精品解析：北京市十一学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

北京市十一学校2024至2025学年第二学期第4学段 高二数学教与学诊断 2025.7 时间：120分钟 总分：150分 命题人：段英华 宋倩倩 贺思轩 张浩 赵寅 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中为偶函数，且在上递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“对任意，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 函数，其中是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数.对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用作为的近似代替值.若利用这一方法，则的近似代替值（ ） A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 与的大小关系无法确定 9. 已知函数，若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数与的图象如下图所示，设函数.则函数在上的极大值点个数为（ ） A. B. C. D. 11. 荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%.而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍，大约经过了（ ） （参考数据：，，） A. 41天 B. 70天 C. 111天 D. 181天 12. 函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（ ） ①；②；③；④. A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①④ 二、填空题（每题5分，共40分） 13. 函数的定义域为______. 14. 使得命题“对任意，”为假命题的的一个取值是______. 15. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 16. 已知是函数的极大值点，那么的取值范围是_____. 17. 已知，，，若，，则的最小值是_______. 18. 已知函数，若，则的单调递增区间为_______；若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______. 19. 已知函数，当时，的值域是________；若且，使得成立，则实数的取值范围为_______. 20. 已知函数，给出下列四个结论： ①当时，有一个零点； ②当时，存在常数，使得恒成立； ③，在上单调递减； ④若有三个零点，则整数的最小值为. 其中所有正确的结论的序号是_______. 三、解答题（共62分） 21. 已知函数. （1）时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 22. 已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. （1）证明：，并求函数、的解析式； （2）直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； （3）设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 23. 已知函数. （1）若无单调递减区间，求的取值范围； （2）关于的方程有两个不同的根、，且. （i）若，求的取值范围； （ii）若，记.问：当取何值时，取得最小值. 24. 已知集合A是正整数集的真子集，若A满足如下两个性质，则称A具有性质P.条件①：存在，使得；条件②：对任意，且，都有. （1）判断下列两个集合是否具有性质；（无需过程）；. （2）若集合A具有性质P，且A为有限集，求集合A的元素个数的最小值和最大值； （3）是否存在具有性质P且为无限集的集合A?如果存在，求出满足条件的所有集合A；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市十一学校2024至2025学年第二学期第4学段 高二数学教与学诊断 2025.7 时间：120分钟 总分：150分 命题人：段英华 宋倩倩 贺思轩 张浩 赵寅 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以，故. 故选：B. 2. 下列函数中为偶函数，且在上递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的基本性质可对A判断；利用偶函数的定义，且结合，即可对B判断；利用偶函数的定义且结合对勾函数可对C判断；由得为奇函数，即可对D判断. 【详解】A：为偶函数，但其在上单调递减，故A错误； B：其定义域为，且， 则为偶函数，又因为，，则在上不是递增的，故B错误； C：的定义域为，且，则为偶函数， 又恒成立，且，当且仅当时，即时取等号， 则由对勾函数性质可得当时，单调递增，故C正确； D：的定义域为，且，则为奇函数，故D错误； 故选：C. 【点睛】 3. 已知实数，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可. 【详解】解：由题可知，， A项中，若，则，故A项错误； B项中，若，则，故，故B项错误； C项中，若，则，故C项错误； D项中，， 因为，则，故正确，故D项正确. 故选：D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】函数在上为减函数，故， 函数为上的增函数， 所以，，故， 因此，. 故选：B. 5. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率表示变化率及导数表示瞬时速度，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案． 【详解】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确． 故选：C． 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及即可排除求解. 【详解】的定义域为， 且,故为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B， ，此时可排除AD, 故选：C 7. “”是“对任意，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可判断条件关系. 【详解】若，则， 当时，，故； 当时，，故； 当时，， 故能推出； 反之，若对任意，， 因为时，，故，故即； 而时，，故，故即； 时显然成立，故， 故对任意，能得到， 故“”是“对任意，”的充要条件， 故选：C. 8. 函数，其中是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数.对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用作为的近似代替值.若利用这一方法，则的近似代替值（ ） A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 与的大小关系无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】定义函数解析式，根据近似代替值公式进行求解，然后判断单调性，得出答案. 【详解】设函数，则. 选择，所以. 应用近似代替值公式可得 . 由于函数是一个增函数，且，所以. 因此，近似值. 故选：A. 9. 已知函数，若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，按分类，结合函数单调性、极值讨论函数的零点是否符合题设要求即可得解. 【详解】显然，否则函数有两个零点，不符合题意， 函数，求导得， 当时，由，得或，函数在上单调递增， ，则函数在上有一个零点，不符合题意； 当时，由，得或，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，当时，取得极大值， 而，则在上有唯一零点， 因为有且只有一个零点，且，则当且仅当，于是， 所以实数的取值范围是. 故选：A 10. 已知函数与的图象如下图所示，设函数.则函数在上的极大值点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知虚线表示的为函数的图象，实线表示的为函数的图象，求得，结合图象以及极大值点的定义可得出结论. 【详解】由图象可知，若虚线表示的为函数的图象， 当时，，则在上单调递增，与题意不符， 故虚线表示的为函数的图象，实线表示的为函数的图象，如下图所示： 因为，则， 由图可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，函数在、上单调递增，在、上单调递减， 故函数在区间上有两个极大值点， 故选：C. 11. 荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%.而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍，大约经过了（ ） （参考数据：，，） A. 41天 B. 70天 C. 111天 D. 181天 【答案】A 【解析】 【分析】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为，根据题意结合增长率列出相应方程，利用对数近似计算，即得答案. 【详解】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为，当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了天，当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的3倍时，大约经过了天， 由题意得，即， 取对数得， 由于，所以， 所以，解得， 所以当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了天， 当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的3倍时，大约经过了天， 所以从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍至少经过了天， 故选：A 12. 函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（ ） ①；②；③；④. A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先对函数分别求导，通过对的取值进行讨论，得出函数的最大值，即可求出，由数形结合思想可知，当直线经过点时，与两曲线和恰好有三个交点，不妨设，通过比较和的大小，即可判断①错误，②正确；再利用指数和对数恒等式证明④正确，再利用反证法可判断③错误. 【详解】根据题意，由，得，令，解得， 同理，由，得，令，解得， 当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时，函数有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为； 又函数和有相同的最大值，得，即，解得. 则两个函数图像如图所示，由数形结合思想可知，当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设， 则，，可知，所以，故①错误，②正确； 又，则，即， 又，，又当时，函数单调递增，所以， 又，即， 又，，又当时，函数单调递减，所以， 所以，，所以，即，故④正确； 如果成立，则，所以，即，所以，与矛盾，所以不成立，故③错误. 故选：A. 二、填空题（每题5分，共40分） 13. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得， 故定义域为. 故答案为： 14. 使得命题“对任意，”为假命题的的一个取值是______. 【答案】（只需满足即可）. 【解析】 【分析】根据命题“对任意，”为真命题，结合参变量分离法可求出的取值范围，再结合补集思想可得出结果. 【详解】命题“对任意，”为真命题， 则对任意的恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时等号成立， 故，解得， 所以，要使得命题“对任意，”为假命题，则. 故答案为：（只需满足即可）. 15. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式，根据必要不充分条件的定义可得出集合的包含关系，即可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由得，解得， 因为“”是“”的必要不充分条件， 则是的真子集，故，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 16. 已知是函数的极大值点，那么的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析该函数的单调性，结合极大值点的定义可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则， 由可得或， 因为函数在处取得极大值，分以下几种情况讨论： 当时，即当时，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 此时函数在处取得极小值，不合乎题意； 当时，即当时，对任意的恒成立， 此时函数在上单调递增，无极值点，不合乎题意； 当时，即当时，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 此时，函数在处取的极大值，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 17. 已知，，，若，，则的最小值是_______. 【答案】## 【解析】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，，，且，， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 18. 已知函数，若，则的单调递增区间为_______；若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，分析函数的奇偶性，化简函数的解析式，结合导数法可求出函数的增区间；对实数的取值进行分类讨论，化简函数的解析式，分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法可求出实数的取值范围. 【详解】当时，， 因为的定义域为，， 故函数为偶函数， 当时，，则，即函数在上单调递增， 故当时，函数的增区间为； 当时，，则， 由题意知，对任意的，，则，可得， 此时； 当时，由可得，由可得， 所以， 因为函数在区间上单调递增， 若，则，， 此时函数在区间上不单调； 若时，即当时，则当时，， 则对任意的，，则，可得， 此时； 若时，即当时，则当时，， 则对任意的，，则，可得， 这与矛盾，此时不成立. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：，. 19. 已知函数，当时，的值域是________；若且，使得成立，则实数的取值范围为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，利用分段函数的基本性质可求出函数的值域；对实数进行分类讨论，讨论、与的大小关系，结合可得出关于的等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，， 当时，，当且仅当时，取等号； 当时，. 故当时，函数的值域为； 若，则，，，即，合乎题意； 若， 若，则，，显然若、， 由于函数在上单调，故； 若，由可得， 整理得，解得或， 所以，解得， 且，解得，合乎题意，此时且； 若，由可得， 整理得，因为，解得，此时， 则，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 20. 已知函数，给出下列四个结论： ①当时，有一个零点； ②当时，存在常数，使得恒成立； ③，在上单调递减； ④若有三个零点，则整数的最小值为. 其中所有正确的结论的序号是_______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】当时，结合函数的单调性与代数式法求出函数的零点，可判断①；根据时，，可判断②；利用导数法可判断③；数形结合可判断④. 【详解】对于①，当时，， 当且时，，则， 当时，，则， 此时函数在上单调递减，此时， 故当时，有一个零点，①对； 对于②，当时，且当且越来越大时，， 的增长速度越来越慢，要慢于函数的增长速度， 故当时，，此时不存在常数，使得恒成立，②错； 对于③，，当时，，， ，则，即函数在上单调递减， 当时，，，则， ， 因为，则，故对任意的，， 即函数在上单调递减， 又因为函数在上连续， 故对任意的，函数在上单调递减，③对； 对于④，由可得， 作出函数与直线的图象，如下图所示： 要使得函数与直线的图象，则， 当时，设直线与函数的图象相切于点， 此时，由题意可得，整理得， 令，则，即函数在上单调递减， 且，此时，直线与函数在上有且只有一个交点，不合乎题意； 结合图形可知，当直线与函数的图象相切于点，则， 所以，整理得，其中， 令，其中，则, 故函数在上单调递增， 因为，， 故存在，使得， 所以存在使得， 故当时，直线与函数的图象相切， 当时，直线与函数的图象有三个交点，故整数的最小值为，④对. 故答案为：①③④. 三、解答题（共62分） 21. 已知函数. （1）时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求出函数的定义域和导数，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）由题意可知函数在处取得极小值，可得出，求出实数的值，再结合极值点的定义验证即可. 【小问1详解】 当时，，则，故，， 此时函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，对任意的，，此时函数的增区间为，无减区间； 当时，由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问3详解】 因为，对任意的，， 所以函数在处取得最小值， 由于函数为可导函数，故函数在处取得极小值， 故，解得，此时，， 由（2）知，函数的减区间为，增区间为， 故函数在处取得极小值，也是最小值，即，合乎题意. 因此，实数的取值范围是. 22. 已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. （1）证明：，并求函数、的解析式； （2）直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； （3）设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：因为函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①. 则，即②，故得证. 联立①②可得，. （2）增函数，解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性的定义结合可证得结论成立，将结论与已知等式构成方程组，即可解得、的解析式； （2）分析函数的单调性，结合奇函数的性质可将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可； （3）先根据函数在上的单调性，推得，再通过换元，将函数转化为，根据二次函数的性质求出其最小值，结合题意需使，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数为上的增函数，证明如下： 任取，由 ， 因，则，且，故得， 即函数为上的增函数. 由得， 所以，即，解得或， 故所求不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，易得函数在上单调递增， 当时，，故； 又因为 ， 令，即有， 而函数， 故当时，，即. 因为对于，，使得. 故需使解得. 因此，实数的取值范围是. 23. 已知函数. （1）若无单调递减区间，求的取值范围； （2）关于的方程有两个不同的根、，且. （i）若，求的取值范围； （ii）若，记.问：当取何值时，取得最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）分析可知，对，，可得出，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （2）（i）当时，由题意可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （ii）由关于的方程有两个不同的根、，可得出，，转化为，当取最小值时，在时取最大值，构造函数，其中，再利用导数求解，即可得到答案. 【小问1详解】 因为，其中且，则， 因为函数无单调递减区间，则对，， 即，可得， 令，其中，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 【小问2详解】 （i）当时，由可知，直线与函数的图象有两个交点， ，由可得，列表如下： 减 减 极小值 增 故函数的极小值为， 且当时，；当时，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 故实数的取值范围是； （ii）由题意可得，即，且， 可得，即，故， 因为，其中且，， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 故，故，即在上单调递增，在上单调递增， 因为，故当时，；当时，； 当时，.故有，， 令，则， 令，则， 故函数在上单调递减，故，故， 故当取最小值时，取最大值，即在时取最大值， 令，其中，则， 令，则对任意的恒成立， 即函数在上单调递减， 当时，，且， 故存在，使得， 当时，，，即函数在上单调递增， 当时，，，即函数在上单调递减， 所以，，此时，即， 即当时，取小值. 24. 已知集合A是正整数集的真子集，若A满足如下两个性质，则称A具有性质P.条件①：存在，使得；条件②：对任意，且，都有. （1）判断下列两个集合是否具有性质；（无需过程）；. （2）若集合A具有性质P，且A为有限集，求集合A的元素个数的最小值和最大值； （3）是否存在具有性质P且为无限集的集合A?如果存在，求出满足条件的所有集合A；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）具有性质；不具有性质； （2）最小值2,最大值5 （3）有；，，，，. 【解析】 【分析】（1）直接根据定义验证即可； （2）先证明单元素集合不符合要求，然后由（2）有一个2元素集合符合要求，可得集合元素个数的最小值；分析集合中的元素的最大值，当超过6时，根据题意得到无限集合，当最大是5时，构造得到符合要求的集合，从而得到集合元素个数的最大值； （3）分析含有大于7的奇数时，必然得到包含所有的正整数，没有大于7的奇数时，必有大于7的偶数，由此得到必须包含所有的偶数，这时奇数1，3，5是可选的，的分析可得有5时必有1，3，有3时必有1，从而分析得到所有的满足条件的无限集合. 【小问1详解】 对于，若使得​，只能是，此时，所以具有性质P。 对于，取，则，但​， 不满足条件②，所以不具有性质P。 【小问2详解】 取，具有性质. ，则∴， 若，，， 时，，， ∴∣A∣最小值为2； ​设中的最大值为，则， 时，，， 时， 是满足性质的， 再添加，就必须添加1，这样集合，， 时，∵，∴， ，∴， 再添加1，2，3，，，满足性质的， 若时，， ，,， ∴∣A∣的最大值为5. 【小问3详解】 ，是奇数，， 以此类推，一切小于的正奇数都属于A， ∵，∴，， 记，， 依此类推，可得到任意大的偶数属于A， ， ， 依此类推得到所有偶数属于A， ∴只要具有性质P且为无限集的集合A中含有大于等于7的奇数，则所有的正整数都属于集合A. 若没有大于等于7的奇数，则必有大于7的偶数，，时比更大的偶数，由此得出任意大的偶数属于A，从而属于A，于是得出所有的偶数都属于A， 这样一来，奇数1，3，5是可选的， ∵， ∴集合A中5时必有1，3，有3时必有1，从而分析得到所有的满足条件的无限集合： 有大于等于7的奇数时，只有一个， 没有大于7的奇数时有4个： ，， ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $