甘肃省会宁县第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试模拟数学试卷

高一年级下学期期未考试模拟卷 数学试卷 i: (120分钟150分) 考试范围：必修第二册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知向量a=(-号，》，b=k,1Da1b,则k= A.1 B.-1 唱 D、3 2 2若an0=2,则tan(不+0)- 到 A C.-3 D.3 3.已知i为虚数单位，若(2十i)z=1十i,则复数x在复平面内对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c若a=33,b=3,A=5,则B= A爱 R合 c 5.已知正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面 上，则该球的体积为 A舒 8 c照x ·1· 【26·YK·数学（二）-XJB-高-下册-GSW]】 6.把一枚骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为a,b,则使得关于x的方程x2十ax+ b=0没有实数根的概率为 B.12 7 C.2 17 D.36 7.美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级 旅游景区.千岛湖有三座岛屿A,B,C,旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项 目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得 岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另 外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且 三座岛屿A,B,C在同一水平面上，则岛屿C的高度为 A.300√2m B.300√6m C.600√3m D.100√6m 8.柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时 期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增 加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所 示的图形，记该正三棱柱为ABC-AB,C1,其底面边长是3，侧棱长是125，M为 A1C1的中点，N是侧面BCC1B1上一点，且MN平面ABC1,则点N的轨迹长为 A.27 R号 C.12 B M D.6 ·2· 【26·YK·数学（二）-XB-高-下册-GSZw】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列各式的运算结果为纯虚数的是 A.(1+i)(1-i) B.i(1+i) C.(1+i)2 D.2(-i) 10.关于函数f(x)=cosx(cosx一4sin60°sinx)一sin2x,下列说法正确的是 A若fe-看)=号a∈(o,》,则ma-写 3 B.若向量a=(一1，W3)与b=(2,0)的夹角为0，则f(0)=1 C函数f(x)在区间[-一石，]上单调递增 D.函数fx十)为奇函数 11.已知一个古典概型的样本空间2和其随机事件A和随机事件B,其中n(2)=20, n(A)=12,n(B)=8,n(AUB)=18,则 An(A∩B)=2 B.n(A∩B)=10 C.事件A与事件B是互斥事件 D.事件A与事件B是独立事件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.若在复平面上的口ABCD中，AC对应的复数为2-3i,BD对应的复数为一4十i, 则DA对应的复数是 13.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,A1A=4,M,N分别是CD,CC1的中 点，则异面直线AM与DN所成角的余弦值是 14.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=4,BD=5, ∠BCA=30°，∠ADB=45°，则AC= ·3· 【26·YK·数学（二）-X灯B-高-下册-GSZW】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知复数之=1一)2 2+i1 (1)求复数z; (2)若ax十b=1十4i,求实数a,b的值. 导汉扫棉手测 汉王扫描王 16.(15分) 已知向量a,b,c在同一平面内，且a=(2,一1)，b=(3,1). (1)若|c|=2√10，且c与b共线，求向量c的坐标； (2)若向量a+3b与向量a一3b共线，求k的值，此时a十3b与ka一3b同向还是 反向？ 导汉扫棉手测 园汉王扫描王 17.(15分) 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.某中学为了解本校学生课外阅读的情况， 按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样 本，其中男生30名，女生70名.经调查统计，分别得到30名男生一周课外阅读时 间（单位：小时）的频数分布表和70名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率 分布直方图. 小时 颜数 [0,2) 6 [2,4) 15 [4,6) 6 [6,8) 3 (1)由频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平 +频率/组距 均数；（注：以各组的区间中点值代表该组的各个0.25 值) (2)从一周课外阅读时间为[2,4)的样本学生中按比0.10 例抽取10人，再从这10人中任意抽取2人，求恰 0.05 好抽到一男一女的概率。 2468小时 ·6· 【26·YK·数学（二）一XB-高-下册-GSW】 骨汉王排王圈 园汉王扫描王 18.(17分) 如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P,Q分别为对角线BD,CD1上的点， BP D OD.-PD-A(03ASD ..Bu A (1)求证：PQ平面BCC1B. DA (②若R是AB上的点，当的值为多少时（用入表示），能使平 A B 面PQR平面A1D1DA?请给出证明. 昌汉扫维王藏 园汉王扫描王 19.(17分) 如图，已知扇形OPQ的半径为2，面积为行，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形（点A,B在半径OP上，点D在半径OQ上） (1)求弧PQ的长 (2)记∠POC=α，当a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积 你 BP 线 ·8· 【26·YK·数学（二）-XB-高-下册-GSZw】 骨汉体王圈 园汉王扫描王高一年级下学期期未考试模拟卷 数学参考答案 1.A解析：依题意a=(-号，），b=(k,Da1b,即-2×十号×1=0，解得k=1 tan不十tang 1+2 2.C 解析：tan(于+0）= 1-tan itan 0 1-1X2=-3. A解：由2+=1+i得：站侣+侣昌2生片号+号所以复数：在复 平面内对应的点的坐标是（号，），该点位于第一象限。 4B解折：在△1以中，由正孩定理A品B得如B信A_ sin 31 a 3/3 =2,又a>b.则 有A>B,所以B=T 6 5.C解析：正三棱柱的底面为正三角形，由对称性可知其外接球的球心O为该三棱柱上、下底 面的中心M,M'的连线的中点，且到上、，下底面的距离d为侧棱长的一半，即d=1.又上、下 底面的中心M,M'到所在面顶点的距离r=号×3=3，由勾股定理得该球的半径R= √+7=2，故外接球的体积V= 3R'32 元， 6.D解析：若方程x2十a.x十b=0没有实数根，则△=a2一4b<0.一枚骰子连续抛掷两次，得 到的点数依次为a,b,记为(a,b),所有可能共36种，其中满足题意的有(1,1)，(1,2)，(1,3)， (1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5).(2,6),(3.3).(3,4),(3,5),(3,6),(4,5). ,共17种.故使得关于x的方程x+a.x十b=0没有实数根的概率 7.B解析：根据题意，∠DBC=60°，∠CBA=15°，∠DCB=∠DCA=90°，∠CAB=30°，且AB= 00m设CD=,则CB=h,又∠ACB=135,在△ABC中，由正弦定理可得 AB sin∠ACB 3 CB 600 、3 in<CAB:即 sin 135 sin 30 解得h=3006m 8.B解析：分别取CB1,BB的中点P,Q,连接MP,PQ(图略).因为MP∥A1B1,A1B1∥ 【26·YK·数学-XIB-高一下册-GSZW】 AB,所以MP∥AB.又因为PQC,B,所以平面MPQ平面ABC1.所以当点N在线段PQ 上运动时，有MN/平面ABC,所以点N的轨迹长为C,B-2×W+(12,5_ 2 9.CD解析：A项，(1+i)(1一i)=2,2不是纯虚数：B项，i(1十i)=一1+i,一1十i不是纯 虚数； C项，(1+i)2=2i,2i是纯虚数：D项，P(-i)=i,i是纯虚数 10.ABD解析：f(x)=cosx(cosx-2√3sinx)-sin2x=cos2x-23 sin rcosr=cos2.x Bsin2x=2m(2x+）./la若）=2om(2a吾+）=2os2a=2-4sifa-号. ∴ia=了又aE(o,)∴ma-号A项正确os9 -2 1 13x =-2,0e[0. 0-至.则f0)=2cos(20+）=2os(誓+）=2cos(2x-）=1.B项正确：“z ∈[-吾，]∴2x+号∈[0.小，则y=2c0s1在1∈[0，]上单调递减，故f)在区间 [-吾，]上单调递减，C项错误：f(x+)=20os(2x+晋+号)=20os(2x+受) -2sin2x∴函数f(x+)为奇函数，D项正确。 11.AB解析：因为n(2)=20,n(A)=12,n(B)=8,n(AUB)=18,所以n(A∩B)=2,n(A 1Q,n(B)=12,所以事件A与事件B不是互斥事件.所以P(AB)三号 2 PA)P国-号X贵若所以PAB)≠PA)P(B.所以事件A与事件后不是进立 事件. 12.1+i 解析：Di=-2(C+Bi)=-22-3+(-4+]=1+i D 解析：如图，令E为CV的中点，连接ME,AE.因为M是CD的 B 中点，则ME∥DN,所以A,M与DN所成的角即为A,M与ME所成的 角，即∠A:ME.由AB=2,AA=4,则A:M=/21,A1E=17,ME D. V2,在△A,ME中，cos∠A,ME=AT+ME-AE_ 2A,M×ME 14 14.5v2解析：在△ABD中，由正弦定理得 AB BD 6X② in∠ADB sin∠BAD,即sin∠BAD- 、2 4 【26·YK·数学-XIB-高-下册-GSZW】 5v2 AB AC 8所以m∠ABC-sin∠BAD2在△ABC中，由BCA-SWABG得AC9 4X5② 8=52. 2 15.解析：(1)=- 。-2i(2-i)=-2_4: 2+i(2+i)(2-i) 551 2 (2)ax+b=- a+b一号=1+则 5a+b=1. b=-1, 解得 Aa a=-5. 5 =4, 16.解析：(1)c与b共线，则可设c=(3x,a).,|c=2√10，∴.92+λ2=40，解得A=士2. 当入=2时，c=(6,2);当入=一2时，c=(一6，一2). (2)a+3b=(2,-1)+3(3,1)=(11,2),ka-3b=k(2,-1)-3(3,1)=(2k-9,-k-3), 则由题意得11(-k-3)=2(2k一9)，解得k=一1.所以ka一3b=(-11,一2)=-(11,2)= 一(a十3b),故此时a十3b与ka-3b反向. 17.解析：(1)由频数分布表估计男生一周课外阅读时间的平均数x= 1×6+3×15十5X6+7X3-3.4,由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数 30 y=0.05×2×1+0.25×2×3+0.10×2×5+0.10×2×7=4. 所以估计总样本的平均数：=3.4X30十4X70 100 3.82. (2)由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为[2,4)的学生中男生有15人， 女生有0.25×2×70=35人，若按比例抽取10人，则男生有3人，女生有7人.从这10人中 抽取2人，通过列举其样本空间共有45个样本点.记事件A为“恰好一男一女”，则事件A 含有3X7=21个样木点，放所求概率PA)=器- 18.解析：(1)如图，连接CP并延长，与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面AA1DD 的交线为D,M. D C 因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD, 故△PCO△PDM,所以品B-A0<<.又为6品0 =A0<I.所以品品-A,所以PQD 因为MD1C平面A1D1DA,PQ吐平面A1D1DA,所以PQ平面AD1DA. 又平面BCCB1平面AD1DA,故PQ平面BCC,B. 【26·YK·数学-XIB-高-下册-GSZW】 2)当船的值为0<A<1)时，能使平面POR/平 D C 面AD1DA. B 证明：如图，因为瓷脚恐-A0<<1.紧-部所 AR 1 BR BP D. 以PRDA.因为DAC平面AD,DA,PR丈平面AD:DA,所以 R B PR∥平面ADDA,又PQ∩PR=P,PQ平面A,DDA,所以平 面PQR平面A:DDA. 1解析：由已知得-2×∠Q0P×2,解得∠QOP=吾则弧PQ的长为号×2 3 (2)在R△OBC中，OB=2cosa,BC=2sina.在R△0AD中，粉=tan60'=3,所以0A DA -5DA=5BC=25 2w3 3 sin a.AB-OB-OA-2cos a sin a. 设矩形ABCD的面积为S, 则5=AB.Bc-(2se-2如)×2如a=4nams。-25 3 ×2sin'a=2sin2a 25×1-os2a)=2sin2a+2y5 25s2a-25=者×（停sn2a+号s2a)-23- 33 后n+》-25 3 由专角子么+后答所以省a+号号即g-时清2-2 3 23 故当a=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为3. 海·7·卷行天下 【26·YK·数学一XIB-高一下册一GSZW】