精品解析：甘肃省天水市第五中学2024-2025学年上学期九年级数学期中测试题

甘肃省天水市第五中学2024－2025学年 九年级上册 数学 期中测试题 （考试总分：150分 考试时长： 120分钟） 一、 单选题 （本题共计10小题，总分30分） 1. 4的算术平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是解决问题的关键． 【详解】解：4的算术平方根是2， 故选B． 2. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A、，要强调时，才是一元二次方程，故不符合题意； B、是分式方程，故不符合题意； C、，整理后为，是一元二次方程，故符合题意； D、是二元二次方程，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，明白“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 3. 如图，已知D，E分别是，上的点，，，，，那么等于（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可证，可得，即可求得的长． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 4. 在中，，，，下列四个选项，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】解：如图，根据勾股定理得：， ∴，，，， ∴C正确，A、B、D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键． 5. 估计的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查估算无理数的大小和二次根式的混合运算，熟练掌握估算方法是解题的关键．先根据二次根式的混合运算法则先计算出原式的值为，再进行估算即可． 【详解】解：原式 ， ， 故 ， 故选C． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式大于0的条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数；再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算的取值范围，最后结合两者得到的最终范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 综上，且． 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解∶以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点A的坐标为， 点A的对应点的坐标为或， 即或． 故选∶B． 8. 在△ABC中，∠C=90°，tanA=，那么sinA的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵tanA=， ∴设BC=x，AC=3x， 由勾股定理，得AB=x， ∴sinA=， 故选：B． 9. 当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程的两个分式具备平方关系，若设，则原方程化为y2-2y-3=0．用换元法转化为关于y的一元二次方程． 【详解】解：把代入原方程得：． 故选：． 【点睛】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 10. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、 填空题 （本题共计6小题，总分24分） 11. 二次根式有意义的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，3-x≥0， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式定义，二次根式的被开方数非负是解此题的关键． 12. 若一元二次方程的两根为：，，请写出一个符合这两个根的一元二次方程为：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出1、的和、积，然后根据根与系数的关系即可得． 【详解】解：∵， ， ∴以3和为根的一元二次方程可为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，解题的关键是注意方程不唯一． 13. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 14. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理以及网格结构，可以求得AC、AB、BC、CD的长，然后根据等积法求得AE的长，再根据勾股定理可得到CE的长，然后根据余弦函数的定义即可得到cos∠ACB的值． 【详解】解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E， 由已知可得，AC=，AB=5，BC=，CD=3， ∵S△ABC=AB•CD=BC•AE， ∴AE=， ∴CE=， ∴cos∠ACB=， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B4的坐标为_____，点B2017的坐标为_____． 【答案】 ①. （20，4） ②. （10086，0） 【解析】 【分析】首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，B2016的横坐标为：×10=10080． ∵B2C2=B4C4=OB=4，∴点B4的坐标为（20，4），∴B2017的横坐标为10080++=10086，纵坐标为0，∴点B2017的坐标为：（10086，0）． 故答案为（20，4）、（10086，0）． 【点睛】本题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题的关键． 三、 解答题 （本题共计11小题，总分96分） 17. 计算题： (1)+- (2)×÷(﹣2) 【答案】(1)；(2)-3. 【解析】 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得； （2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解： (1)原式＝3+﹣2＝； (2)原式＝÷(﹣2) ＝÷(﹣) ＝﹣ ＝﹣ ＝﹣3． 故答案为(1)；(2)-3. 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本体主要考查了解一元二次方程： （1）先把原方程化为一般式，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴ ， ∴， ∴ ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ， ∴或， 解得：． 19. 计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ；(2) ． 【解析】 【分析】(1) 把特殊角的三角函数值代入计算即可． (2) 分别进行二次根式的化简、特殊角的三角函数值、指数幂化简等运算，然后合并． 【详解】解：(1)原式= (2) 原式= 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，﹣3），点B的坐标为（﹣1，3），回答下列问题 (1)点C的坐标是 ． (2)点B关于原点的对称点的坐标是 　　　． (3)△ABC的面积为 　　　． (4)画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′． 【答案】(1)（﹣3，﹣2）； (2)（1，﹣3）； （3）16； (4)如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形． 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系写出即可； （2）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答； （3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解； （4）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可． 【详解】(1)点C的坐标是（﹣3，﹣2）， 故答案是：（﹣3，﹣2）； (2)点B关于原点的对称点的坐标是（1，﹣3）， 故答案是：（1，﹣3）； (3)△ABC的面积=6×6﹣0.5×2×5﹣0.5×1×6﹣0.5×4×6=36﹣5﹣3﹣12=36﹣20=16， 故答案是：16； (4)略 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，平面直角坐标系的相关知识，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 21. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 【答案】或时 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为，则，， 依题意，得． 整理，得， 解得，， 或时，的面积是． 22. 三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，点G是的重心，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】 （1）证明：∵点G是的重心， ∴点E和点D分别是和的中点 ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）由点G是的重心可得点E和点D分别是和的中点，证明，由相似三角形的性质得，即可得证； （2）先证明，由相似三角形的性质得，即，由AD=6即可求得GD的长． 【详解】（1）略 （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵AD=6， ∴． 【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 24. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先把每个式子分母有理化，化成根式的和、差形式即可化简求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确对二次根式进行分母有理化是解题的关键． 25. 九月丹桂飘香，钟山区保华镇某农户家的冬桃迎来大丰收．据了解，冬桃成本为20元/千克，若每千克售价30元，一周可以售出300千克，并且销售单价每上涨1元，销售量就减少5千克． （1）如果每千克涨价x元，那么周销售量为 千克；涨价后每千克的利润为 元．（用含x的式子表示） （2）在保证薄利多销的前提下，要使周销售利润达到5000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）要使周销售利润达到5000元，销售单价应定为40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式：（1）根据题意列出代数式即可；（2）找准等量关系，列出一元二次方程，即可求解；解题关键是明确题意，找准等量关系列出一元二次方程． 【小问1详解】 解：如果每千克涨价x元， 则周销售量为千克， 涨价后每千克的利润为：元， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意得：， 解得：或， ∵在保证薄利多销的前提下， ∴， 则售价为：（元）， 答：要使周销售利润达到5000元，销售单价应定为40元． 26. 4月3日6时56分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得的距离是6km，；当火箭到达C点时，测得，求火箭从B点上升到C点的高度．（参考数据：，，，结果精确到0.01） 【答案】火箭从B点上升到C点的高度约为2.20km 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，先在中，求出的长，再在中求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：在中，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴ 答：火箭从B点上升到C点的高度约为2.20km． 27. 定义：如果三角形能和一个直角三角形恰好能无重叠无缝隙的拼成三角形，且拼成的三角形与三角形相似，那么我们称三角形与该直角三角形为“伴侣三角形”． （1）如图①，中，，，则与_____“伴侣三角形”；填写“是”或“不是” （2）如图②，是由与拼成的，，且与是“伴侣三角形”，若，，求的长． （3）如图③，中，，，，问在三边的延长线上是否存在点使得与、、三点中的某两点所组成的三角形与是“伴侣三角形”？若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得出和是“伴侣三角形”． （2）根据与是“伴侣三角形”，求出，在利用勾股定理求解． （3）根据题意做出可能的情况，然后利用三角形相似求解． 【小问1详解】 能和恰好能无重叠无缝隙的拼成三角形，因为直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似，拼成的与相似． 故答案为：是； 【小问2详解】 ，，与是“伴侣三角形”， ，， ， ， ． 所以． 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 【小问3详解】 如图：由题意得，设， ， ，解得， ； 如下图： 由题意得， ， ， ； 如下图： 由题意得， ，即 ． 综上所述答案为或或． 【点睛】本题是给出定义，根据定义求解的题，要求有扎实的基础，并且还有理解分析的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省天水市第五中学2024－2025学年 九年级上册 数学 期中测试题 （考试总分：150分 考试时长： 120分钟） 一、 单选题 （本题共计10小题，总分30分） 1. 4的算术平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 16 2. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知D，E分别是，上的点，，，，，那么等于（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 10 4. 在中，，，，下列四个选项，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 在△ABC中，∠C=90°，tanA=，那么sinA的值是（ ） A. B. C. D. 9. 当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 二、 填空题 （本题共计6小题，总分24分） 11. 二次根式有意义的条件是______． 12. 若一元二次方程的两根为：，，请写出一个符合这两个根的一元二次方程为：_____________． 13. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 14. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于____________ 15. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B4的坐标为_____，点B2017的坐标为_____． 三、 解答题 （本题共计11小题，总分96分） 17. 计算题： (1)+- (2)×÷(﹣2) 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 19. 计算： (1) ； (2) ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，﹣3），点B的坐标为（﹣1，3），回答下列问题 (1)点C的坐标是 ． (2)点B关于原点的对称点的坐标是 　　　． (3)△ABC的面积为 　　　． (4)画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′． 21. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 22. 三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，点G是的重心，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 24. 计算：． 25. 九月丹桂飘香，钟山区保华镇某农户家的冬桃迎来大丰收．据了解，冬桃成本为20元/千克，若每千克售价30元，一周可以售出300千克，并且销售单价每上涨1元，销售量就减少5千克． （1）如果每千克涨价x元，那么周销售量为 千克；涨价后每千克的利润为 元．（用含x的式子表示） （2）在保证薄利多销的前提下，要使周销售利润达到5000元，销售单价应定为多少元？ 26. 4月3日6时56分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得的距离是6km，；当火箭到达C点时，测得，求火箭从B点上升到C点的高度．（参考数据：，，，结果精确到0.01） 27. 定义：如果三角形能和一个直角三角形恰好能无重叠无缝隙的拼成三角形，且拼成的三角形与三角形相似，那么我们称三角形与该直角三角形为“伴侣三角形”． （1）如图①，中，，，则与_____“伴侣三角形”；填写“是”或“不是” （2）如图②，是由与拼成的，，且与是“伴侣三角形”，若，，求的长． （3）如图③，中，，，，问在三边的延长线上是否存在点使得与、、三点中的某两点所组成的三角形与是“伴侣三角形”？若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $