵ 2PB  ，P为 SB的中点， ∴ 4SB  . ∴ 2 2 2 24 3 7OB SB SO     ， ∴圆锥 SO的表面积 π ( + ) (7 4 7)πSOS OB OB SB    圆锥 . 答案第 2页，共 6页 16．（本小题满分 15分） 【解析】 （1）  0.005 0.010 0.015 0.040 10 1x      ，则 0.030x  ， 0.05 0.1 0.15 0.3 0.4    ； 0.3 0.3 0.6 0.4   ， 故 40百分位数在  80,90 ，则 40百分位数为 0.4 0.380 10 83.3 0.6 0.3      ， 平均数 55 0.05 65 0.1 75 0.15 85 0.3 95 0.4 84x            ； （2）因为按比例分配的分层随机抽样， 故  50,60 ，  60,70 ，  70,80 三层中抽取的样本量分别为： 0.056 1 0.05 0.10 0.15     ； 0.16 2 0.05 0.10 0.15     ； 0.156 3 0.05 0.10 0.15     从这 6人中随机抽取两人，记  50,60 中抽取的人编号为 1，  60,70 抽取的人编号为 2、3，  70,80 抽取的人编号为 4、5、6， 记事件 A  “抽取的两人都及格”，则                               Ω 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 4,5 , 4,6 , 5,6 ， 所以  Ω 15n  ；                     2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 4,5 , 4,6 , 5,6A  ， 所以   10n A  ；     10 2( ) Ω 15 3 n A P A n     . 17．（本小题满分 15分） 【解析】 （1）在 ABC△ 中，若  sin sin sin 0b B c C c a A    ， 由正弦定理得 2 2 2 0b c ac a    ， 答案第 3页，共 6页 故 2 2 2 1 2 a c b ac     ， 即 2 2 2 1 2 2 a c b ac    ，由余弦定理得 1cos 2 B  ， 因为 0 πB  ，故 π 3 B  . （2）因为 ( , 2), (1, )m a n c     ，所以 2m n a c     ， 由（1）得 π 3 B  ，因为 2b  ，由正弦定理得， 2 4 3 πsin sin 3sin 3 a c A C    ， 则 4 3 sin 3 a A ， 4 3 4 3 π 2 3sin sin sin 2cos 3 3 3 3 c C A A A         于是， 4 3 2 32 sin 2 sin 2cos 4cos 3 3 a c A A A A             ， 因为 2π0 3 A  ，所以 1 cos 1 2 A   ，故 4 2 2a c    ， 所以m n   的范围是 ( 4,2) ． 18．（本小题满分 17分） 【解析】 （1）因为 PO 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，所以 PO AC ， 因为 ABCD为菱形，所以 AC BD ， 又 ,BD PO O BD  平面 ,PBD PO 平面 PBD， 所以 AC 平面 PBD , 又 AC 平面 ACE， 所以平面 ACE 平面 PBD . （2）连接OE，因为 BP  平面 ACE， BP 平面 PBD , 平面 PBD 平面 ACE OE , 所以 BP  OE， 因为O是 BD中点， 所以 E 是 PD中点. 答案第 4页，共 6页 因为 PO 平面 ABCD， 所以 E 到平面 ABCD的距离 1 1 2 h OP  . 因为菱形 ABCD中， 120BAD  ， 2AB  ， 所以 1 sin120 = 3 2       ACD BADS S AB AD , 所以 1 3 3 3A CDE E ACD ACD V V S h       . （3）由 AC 平面 PBD，OE 平面 PBD，OP 平面 PBD， 得 ,AC OE AC OP  ， 故 POE 即为二面角 P AC E  的平面角. 当CE取得最小值时,CE PD ,又 AC PD , 所以 PD ACE平面 , 所以 PD OE , 菱形 ABCD中，计算得 2 3, 3BD OD  ， 又 2PO  ，所以 2 22 ( 3) 7PD    ， 在 POD△ 中， 1 1 2 2 PD OE OP OD     ，解得 2 21 7 OE  . 在 POE△ 中， 21cos 7 OEPOE OP    ， 所以二面角 P AC E  的余弦值为 21 7 . 19．（本小题满分 17分） 【解析】 （1）由正弦定理，已知 2 cos sincos tan a A BB c C   ，可化为 sin sinsin cos 2sin cos tan C BC B A A C   ， 即 2sin cos sin cos cos sinA A B C B C  ， 即  2sin cos sin sinA A B C A   ， 由于 0 π,sin 0A A   ， 所以 1cos 2 A  ， 所以 π 3 A  . （2）由（1）知，△ABC的三个内角均小于 120°，所以 答案第 5页，共 6页 120APB BPC CPA     设 , ,PA x PB y PC z      ，则 1 1 1 4 2 2 2 PA PB PB PC PA PC xy yz xz                                      ． 所以 8xy yz xz   ， 由 APB BPC APC ABCS S S S      得： 1 3 1 3 1 3 1 πsin 2 2 2 2 2 2 2 3 xy yz xz bc      ， 即 8bc  ， 由余弦定理得， 2 2 2 2 cosa c b bc A   ， 即 2 2 2 2 112 2 8 2 c b bc c b       ，即 2 2 20c b  ， 又b c ，联立 2 2 20 8 c b bc      解得 4, 2c b  ． 所以 ABC△ 的周长为 6 2 3a b c    . （3）由（2）知，在 , ,PAB PBC PAC△ △ △ 中，由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 16 4 12 x y xy x z xz y z yz             ， 联立 8xy yz xz   得 2 2 2 12x y z   ， 所以    2 2 2 2 2 28x y z x y z xy yz xz         ， 所以 2 7x y z   ，   4 2 4 2 2 7 0x x x xf x m PA PB PC m              ， 答案第 6页，共 6页 即 2 72 2 x xm   ，令  2 , 1,2xt t  ， 由对勾函数性质知 2 7y t t   在  1,2t 上单调递减， 所以 min 2 7 2 72 2 7 2 m t t             ．即m的取值范围为  ,2 7   ． ★2025年7月8日 2024一2025学年度下学期期末质量检测 高一数学 注意事项： 1.答题时，考生务必将木人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并将条形网 准确粘贴在条形码区城内」 2.法择题答策使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再速涂其他答案标号： 非选择题答素使用05毫米的黑色墨水荟字笔书写，字体工整、笔速济楚， 3.请按服题号在各题的答题区战（黑色线柜）内作答，越出答题区城书写的答案无效 4保持卡面清洁，不折叠，不玻损。 5.考试结来，将答题卡交回」 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是 A平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 2.从22,33,44,55这4个数中一次性地任取两个数，则这两个数的和大于87的概率为 A月 3.已知复数z满足(z+3i=3-i,则z= A.4-3i B.4+3i C.4-3i D.-4+31 4.若D为△ABC的边BC的中点，则AC= A.2AB-AD B.-A历+2而 C.-AB-2AD D.2AB+AD 5.已知m,n表示两条不同的直线，心表示平面，则下列命题错误的是 A若mfa,nlla,则m,n可能平行、异面或者相交 B.若m/la,m⊥n,则n与a可能平行、相交或者nca C.若m⊥a,m⊥n,则nca D.若m⊥a,nca,则m⊥n 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos B=bcos4,且a=2,c=3,则 CosC= c寻 【高-数学试卷第1页（共4页）】 7.在正方体ABCD-AB,CD中，三棱锥B-ADC,的体积为9，则正方体ABCD-AB,C,D,的 棱长为 A.3 B.4 C.6 D.8 &如图，在△MBC中，∠B1C=行而=2丽，P为CD上-点， 且满足P=mC+B,若△4BC的面积为25，则园的最小值为 A. C.3 D.5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共8分在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在复平面内，复数乙=1-21乙2=-3+4i对应的向量为0A,0丽，其中0是原点，则下列说 法正确的是 A.复数z的虚部为-2i B.复数乙对应的点在第一象限 C.当a=4时，复数a+z,为纯虚数D.向量AB对应的复数为4-6 10.已知P(4)=0.5,P(B)=0.3,则下列说法中正确的是 A.若A,B互斥，则P(4UB=0.8B.若A,B互斥，则P(AB)=0.15 C.若A,B独立，则P(4UB)=0.65 D.若A,B独立，则P4B=0.85 1山.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，然后朝者山顶方向，沿倾斜角为B的斜坡向上 走am到达B处，在B处测得山顶P的仰角为y,则山高h= asi恤asin(y-） B. asinasin(y-a） A sin(y-a) sin(7-B) C. asinysin(a-B) +asin B D. asinysin(si sin(y-a) sin(r-B) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知正方体的内切球体积为1，则该正方体的外接球体积为。 13.已知向量ā，6，c在网格中的位置如右图所示.若网格纸上小正方形 的边长为l,则(a-2bc= 【高-一数学试卷第2页（共4页）】 14.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，通常用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面 体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的 面角，角度用弧度制，例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为二，所以正 四面体在各顶点的由率为2-子×3=元，在底面为矩形的四棱维P-0CD中，PAL底 面ABCD,AD=V2PA,PC与底面ABCD所成的角为二，在四棱锥P-ABCD中，顶 点B的曲率为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图，S为圆锥顶点，0是圆锥底面圆的圆心，AB、CD为底面圆的两条直径，且SO=3,PB=2, P为SB的中点 (1)求证：SM/平面PCD; (2)求圆锥S0的表面积 16.(本小题满分15分) 某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后得到如图所示的频率分 布直方图. (1)试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）方 (2)若用分层随机抽样的方法从[50,60)，[60,70)，[70,80)三层中抽取一个容量为6的样 本，再从这6人中随机抽取两人求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率， 个频率组距 0.040 0015 0010 0005 506070809010成绩 17.(本小题满分15分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin B-esinC+(c-a)sinA=0. (1)求B的值； (（2)若b=2,m=(a,-2),#=0,c),求mn的取值范围， 【高一数学试卷第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=2,AC门BD=O,PO⊥ 底面ABCD,OP=2,点E在棱PD上. (1)求证：平面ACE⊥平面PBD; (2)若BPI平面ACE,求'Acs; (3)当CE取得最小值时，求二面角P-AC-E的余弦值。 19.(本小题满分17分) 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601-1665)于1643年提出的平面几何极 值向题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.费马 问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△4BC 的三个内角均小于120时，则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120的点P即为费马点.在△4BC 中，角4，B,C的对边分别为a6,c,且cosB=2 acos.d_血B.若P是△ABC的”费马 c tanC 点"，a=2W5,b<c. (1)求角A: (2)若PA,PB+PB.PC+PC.PA=-4,求△ABC的周长； (3)在(2)的条件下，设fx)=4-m2+PA+PB引+PC1,若当x∈[0，]时，不等式 f(x)之0恒成立，求实数m的取值范围 【高一数学试卷第4页（共4页）】