精品解析：山东省临沂市兰山区2024--2025学年八年级下学期数学期末试卷

山东省临沂市兰山区2024--2025学年八年级下学期数学期末试卷 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页，满分120分，考试时间120分钟、答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2、答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，三边长分别为下列选项中，能保证三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 与轴交点坐标为 B. 若为图象上两点，当时， C. 不会同时经过第一和第二象限 D. 与一次函数的图象平行 5. 已知四边形的对角线交于点，下列条件能判断其为正方形的是（ ） A. B. C. 平分 D. 6. 已知方程的解与下列选项中两个函数图象的交点相对应的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，动点从的点A处出发，沿边匀速运动，当返回A点时停止运动，设点运动的路程为x，的面积为y，y与的函数图象如图2所示，则A到的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 8 8. 如图，在平面直角坐标系中，与相交于点．则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，垂足为点，为的中点，连接，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直角坐标系中，为轴上一点，点坐标为，过点A作的垂线，与交于点，过点作的垂线与交于点，以此类推，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 第II卷（选择题 共90分） 注意事项： 1．第II卷分填空题和解答题． 2．第II卷所有题目的答案，考生务必用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，在试卷上答题不得分． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________________． 12. 若点在第一象限，且，点坐标为，设的面积为，则用含的式子表示为_____________． 13. 已知数据的平均数为3，方差为2，则数据，的平均数为_____________，方差为_____________． 14. 如图，和都为直角三角形，为中点，，，则的长为_____________． 15. 如图，四边形的周长为20，对角线垂直平分，垂足为．若，分别为的中点，连接，则四边形的周长为_____________． 16. 如图，正方形中，在对角线上运动，在边上运动，，与交于点． ①点在运动过程中；②点在运动过程中； ③当点经过点时，；④当经过中点时，； 以上说法正确的是_____________． 三、解答题：本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 18. 今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年．某校举办了“铭记历史，缅怀英烈”知识竞赛．以下是从七年级和八年级抽取的部分学生的成绩，对数据进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【数据收集与整理】 七年级学生竞赛成绩：92，95，85，95，99，95，85，97，92，95 八年级学生竞赛成绩： 组别／分数 八年级 1 3 6 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 a b 八年级 c d e 解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，所在分组是___________； （2）求的值，并写出计算过程； （3）若，则抽查的两个年级人数中成绩较集中的年级为___________； （4）七年级共800人，八年级共有820人，若规定成绩不低于90分为优秀，请估算此次竞赛中获得优秀等级的人数． 19. 如图，在四边形中，为上一点．已知，且．求证：为直角三角形． 20. 某镇樱桃年产量超万吨，是该市“樱桃之乡”核心产区，其代表品种“汀薇”大樱桃更是畅销全国．以下是住在同一小区的李明和王红的对话，已知樱桃30元，设买樱桃的总费用为元．在不考虑其他因素的情况下，根据两人对话回答下列问题． （1）请直接写出两种方式下花费的总费用和购买数量之间的关系式； （2）请你帮助两人分析选择哪种方案更划算． 21. 如图，以点为圆心，适当长为半径作弧，交,交于点E,F，分别以E,F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，在射线上截取，直线经过点，且，分别交,于点M,N，连接,． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 22. 为笔直公路上相距300千米的两地，地在之间，汽车甲从地出发直接驶往地，到达后原路原速立即返回，货车乙从地驶往地，到达地后卸货用去1小时，随后继续原速前往地，下图是两车出发时间（小时）与距地的距离（千米）的函数图象，两车同时出发，当甲车到达C地时，乙车恰好离开C地，若甲车比乙车早1小时到达A地，且甲车每小时比乙车多走60千米． （1）汽车甲的速度为__________，货车乙的速度为__________，D代表的数字为__________； （2）求汽车甲返回时距A地的距离y与时间x之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）求汽车甲返回途中与货车乙相遇时距A的距离． 23. 【问题情境】 在学习正方形的知识后，学习小组对下图进行了探究，如图1，在正方形中，为边上一点，为射线上一点，． （1）求证：； 【探究实践】 （2）如图2，连接与，交于点，连接．求证：在点移动过程中，； 拓展延伸】 （3）如图3，在进一步探究下，当点在上运动时，若，则和之间存在特定的数量关系． ①小莹发现，此时可通过探究和之间的关系解决此题； ②小明观察后给出了不同意见，建议延长来解决此问题； 请按照两人中任意一人的思路，给出接下来的解题过程或你有新的思路也可以写出你的解题过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市兰山区2024--2025学年八年级下学期数学期末试卷 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页，满分120分，考试时间120分钟、答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2、答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的特点．根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数的因数不含完全平方数；②分母不含根号． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式条件，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 在中，三边长分别为下列选项中，能保证三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键．根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断各选项是否符合勾股定理或存在角． 【详解】解：A、设三个角的度数分别为、、，则，解得，此时最大角为，不是直角，故选项不能保证三角形是直角三角形，不符合题意； B、由变形得，符合勾股定理，故选项能保证三角形是直角三角形，符合题意； C、设，，，则，不满足勾股定理，故选项不能保证三角形是直角三角形，不符合题意； D、是三角形内角和的必然结论，与是否为直角三角形无关，故选项不能保证三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加法，减法，乘法和除法，根据二次根式的运算规则，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A.与不是同类二次根式，无法合并，选项计算错误，故选项不符合题意； B. ，选项计算错误，故选项不符合题意； C. ，选项计算错误，故选项不符合题意； D. ，选项计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 4. 关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 与轴交点坐标为 B. 若为图象上两点，当时， C. 不会同时经过第一和第二象限 D. 与一次函数的图象平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，掌握一次函数的图像性质是解题的关键．根据一次函数图像交点坐标、增减性、象限分布及直线平行条件需逐一分析各选项即可得出结论． 【详解】解：A. 一次函数与轴交点时，可得，解得，交点为，故选项说法错误，不符合题意； B. 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，因符号未定，故选项说法不恒成立，不符合题意； C. 当时，函数的图象经过第一、二、三象限，当时，经过第二、三、四象限，故选项说法错误，不符合题意； D. 一次函数是由一次函数平移得到的，故选项说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 已知四边形的对角线交于点，下列条件能判断其为正方形的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定条件，需结合平行四边形、矩形、菱形的性质进行综合判断．根据正方形的判定条件，需同时满足对角线垂直、相等且平分． 【详解】解：A、由且，可知四边形为平行四边形，说明对角线被平分，但未提及对角线垂直或相等，无法确定为正方形，故选项不符合题意； B、由可得四边形是菱形，由可得四边形是矩形，同时满足菱形和矩形条件，所以四边形是为正方形，故选项符合题意； C、由且，可得四边形为平行四边形，平分仅说明为菱形，但未验证对角线是否相等，无法确定为正方形，故选项不符合题意； D、由且，可得四边形为平行四边形，说明为矩形，但未验证邻边相等或对角线垂直，无法确定为正方形，故选项不符合题意； 故选：B． 6. 已知方程的解与下列选项中两个函数图象的交点相对应的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、算术平方根的非负性、平面直角坐标系等知识点，掌握非负性的性质成为解题的关键． 先根据绝对值、算术平方根的非负性求得x、y的值，然后确定交点所在的象限即可解答． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴两个函数图象的交点坐标为， ∴交点在第一象限且纵坐标大于横坐标，即A选项符合题意． 故选A． 7. 如图1，动点从的点A处出发，沿边匀速运动，当返回A点时停止运动，设点运动的路程为x，的面积为y，y与的函数图象如图2所示，则A到的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点与函数图形的综合，熟练掌握三角形面积公式，函数图象的增减性，是解题的关键． 根据题意可得点点P在边上时，的面积为0，由函数图象得，当点P在边上由B到C时，的面积由0增大到24，由函数图象得，由三角形面积公式求得A到的距离为． 【详解】解：∵点P从的点A处出发，沿边匀速运动， 当点P在边上时， 的面积为0， 由图2看出， 当点P在边上由B到C时， 的面积由0增大到24， 由图2看出， 则A到的距离为． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，与相交于点．则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵，与相交于点． ∴不等式的解集是， 故选：B． 9. 如图，在菱形中，，垂足为点，为的中点，连接，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等面积法，由四边形是菱形，则，又，所以，设，则，由勾股定理得，，然后通过，即，求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∵， ∴，整理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，在直角坐标系中，为轴上一点，点坐标为，过点A作的垂线，与交于点，过点作的垂线与交于点，以此类推，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、代数式的规律、幂的乘方等知识点，发现规律是解题的关键． 如图：过A作于F，由坐标与图形以及等腰直角三角形的判定与性质可得、；同理可得：，，，观察发现，当，解得：；将代入并根据幂的乘方变形即可解答． 【详解】解：如图，过A作于F， ∵点坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 同理：，，，……， 当，解得： ． 故选A． 第II卷（选择题 共90分） 注意事项： 1．第II卷分填空题和解答题． 2．第II卷所有题目的答案，考生务必用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，在试卷上答题不得分． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式可得的取值范围． 【详解】解：代数式在实数范围内有意义， ， 解得：． 故答案为： ． 12. 若点在第一象限，且，点坐标为，设的面积为，则用含的式子表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及求三角形的面积，能够根据点的坐标得出三角形的边长是解题关键．根据点的坐标将三角形边长表示出来，然后根据三角形面积公式即可列式表示出． 【详解】解：∵点P的坐标为且在第一象限，点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知数据的平均数为3，方差为2，则数据，的平均数为_____________，方差为_____________． 【答案】 ①. 9 ②. 8 【解析】 【分析】此题考查了方差和平均数，当数据都乘上一个数时，平均数也乘上这个数，方差变为这个数的平方倍，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减上这个数，方差不变，即数据的波动情况不变．根据平均数和方差的计算公式或者根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵数据的平均数是3， 即， ∴ ， 即数，的平均数是； ∵数据的方差是2， 即， ∴ ， ∴数，的方差是； 故答案为：9，8． 14. 如图，和都为直角三角形，为的中点，，，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的中线等于斜边一半，等边三角形的判定、勾股定理等知识点，根据直角三角形的中线等于斜边一半，可得，进而判定是等边三角形，由已知结合勾股定理求出，即可解答问题． 【详解】解：∵在中，， ∴， 和都为直角三角形，为的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 15. 如图，四边形的周长为20，对角线垂直平分，垂足为．若，分别为的中点，连接，则四边形的周长为_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线和三角形中位线的知识，解答关键是将所求四边形的各边长度用四边形各边表示．由对角线垂直平分得到，，，得到，在分别利用直角三角形斜边上的中线和三角形中位线性质分别求出、进而得到，同理求出则问题可解． 【详解】解：∵对角线垂直平分， ∴，，， ∵四边形的周长为20， ∴，即 ∴， ∵，D中点， ∴， ∵，分别为的中点， ∴， ∴， 同理，， ∴四边形的周长， 故答案为：10． 16. 如图，在正方形中，在对角线上运动，在边上运动，，与交于点． ①点在运动过程中；②点在运动过程中； ③当点经过点时，；④当经过中点时，； 以上说法正确的是_____________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，通过构造辅助线，利用正方形的性质和全等三角形的判定，可以证明题目中的各个结论． 【详解】解：①过点作于点，于点，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是对角线， ∴， ∴ 又, ∴， ∴， ∴，故①正确； ②当点在上运动，点在上运动时，的值在变化，即的值不一定等于，故②错误； ③点在上运动，无法判断，故③错误； ④连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①④． 三、解答题：本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的性质进行解题是关键． （1）先进行二次根式的乘除法运算，然后再进行减法运算即可； （2）将利用完全平方公式进行变形，得到，然后代入进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）由可得， 则， ， 即， ∴． 18. 今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年．某校举办了“铭记历史，缅怀英烈”知识竞赛．以下是从七年级和八年级抽取的部分学生的成绩，对数据进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【数据收集与整理】 七年级学生竞赛成绩：92，95，85，95，99，95，85，97，92，95 八年级学生竞赛成绩： 组别／分数 八年级 1 3 6 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 a b 八年级 c d e 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，所在分组是___________； （2）求的值，并写出计算过程； （3）若，则抽查的两个年级人数中成绩较集中的年级为___________； （4）七年级共800人，八年级共有820人，若规定成绩不低于90分为优秀，请估算此次竞赛中获得优秀等级的人数． 【答案】（1）95；95； （2）90 （3）七年级 （4）1132人 【解析】 【分析】本题考查统计中的平均数、中位数、众数、方差的计算及用样本估计总体，解题关键是熟练掌握各统计量的定义与计算方法，通过数据整理与分析解决问题。 （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）从平均数，中位数，众数和优秀人数分析即可； （3根据方差意义（方差小，数据集中），对比七、八年级方差判断; （4）用七、八年级学生人数各自乘以样本中成绩优秀的学生所占的比例，然后求和即可． 【小问1详解】 七年级成绩排序：85，85，92，92，95，95，95，95，97，99，中位数是第、个数的平均值，即，故． 95出现次数最多（次），故． 八年级抽取人数：（人），中位数是第、个数的平均值．有人，有人，前两组共人，第、个数在组，故所在分组是． 故答案为：95；95；； 【小问2详解】 八年级成绩分组： ：人（设分数为，取组中值） ：人（组中值） ：人（组中值） 平均数． 【小问3详解】 ∵七年级方差，（八年级方差）， ∴七年级成绩更集中； 故答案为：七年级； 【小问4详解】 ∵七年级10个数据中90分及以上有8个，八年级10个数据中90分及以上有个， ∴（人） 此次竞赛中获得优秀等级的人数为1132人． 19. 如图，在四边形中，为上一点．已知，且．求证：为直角三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，由勾股定理可得，则，再证明．则由勾股定理的逆定理可证明为直角三角形． 【详解】证明：， ∴ 在中，， ． 又， ． ， ． ． ． 为直角三角形． 20. 某镇樱桃年产量超万吨，是该市“樱桃之乡”核心产区，其代表品种“汀薇”大樱桃更是畅销全国．以下是住在同一小区的李明和王红的对话，已知樱桃30元，设买樱桃的总费用为元．在不考虑其他因素的情况下，根据两人对话回答下列问题． （1）请直接写出两种方式下花费的总费用和购买数量之间的关系式； （2）请你帮助两人分析选择哪种方案更划算． 【答案】（1）； （2）当购买数量少于2kg时，选择同城快递更省钱；当购买数量等于2kg时，选择同城快递和自取都可；当购买数量大于2kg时，选择自取更省钱． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用问题，解答关键是根据题意进行分类讨论列出函数关系式； （1）根据题意分和两种情况列出快递费用与x的函数关系式，根据方案列出自取的费用与x的函数关系式； （2）分别根据和的情况分类讨论两种方案的收费的大小． 【小问1详解】 解：使用快递的购买费用为 当时， 当时， 所以 用户自取的费用为， 【小问2详解】 解：①当时， 快递更省钱． ②当时，． 当时解得，此时选择快递更省钱； 当时解得，此时选择快递和自取都可； 当时解得，此时选择自取更省钱． 综上所述：当购买数量少于时，选择同城快递更省钱； 当购买数量等于时，选择同城快递和自取都可； 当购买数量大于时，选择自取更省钱． 21. 如图，以点为圆心，适当长为半径作弧，交,交于点E,F，分别以E,F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，在射线上截取，直线经过点，且，分别交,于点M,N，连接,． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定与性质，解题关键是利用角平分线、垂直平分线性质证全等和平行四边形，再结合菱形判定与面积公式求解。 （1）先由作图知平分、垂直平分，得线段相等，再证，推导出四边相等，先证平行四边形，结合邻边相等证菱形 （2）作，利用菱形性质得、，推出，用含直角三角形性质得，最后依据菱形面积底高计算 。 【小问1详解】 解：由题意得平分，， 为中点， 垂直平分，． ，． 又平分， ． ． ． 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． 【小问2详解】 过点作垂直，垂足为点， 四边形为菱形，，． ． ． ． 菱形的面积为2． 22. 为笔直公路上相距300千米的两地，地在之间，汽车甲从地出发直接驶往地，到达后原路原速立即返回，货车乙从地驶往地，到达地后卸货用去1小时，随后继续原速前往地，下图是两车出发时间（小时）与距地的距离（千米）的函数图象，两车同时出发，当甲车到达C地时，乙车恰好离开C地，若甲车比乙车早1小时到达A地，且甲车每小时比乙车多走60千米． （1）汽车甲的速度为__________，货车乙的速度为__________，D代表的数字为__________； （2）求汽车甲返回时距A地的距离y与时间x之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）求汽车甲返回途中与货车乙相遇时距A的距离． 【答案】（1）120千米／小时，60千米／小时，240 （2） （3）120千米 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车的速度为t千米/小时，则甲车的速度为千米/小时，甲车比乙车早到1小时，且乙车中途卸货一小时，那么在行驶过程中，两车需要的时间相同，据此建立方程求出两车的速度，进而可求出C地距离A地的距离，据此可得答案； （2）求出点G和点P坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）求出点E和点F坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，再求出交点H的坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：设乙车的速度为t千米/小时，则甲车的速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴乙车的速度为60千米/小时，则甲车的速度为120千米/小时， 设千米，则千米 解得： ∴甲到达C地时，乙行驶的距离为60千米， ∴C地距离A地的距离为千米，即点D代表的数字是240； 【小问2详解】 解：∵， 点坐标为点坐标为． 设汽车甲返回时距A地的距离y与时间x之间的函数解析式为 解得 汽车甲返回时距A地的距离y与时间x之间的函数解析式为 【小问3详解】 解：小时， ∴由（1）得点坐标为点坐标为 同理可得所在直线的解析式为． 汽车返回途中与货车相遇在函数图象上为点 解得 相遇时距离地的距离为120千米． 23. 【问题情境】 在学习正方形的知识后，学习小组对下图进行了探究，如图1，在正方形中，为边上一点，为射线上一点，． （1）求证：； 【探究实践】 （2）如图2，连接与，交于点，连接．求证：在点移动过程中，； 【拓展延伸】 （3）如图3，在进一步探究下，当点在上运动时，若，则和之间存在特定的数量关系． ①小莹发现，此时可通过探究和之间的关系解决此题； ②小明观察后给出了不同意见，建议延长来解决此问题； 请按照两人中任意一人的思路，给出接下来的解题过程或你有新的思路也可以写出你的解题过程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）过点作，与相交于点，先证明为等腰直角三角形，推导出，，进而证明，进而可证得结论； （3）小莹思路：通过角度运算推导出，，证明得到，进而可推导出结论； 小明的思路：延长交于P，连接，设，先证明垂直平分，则，再根据等腰三角形的判定与性质证明，，由等腰直角三角形的判定与性质，结合正方形的性质求得即可． 【详解】解：（1）在正方形中，， ， ． ． 在和中 ． ． （2）过点作，与相交于点， ∴， ∵正方形中，， 为等腰直角三角形， ，， 由（1）知． ， ． ，， ， 和中， ． ． （3）小莹的思路如下： ， ． ， ． 由（2）知为中点，， ． ． 在中， ． ， ． 在和中 ． ． 又， ． 即． 小明的思路如下： 延长交于P，连接，设， ∵，点H为的中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线解决问题是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $