精品解析：陕西省安康市汉滨区七校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试卷

2024-2025学年度高一第二学期“七校”期末联考 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第二册. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某班有男生32人，女生24人，现在要用分层随机抽样的方法从该班中抽取14人参加跳绳比赛，则女生被抽取的人数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2. 复数满足，则复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 已知且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的轴截面是三角形，如图，是水平放置的三角形的直观图，若平行于轴，且，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 小张同学为测量学校紫阳楼的高度，在地面上选取，两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为10m，则紫阳楼的高度为（ ）m． A. B. C. D. 7. 在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45百分位数 C. 中位数不变 D. 众数 10. 已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若，为复数，则 11. 在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，点是棱的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 当是棱的中点时，平面 D. 直线与平面所成的角的正切值最大为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是相互独立事件，且，，则______． 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则________． 14. 已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 16. 如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点. （1）求证：平面； （2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 17. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4. （1）求第七组的频率，并估计该校800名男生身高的平均数（同组中的数据都用该组区间的中点值代替）； （2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，求抽取的两名男生在同一组的概率. 18. 已知中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若，，求的面积； （3）若平分交于点，，，求. 19. 在三棱柱中，，，，，分别为的中点. （1）证明：平面∥平面； （2）证明：平面⊥平面； （3）若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高一第二学期“七校”期末联考 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第二册. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某班有男生32人，女生24人，现在要用分层随机抽样的方法从该班中抽取14人参加跳绳比赛，则女生被抽取的人数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例关系，即可列式求解. 【详解】女生被抽取的人数为. 故选：B 2. 复数满足，则复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数模的运算和除法运算化简复数，进而求得复数的虚部. 【详解】，则的虚部为. 故选：C 3. 已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行，线面垂直，线面垂直，面面垂直相关判定性质逐个判定即可. 【详解】对于A选项：若，，则与可能平行、相交或异面．像墙角三条线，所以不能得出平行，A错． 对于B选项：，则内有直线与平行，又，所以，在内，能推出，B对． 对于C选项：且时，与位置不确定，可在内等，不能得出，C错． 对于D选项：，交线为，，则可以在内，可以与平行，或与相交但不垂直，位置不定，D错． 故选：B． 4. 已知且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 5. 已知圆锥的轴截面是三角形，如图，是水平放置的三角形的直观图，若平行于轴，且，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则求出圆锥的底面圆半径及圆锥的高，进而求出圆锥母线即可求出侧面积. 【详解】由轴，得是圆锥轴截面边上的高，由， 得，则圆锥的母线， 所以圆锥的侧面积为. 故选：B 6. 小张同学为测量学校紫阳楼的高度，在地面上选取，两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为10m，则紫阳楼的高度为（ ）m． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，得到，且，在中，利用正弦定理，得到，求得的值，即可得到答案. 【详解】如图所示，设， 因为从两点测得建筑物顶端的仰角分别为， 可得，且， 因为，且， 在中，由正弦定理得，可得， 所以，解得m. 故选：A. 7. 在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由棱台的结构特征可得，则或其补角为异面直线与所成的角，利用正棱台的结构求解即可． 【详解】如图所示，连接，则，连接，因为， 所以．易知四边形为平行四边形，则，且， 所以或其补角为异面直线与所成的角， 同理知，又，所以为等边三角形，所以， 故选：C． 8. 如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并联和串联电路的性质先求出从A到B电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解. 【详解】上半部分电路畅通的概率为：， 下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联， 畅通的概率为：. 故选:A． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45百分位数 C. 中位数不变 D. 众数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意将10个数据去掉最高分和最低分后分别分析极差、45百分位数、中位数、众数的变化即可得结论． 【详解】某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比， 对于A选项，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A选项错误； 对于B选项，由，所以将10个数据从小到大排列，45百分位数为第5个数据， 从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，， 所以45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据，即为原来的第5个数据，数据没变，故B选项正确； 对于C选项，由，所以将10个数据从小到大排列，中位数为第5个和第6个数据的平均数， 从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，， 中位数为第4个和第5个数据的平均数，即为原来的第5个和第6个数据的平均数，数据没变，故C选项正确； 对于D选项，去掉一个最高分一个最低分，众数可能变化，故D选项错误． 故选：BC. 10. 已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若，为复数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据负数的四则运算以及共轭复数概念可以判断A，B；对于C，假设，计算即可；对D，假设，，，，，，计算即可. 【详解】对于A，，A正确： 对于B，，其共复数为，B正确； 对于C，取，则，，C错误； 对于D，设，，，，，，则， ，D正确. 故选：ABD. 11. 在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，点是棱的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 当是棱的中点时，平面 D. 直线与平面所成的角的正切值最大为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明出平面，利用线面垂直的性质可判断A选项；利用锥体的体积可判断B选项；证明出平面平面，结合面面平行的性质可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为四边形为菱形，则， 因为，，，故为等边三角形， 所以，，则，故，同理可得， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故，A对； 对于B选项，易知为等边三角形，， 因为点在上，且，则， 故，B错； 对于C选项，连接交于点，连接，取线段的中点，连接、， 因为四边形为菱形，，则为的中点， 因为点在上，且，为的中点，则， 所以为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，故平面，C对； 对于D选项，如下图所示： 由A选项可知，平面，所以直线与平面所成角为， 因为平面，所以，则， 因为是边长为的等边三角形，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，故为等腰直角三角形，则， 当时，取最小值，且最小值为， 此时，取最大值，且最大值为，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是相互独立事件，且，，则______． 【答案】0.426 【解析】 【分析】根据事件独立求出，再利用求出答案. 【详解】因为是相互独立事件，所以， 所以． 故答案为：0.426 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】令，，，利用余弦定理求解即可. 【详解】令，，， 由余弦定理可得. 故答案为：. 14. 已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的表面积是. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角的余弦值． 【小问1详解】 向量，，，且，， 可得且，解得，， 即，，则， 则； 【小问2详解】 因为，， 所以，， 设向量与夹角为， 则， 即向量与夹角的余弦值为． 16. 如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点. （1）求证：平面； （2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，使得，再连接，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）利用柱体和锥体的体积公式，分别求得和，根据题意，结合，即可求解. 【小问1详解】 证明：连接，交于点，则为中点，连接，如图所示， 在中，因为分别为的中点，所以， 又因为面，且面，所以平面； 【小问2详解】 解：在正三棱柱中，因为，且， 可得正三棱柱的体积为, 又由三棱锥的体积为， 所以剩余部分的体积为. 17. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4. （1）求第七组的频率，并估计该校800名男生身高的平均数（同组中的数据都用该组区间的中点值代替）； （2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，求抽取的两名男生在同一组的概率. 【答案】（1）0.06，174.1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1可得第七组的频率，用每组数据中点值乘以相应频率相加即得平均数； （2）确定第6组和第8组的人数，分别编号后用列举法写出样本空间，计数后可计算出概率. 【小问1详解】 第六组的频率为， 所以第七组的频率为； 由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 身高在第五组的频率为， 身高在第八组的频率为， 估计该校的800名男生的身高的平均数为； 【小问2详解】 第六组有4人，记为a，b，c，d， 第八组的人数为，记这2人分别为A，B， 因此样本空间可记为，共包含15个样本点， 记事件E：随机抽取的两名男生在同一组， 则，包含7个样本点， 所以，所以抽取的两名男生在同一组的概率为. 18. 已知中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若，，求的面积； （3）若平分交于点，，，求. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系及商数关系有，即可得； （2）由余弦定理得，结合已知有，再应用三角形面积公式求面积； （3）由角平分线得到，进而有，再由及向量数量积的运算律列方程，即可得. 【小问1详解】 由正弦边角关系有，且， 所以，又，则； 【小问2详解】 由余弦定理有，则， 所以，又，则， 所以的面积； 【小问3详解】 由为角平分线且，则，故， 由， 所以， 所以，则. 19. 在三棱柱中，，，，，分别为的中点. （1）证明：平面∥平面； （2）证明：平面⊥平面； （3）若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点，所以，且， 又因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由于面，面，所以面， 在中，，且，同理，且， 所以，又由于面，面，所以面， 又面，，平面， 所以平面∥平面； （2）证明：连接 ，  ， 因为  ，所以  ，又因为  ，且，所以  ， 因为  ，  平面  ，且 ， 所以  平面  ，因为  平面  ， 所以 ，在  中，  ，  ， ， 由余弦定理求得 ， 则 ， ， 因为，所以 ，解得  ， 在，， ，可知，又， 在中，，因此 ． 由（1）知， ，且  ，  平面  ，且  ， 所以 平面， 因为 平面  ，因此平面  平面  ． （3） 【解析】 【分析】（1）只需分别证明面，面，结合面面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明 平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （3）引入参数，将所求表示为的函数即可进一步求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，， 所以到平面的距离为， 在平行四边形中，计算得， 在中可得， 在平行四边形中，计算得， 在中可得， 在中，， 所以到的距离为， 设二面角的平面角为，. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于引入参数，并表示出二面角的平面角的余弦值，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $