精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第二中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

2025年下学期高二数学期末考试 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 为调查中学生近视情况，随机抽取某校男生150名，女生140名，其中，男生中有80名近视，女生中有70名近视.在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时，最有说服力的方法是（　　） A. 均值与方差 B. 排列与组合 C. 概率 D. 独立性检验 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计中的相关概念逐项分析判断. 【详解】检验两个变量是否相关时，应选择独立性检验. 故选：D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可. 【详解】因为命题是全称量词命题，则命题为存在量词命题， 由全称量词命题的否定得，命题：. 故选：D. 3. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中，）.如图所示，设点、、是相应椭圆的焦点，、和、是“果圆”与轴和轴的交点，若是边长为1的等边三角形，则，的值分别为（ ） A. ，1 B. ，1 C. 5，3 D. 5，4 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知， ，， ∴. 又， ∴，. ∴，. 故选：A. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，可得， 令，可得， 所以， 故选：A 5. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】即不等式对应函数图象与x轴相切或在x轴上方，据此可得答案. 【详解】因关于的不等式的解集为， 则图象与与x轴相切或在x轴上方， 当时，，此时的解集不是R 则. 故选：B 6. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，求出导函数，可求得极值点分别为或，再分类讨论，确定原函数的单调区间，结合极小值的定义，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为，则函数的定义域为， 则， 令，解得：或， 若，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极小值，符合题意； 若当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极大值，不符合题意，舍去； 当时，即，则恒成立，此时函数单调递增，没有极值，不符合题意，舍去； 当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极小值，符合题意. 综上，实数的取值范围是 故选：C. 7. 已知实数a，b，c满足，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的性质可得，，再构造函数，利用导数判断，再构造，利用导数判断出函数的单调性，再由单调性即可求解. 【详解】由题意可得均大于， 因为，所以， 所以，且， 令，， 当时，，所以在单调递增， 所以，所以，即， 令，，当时，， 所以在上单调递减， 由，， 所以， 所以， 综上所述，. 故选：A 8. 若数若关于的方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为方程有两个不相等实数根，画出的图象，根据数形结合的思想即可得出结果. 【详解】作出的图象如下图： 可化为，解得或，由图可知无解，故问题等价于有两个不相等实数根，由图象可得． 故选：． 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知直线l：，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线l在y轴上的截距是2 B. 直线l的斜率为 C. 直线l不经过第三象限 D. 直线l的一个方向向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的截距，斜率，方向向量等特征直接判断. 【详解】对于A，直线方程可变为，截距是2，故A正确； 对于B，斜率，故B错误； 对于C，由直线方程可知，故直线l不经过第三象限，故C正确； 对于D，该直线的一个方向向量为，与平行，故D正确； 故选：ACD 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式结合对数和指数的运算逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，因为，所以，故， 又因，当且仅当时取等号， 所以，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BCD. 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中.“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数.下列结论正确的是（ ） A. B. 第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的 C. 记第行的第个数为，则 D. 记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，第行的第3个数字为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用组合数性质可判断A；根据二项式系数性质判断BC；确定，根据数列的裂项求和，判断D。 【详解】对于A，由于， 故164，A错误； 对于B，由于2024为偶数，这一行共有2025项，故这一行中的中间一项最大， 第2024行中从左往右第1013个数是中间项，是该行中所有数字中最大的，B正确； 对于C，第行的第个数为， 故，C错误； 对于D，由题意可知， 故 ，故D正确， 故选：BD 三、填空题（共15分） 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据两点分布确定X的期望，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，， 所以， 所以， 因为，所以 故答案为：0. 13. 已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件得到的图象关于对称，结合函数单调性，建立不等式，解出即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 函数的图象关于对称， 又在上单调递增，， 所以，解得． 故答案为：. 14. 在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据已知可确定，由此构造方程求得的取值范围. 【详解】由圆的方程知其圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则； 圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则， 即，解得：或， 的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据圆上点到直线距离为定值的点的个数求解参数范围问题，解题关键是能够根据圆上点到直线距离为，确定圆心到直线距离与满足. 四、解答题（共80分） 15. “茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. （1）从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； （2）若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用全概率公式计算即可； （2）应用贝叶斯公式计算即可. 【小问1详解】 设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件， ， 所以； 【小问2详解】 设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件， ， 则. 16. 电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为9：11，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人． （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？ 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 没看过《庆余年2》 50 总计 1000 （2）在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． a 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 400 500 900 没看过《庆余年2》 50 50 100 总计 450 550 1000 0 1 2 3 ，无关 （2）的分布列如下表，【解析】 【分析】（1）补充完表格计算卡方，然后判断是否大于等于6.635； （2）服从超几何分布，根据超几何分布概率公式计算即可. 【小问1详解】 男居民人数人，女居民人数人， 设看过《庆余年2》的人数为，没看过《庆余年2》的人数为， 则， 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 400 500 900 没看过《庆余年2》 50 50 100 总计 450 550 1000 提出假设：是否观看过《庆余年2》与性别无关， ， 所以根据小概率值，可以认为是否观看过《庆余年2》与性别无关. 【小问2详解】 由（1）可知，在看过《庆余年2》的人中随机抽取9人中，男性居民有4人，女性居民有5人，服从超几何分布， ，， ，， 所以的分布列如下表 0 1 2 3 . 17. 已知抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点， （1）当时，求抛物线的方程； （2）若双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程和准线的方程. 【答案】（1）；（2）渐近线方程为：，准线方程为：. 【解析】 【分析】（1）当时，根据双曲线的标准方程可知双曲线的左顶点为；所以抛物线为开口向左，焦点为，进而求得抛物线的方程； （2）因为双曲线的方程为，由离心率为即，进而求得的值，得到双曲线的标准方程，渐近线方程和准线方程. 【详解】（1），，∴ 由题意设抛物线的方程为， 则 （2）因为双曲线的方程为， 所以， 所以， 因为双曲线的离心率， 所以 所以，得，， 所以 所以渐近线方程为. 准线方程为:. 18. 已知函数. （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若，求出解析式，求导，求出切线方程； （2）根据定义域为，求导，分类讨论，，，满足是的极大值点，求出的取值范围； （3）由（2）可知，且时，，由恒成立，构造，进行求解. 【小问1详解】 若，则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意，得的定义域为，，所以. 当时，在区间上，单调递减， 在区间和上，单调递增， 所以是的极大值点，满足条件. 当时，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件. 当时，在区间上，单调递减， 在区间和上，单调递增， 是的极小值点，不满足条件. 当时，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，，且时，， 所以在上，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 设，则. 令，则，当时，， 所以即在区间上单调递减，又， 所以，所以在区间上单调递减. 又，所以的取值范围是. 19. 已知函数为偶函数. （1）求的值； （2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，代入函数解析式，从而求出的值； （2）根据（1）得出，利用换元得出二次函数，讨论对称轴与区间的关系即可求出的值. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 因为为偶函数，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以，解得. （2）由（1）知所以， 令，则，其对称轴为， ①当，即时，在上单调递减， 所以， 由， 解得，此时不满足，此时不存在符合题意的值； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，解得或，又，所以； ③当，即时，在上单调递增， 所以， 由，解得，不满足，此时不存在符合题意的值. 综上所述，存在，使得函数在区间上的最小值为. 20. 如图，点M是圆上任意点，点，线段的垂直平分线交半径于点P，当点M在圆A上运动时， （1）求点P的轨迹E的方程； （2）轴，交轨迹于点（点在轴的右侧），直线与交于（不过点）两点，且直线与直线关于直线对称，则直线具备以下哪个性质？证明你的结论？ ①直线恒过定点；②m为定值；③n为定值． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，进而根据椭圆的定义求解即可； （2）根据题意，再设，进而直线与椭圆联立方程，结合韦达定理得整理得，再根据，，三点不共线得. 【小问1详解】 解：如图，由方程，得，半径， ∵在的垂直平分线上，∴， 所以， ∴的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆， 由，则，，， ∴点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 解：∵直线与轨迹交于，两点，设，如图 消，得， 整理，得， ， 因为与关于对称，轴， 所以，，，， ，即， ∵，， ∴整理：， ， 即， 即， 若，点满足，即，，三点共线，不合题意， ∴，即， ∴直线中为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期高二数学期末考试 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 为调查中学生近视情况，随机抽取某校男生150名，女生140名，其中，男生中有80名近视，女生中有70名近视.在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时，最有说服力的方法是（　　） A. 均值与方差 B. 排列与组合 C. 概率 D. 独立性检验 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中，）.如图所示，设点、、是相应椭圆的焦点，、和、是“果圆”与轴和轴的交点，若是边长为1的等边三角形，则，的值分别为（ ） A. ，1 B. ，1 C. 5，3 D. 5，4 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 0 5. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数a，b，c满足，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若数若关于的方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知直线l：，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线l在y轴上的截距是2 B. 直线l的斜率为 C. 直线l不经过第三象限 D. 直线l的一个方向向量为 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中.“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数.下列结论正确的是（ ） A. B. 第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的 C. 记第行的第个数为，则 D. 记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，第行的第3个数字为，则 三、填空题（共15分） 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 13. 已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数a的取值范围是______． 14. 在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则a的取值范围为__________． 四、解答题（共80分） 15. “茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. （1）从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； （2）若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 16. 电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为9：11，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人． （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？ 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 没看过《庆余年2》 50 总计 1000 （2）在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． a 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 已知抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点， （1）当时，求抛物线的方程； （2）若双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程和准线的方程. 18. 已知函数. （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围. 19. 已知函数为偶函数. （1）求的值； （2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20. 如图，点M是圆上任意点，点，线段的垂直平分线交半径于点P，当点M在圆A上运动时， （1）求点P的轨迹E的方程； （2）轴，交轨迹于点（点在轴的右侧），直线与交于（不过点）两点，且直线与直线关于直线对称，则直线具备以下哪个性质？证明你的结论？ ①直线恒过定点；②m为定值；③n为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $