精品解析：广东省惠州市合生实验学校2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试题

惠州市合生实验学校2024-2025学年第二学期八年级数学期中检测卷 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】A．=，被开方数含分母，不是最简二次根式，故A选项不符合题意； B．=，被开方数为小数，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C．，是最简二次根式，符合最简二次根式的定义，故C选项符合题意； D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查最简二次根式，掌握是否为最简二次根式的判定方法是解题关键． 2. 下列各运算，正确的是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．需根据运算法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】A选项： = ，错误； B选项：，正确； C选项：，错误； D选项：为有理数与无理数相加，无法合并为，错误． 故选：B 3. 下列各组数中是勾股数的是（　　） A. 5，12，13 B. 1，1， C. 2，2，3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：满足的正整数是勾股数． 【详解】A选项，因为，符合勾股数的定义，A正确； B选项，因为不是正整数，不符合勾股数的定义，B错误； C选项，因为，不符合勾股数的定义，C错误； D选项，因为不是正整数，不符合勾股数的定义，D错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握勾股数的定义． 4. 如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是（ ） A. 8 B. 10 C. 64 D. 136 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，AC2+CD2=AD2， 则字母B所代表的正方形的面积=CD2=AC2-AD2=100-36=64， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 5. 下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. AB∥CD，AD＝BC B. ∠A＝∠C，∠B＝∠D C. AB∥CD，AD∥BC D. AB＝CD，AD＝BC 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断； 平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断； 平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定； 平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形； 平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形； 故选A． 【点睛】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 7. 若，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，二次根式乘法计算，根据非负数的性质得到，则，据此求出四个选项中的数，再计算着四个数与的乘法即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∴，，，， 故选：A． 8. 如图所示，在中，，，分别是，，的中点，，，则四边形的周长是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，以及中点的定义可得，，再根据四边形的周长的定义计算即可得解 【详解】解：在中，、、分别是、、的中点， ，， 四边形的周长是． 故选：A 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，中点的定义以及四边形周长的定义，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键． 9. 如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（　　）厘米． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出． 【详解】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形， ∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10（cm）， ∴筷子露在杯子外面的长度至少为13﹣10＝3cm， 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用. 10. 如图，在正方形外取一点E，连接、、，过A作的垂线交于点P，若，，下列结论：①；②；③，其中正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；②利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；③在中，利用勾股定理，可求得、的长，再依据，即可得出，据此即可判断． 【详解】解：①∵，， ∴， 又∵，， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； ③在中，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴，故③错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形面积、勾股定理等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． 二、填空题(共5小题，每小题) 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行列式求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式． 13. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于N，求得，得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：过点B作交的延长线于N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为． 故答案为：80． 14. 如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_______________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接AD，根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出DE的长，即可得出CD的长． 【详解】连接AD， ∵以点A为圆心，AB长为半径作弧， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了在格点图中勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并作出正确的辅助线是本题的关键． 15. 如图，矩形中，，，点E、F分别是、上的动点，，则的最小值是________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．延长至点，使得，连接，，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，从而可得，最后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，由此即可得． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，， ∵矩形中，， ∴，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为20， 故答案为：20． 三.解答题(共9小题) 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）直接利用平方差公式计算即可； （2）先化简各二次根式，计算二次根式的除法运算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE的长． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD,再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形,由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形,则该矩形的对角线相等,即AD=OE. 解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OA=AC=3，OD=BD=4， ∴∠AOD=90°， ∴AD===5． ∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AODE为平行四边形， ∴四边形AODE是矩形， ∴OE=AD=5． 点睛：本题考查了矩形的判定及性质，及菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握平行菱形的性质和矩形的判定方法是解题的关键． 18. 如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴； （2）的面积为6． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及折叠的性质证明，再根据等角对等边即可证明； （2）由折叠的性质得，设，在中，建立方程，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由折叠的性质得，设， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 19. 汉江是长江最大的一条支流，源头在秦岭南麓，从西向东流经多个县域后出陕西进入湖北十堰，如图，在汉江笔直的河流一侧有一旅游地，江边有两个景点，．其中，由于某种原因，从到的路现在不通，为让游客有更好的体验，现决定在江边新建一个景点（，，三点在同一直线上），并修建一条公路，测得千米，千米，千米． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： 千米，千米，千米， ，， ， 是直角三角形； （2）8.45千米． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理． （1）利用勾股定理即可判断； （2）设千米，则千米，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， 设千米，则千米， 在中，， ， 解得千米， 千米． 20. 已知：如图所示，四边形是平行四边形，是直线上的两点，且． （1）求证：； （2）连接、，则四边形是平行四边形吗？ 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ． ． ． 在和中 ， ； （2） 解：四边形是平行四边形．理由如下： 如图，连接 、 ， ， . ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，，进而证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，再根据平行四边形的判定定理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律 等式1：； 等式2：； 等式3：； 等式4：______； （2）观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______，并证明你的猜想； （3）应用运算规律． 化简：． 【答案】（1） （2）， 证明如下： 左边．右边， 所以猜想成立． （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给的特例的形式进行列式即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可；对等式的左边进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：等式1：； 等式2：； 等式3：； 等式4： 故答案为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式混合运算、数字的变化规律等知识点，由所给的式子总结出存在的规律是解答的关键． 22. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长； （3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值． 【答案】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分， ∴OC＝OD， ∵△COD关于CD的对称图形为△CED， ∴OD＝ED，EC＝OC， ∴OD＝ED＝EC＝OC， ∴四边形OCED是菱形． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断． （2）矩形的性质和勾股定理求解． （3）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此时PE+PQ的值最小，由折叠的性质得出∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，由直角三角形的性质得出CQ＝，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2． ∵四边形OCED是正方形， ∴∠COD＝90°． 在直角△COD中，由勾股定理得： OC²+OD²＝2²， ∵OD＝OC， ∴OC＝； （3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示： 此时PE+PQ的值最小为；理由如下： ∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED， ∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO， ∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ， ∵AC＝BD＝3， ∴OC＝OD＝， ∴∠DCO＝∠ACD＝30°， ∴∠DCE＝30°， ∴∠OCQ＝60°， ∴∠COQ＝30°， ∴CQ＝， 即PE+PQ的最小值为． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，正方形的判定，勾股定理以及垂线最短等知识，熟练掌握翻折的性质和菱形的性质与判定是解题的关键. 23. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． （1）当__________时，四边形是矩形． （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）6.5 （2）6 （3） 不能，理由如下： 若四边形是菱形，则四边形是平行四边形， 根据（2）得：， ， 过点作于， 四边形是矩形， ， ，， ， 四边形不可能是菱形． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． （2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）中的求解答案，分析看此时能否为菱形，因为，即可得四边形不可能是菱形； 【小问1详解】 根据题意得：，， ，，， ，， 在四边形中，，， 当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当时，四边形是矩形； 故答案为：6.5； 【小问2详解】 在四边形中，， 当时，四边形是平行四边形， 根据（1）得：， 解得：， 当时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市合生实验学校2024-2025学年第二学期八年级数学期中检测卷 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各运算，正确的是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 2 3. 下列各组数中是勾股数的是（　　） A. 5，12，13 B. 1，1， C. 2，2，3 D. 4. 如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是（ ） A. 8 B. 10 C. 64 D. 136 5. 下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. AB∥CD，AD＝BC B. ∠A＝∠C，∠B＝∠D C. AB∥CD，AD∥BC D. AB＝CD，AD＝BC 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，，，分别是，，的中点，，，则四边形的周长是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 9. 如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（　　）厘米． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在正方形外取一点E，连接、、，过A作的垂线交于点P，若，，下列结论：①；②；③，其中正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题(共5小题，每小题) 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是 ___． 12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 13. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为________． 14. 如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_______________. 15. 如图，矩形中，，，点E、F分别是、上的动点，，则的最小值是________． 三.解答题(共9小题) 16. 计算 （1）； （2）． 17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE的长． 18. 如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G． （1）求证：； （2）若，求的面积． 19. 汉江是长江最大的一条支流，源头在秦岭南麓，从西向东流经多个县域后出陕西进入湖北十堰，如图，在汉江笔直的河流一侧有一旅游地，江边有两个景点，．其中，由于某种原因，从到的路现在不通，为让游客有更好的体验，现决定在江边新建一个景点（，，三点在同一直线上），并修建一条公路，测得千米，千米，千米． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 20. 已知：如图所示，四边形是平行四边形，是直线上的两点，且． （1）求证：； （2）连接、，则四边形是平行四边形吗？ 21. 综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律 等式1：； 等式2：； 等式3：； 等式4：______； （2）观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______，并证明你的猜想； （3）应用运算规律． 化简：． 22. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长； （3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值． 23. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． （1）当__________时，四边形是矩形． （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $