第44讲 空间向量及其运算和空间位置关系 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第44讲　空间向量及其运算和空间位置关系 基础热身 1.已知a=(-1,2,5),b=(1,x,-1),且a·b=2,则x的值是 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.设u=(2,0,-1)是平面α的一个法向量,a=(1,0,2)是直线l的一个方向向量,则直线l与平面α的位置关系是 (　 ) A.平行或直线在平面内 B.不能确定 C.相交但不垂直 D.垂直 3.以下四组向量中在同一平面的是 (　 ) A.a1=(1,1,0),a2=(0,1,1),a3=(1,0,1) B.b1=(3,0,0),b2=(1,1,2),b3=(2,2,4) C.c1=(1,2,3),c2=(1,3,2),c3=(2,3,1) D.d1=(1,0,0),d2=(0,0,2),d3=(0,3,0) 4.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z的值分别为 (　 ) A.,-,4 B.,-,4 C.,-2,4 D.4,,-15 5.(多选题)已知四面体OABC,则下列说法正确的是 (　 ) A.若D为BC的中点,E为AD的中点,则=++ B.若四面体OABC是棱长为1的正四面体,则(+)·(+)=1 C.若A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,3),则向量在上的投影向量是 D.已知a=-2+,b=-+3+2,c=-3+7,则向量a,b,c不可能共面 6.在正三棱锥P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AB=2,则·=　　　　.  综合提升 7.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则与a,b不能构成空间的一个基底的向量是 (　 ) A. B. C. D.或 8.[2023·福建莆田一中月考] 如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=,AD=,AA1=2,且∠A1AD=∠A1AB=60°,则线段AC1的长为 (　 ) A.2 B.2 C. D.3 9.已知正四面体ABCD的棱长为4,空间中的动点P满足|+|=2,则·的取值范围为 (　 ) A.[4-2,4+2] B.[,3] C.[4-3,4-] D.[-14,2] 10.(多选题)《九章算术》中,将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫作堑堵,在如图所示的堑堵中,AB⊥AC,=2,则 (　 ) A.=++ B.=++ C.向量在向量上的投影向量为 D.向量在向量上的投影向量为 11.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=3,点M,N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点),若D1M⊥MN,则下列说法正确的有 (　 ) A.MN⊥A1M B.MN⊥平面D1MC C.BN的长度的最大值为 D.三棱锥C1-A1D1M的体积为定值 12.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=,则a与b的夹角为　　　　.  13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是棱D1D上一点,N是A1B1的中点,则当=　　　　时,ON⊥AM.  14.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,=k,=k,=k,=k. (1)当k=时,试用,,表示; (2)证明:E,F,G,H四点共面. 15. 如图所示,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为4的正方形,EF∥AD,平面ADEF⊥平面ABCD,且BC=2EF,AE=AF,点G是EF的中点. (1)证明:AG⊥平面ABCD. (2)线段AC上是否存在一点M,使MG∥平面ABF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 能力拓展 16.如图①,正方形ABB1A1的边长为12,其内有两点P,Q,点P到边AA1,A1B1的距离分别为3,2,点Q到边BB1,AB的距离分别为3和2.现将正方形卷成一个圆柱,使得AB和A1B1重合(如图②所示),则此时P,Q两点间的距离为 (　 ) A. B. C. D. 参考答案 1.B　[解析] 由题知a·b=-1+2x-5=2,解得x=4.故选B. 2.A　[解析] 因为u·a=2+0-2=0,所以u⊥a,所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内.故选A. 3.B　[解析] 对于A选项,设(1,1,0)=m(0,1,1)+n(1,0,1),所以无解;对于B选项,因为(2,2,4)=0·(3,0,0)+2(1,1,2),所以B选项中的三个向量共面;对于C选项,设(1,2,3)=x(1,3,2)+y(2,3,1),所以无解;对于D选项,设(1,0,0)=a(0,0,2)+b(0,3,0),所以矛盾.故选B. 4.B　[解析] ∵⊥,∴·=0,即3+5-2z=0,解得z=4,又BP⊥平面ABC,∴⊥,⊥,则解得故选B. 5.ABC　[解析] A中,=+=+=+=+=++,所以A正确;B中,(+)·(+)=·+·+·+·=1×1×cos 60°+1×1×cos 90°+1×1×cos 90°+1×1×cos 60°=1,所以B正确;C中,=(-1,2,0),=(1,1,3),则向量在上的投影向量为||cos<,>·=·=·=,所以C正确;D中,假设向量a,b,c共面,则a=xb+yc,所以-2+=x(-+3+2)+y(-3+7)=(-x-3y)+(3x+7y)+2x,所以解得所以当x=,y=-时向量a,b,c共面,所以D错误.故选ABC. 6.　[解析] 连接AO,∵三棱锥P-ABC为正三棱锥,O为△ABC的中心,∴PO⊥平面ABC,△ABC是等边三角形,∴PO⊥AO,∴·=0. ∵AO=·AB·sin 60°=,∴·=·(+)=||2=AP2-AO2=4-=. 7.C　[解析] ∵=(a-b)=(++)-(+-),∴与a,b不能构成空间的一个基底.故选C. 8.B　[解析] 连接AC,由=+,可得||2==(+)2=+2·+,因为底面ABCD为矩形,AB=,AD=,AA1=2,所以=||2=2+2=4,=||2=8.又·=(+)·=·+·=||·||·cos 60°+||·||·cos 60°=×2×+×2×=4,所以||2=||2+2·+||2=4+2×4+8=20,则||=2.故选B. 9.D　[解析] 如图,分别取BC,AD的中点为E,F,连接ED,EF,则|+|=|2|=2,所以||=,故点P的轨迹是以E为球心,以为半径的球面.·=-(+)·(+)=-(+)·(-)=||2-||2=4-||2.因为ED===2,EF===2,所以||min=EF-=,||max=EF+=3,所以·的取值范围为[-14,2].故选D. 10.BD　[解析] =++=++=++(-)=++,故A不正确,B正确.如图所示,过D作DU垂直于BC,垂足为U,过U作UV垂直于AB,UW垂直于AC,垂足分别为V,W,故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为,由题意易得=,=,则=,=,故C不正确,D正确.故选BD. 11.ACD　[解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以点D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A1(3,0,3),D1(0,0,3),C(0,3,0),B(3,3,0),设M(3,y,0),N(3,3,z),y,z∈(0,3),所以=(3,y,-3),=(0,3-y,z).因为D1M⊥MN,所以·=y(3-y)-3z=0,即z=y(3-y).对于A,=(0,y,-3),则·=y(3-y)-3z=0,所以⊥,即MN⊥A1M,故A正确;对于B,=(3,y-3,0),因为·=(y-3)(3-y)=-(3-y)2<0,所以CM与MN不垂直,所以MN与平面D1MC不垂直,故B不正确;对于C,=(0,0,z),则||=z=≤,当且仅当y=时取等号,故C正确;对于D,不论点M如何移动,点M到平面A1D1C1的距离均为3,==×3×=,故D正确.故选ACD. 12.　[解析] 由a+b+c=0,得a,b,c首尾相连可构成三角形,所以cos<a,b>=-=-=,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=. 13.　[解析] 以A为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),O,N.设M(0,1,a)(0≤a≤1),则·=(0,1,a)·=-+a=0,解得a=.故当=时,ON⊥AM. 14.解:(1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,=+, 因为k=,所以=+=+-=+-=+=++. (2)证明:连接AC,EG,设=λ+μ(λ,μ不为0), =-=k-k=k=k(λ+μ)=kλ+kμ=kλ(-)+μk(-)=λ(-)+μ(-)=λ+μ,则,,共面且有公共点E,则E,F,G,H四点共面. 15.解:(1)证明:因为AE=AF,点G是EF的中点,所以AG⊥EF,又因为EF∥AD,所以AG⊥AD.因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AG⊂平面ADEF,所以AG⊥平面ABCD. (2)由(1)得AG⊥平面ABCD,因为AD,AB⊂平面ABCD,所以AG⊥AD,AG⊥AB,又因为四边形ABCD是边长为4的正方形,所以AG,AD,AB两两垂直. 以A为原点,建立空间直角坐标系Axyz,如图,所以A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0). 假设线段AC上存在一点M,使MG∥平面ABF, 设=λ,则=λ,因为=(4,4,0),所以=(4λ,4λ,0),设AG=t(t>0),则=(0,0,t), 所以=-=(-4λ,-4λ,t), F(0,-1,t),=(0,-1,t),=(4,0,0). 设平面ABF的法向量为m=(x,y,z), 则取m=(0,t,1). 因为MG∥平面ABF,所以·m=0,即-4λt+t=0,解得λ=,所以=,此时=,即在线段AC上存在一点M,使MG∥平面ABF,此时=. 16.C　[解析] 如图,设过点P且平行于底面的截面圆的圆心为O1,过点Q且平行于底面的截面圆的圆心为O2,连接PO1,O1O2,O2Q,设圆柱底面圆的半径为r,则2πr=12,所以r=,<,>=π=.因为=++,所以||2=|++|2=2r2+||2+2·=2×+62+2××cos=3×+36,所以||=.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$