精品解析：北京市海淀区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

海淀区七年级练习 数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，26道小题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名． 3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，请将本试卷交回． 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）． A. (1，3) B. (1，－3) C. (－1，3) D. (－1，－3) 2. 如图，数轴上表示的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线相交于点，垂足为．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年，北京市在“十四五”规划框架下，将加速推进人工智能、量子信息、人形机器人等前沿科技领域的创新发展．其中，海淀区量子产业园计划于下半年面向中学生举办“未来科技开放日”活动，预计将吸引大批学生及家长参与．为确保活动顺利开展，主办方需提前完成多项调研与检测工作．以下工作最适合采用全面调查的是（ ） A. 开始活动前，了解海淀区初中学生中，有多少人知道“量子通信”概念 B. 活动当天，对进入展区的人员进行安全检查 C. 活动当天，统计到访的中学生对“天工人形机器人”展区的喜爱程度 D. 活动结束后，了解参观者对展区讲解内容的满意程度 6. 已知是方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 7. 在平面直角坐标系中，长方形边均与某坐标轴平行．已知是该长方形的两个顶点坐标，则下列各点中可以是该长方形顶点的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，假命题是（ ） A 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 的算术平方根是 C. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D. 如果，那么 9. 将图1中的5个边长为1的小正方形，剪拼成图2中的大正方形．在数轴上，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. 或 C. 5 D. 5或 10. 近年来，中国的新能源汽车产业蓬勃发展，为经济发展注入了强劲动力．通过对规模以上工业企业（即年主营业务收入万及以上的工业企业）工业生产报表按月进行全面调查（月份数据免报），下图统计了年月年月期间规模以上工业新能源汽车的相关数据，其中条形图为新能源汽车每月的日均产量，折线图为每月日均产量的同比增速，同比增速．由图判断，下列描述中所有正确的是（ ） 年月年月期间，新能源汽车的产量保持同比增长，发展态势良好； 年的四个季度中，第四季度为新能源汽车的生产旺季； 年月的新能源汽车日均产量低于年月的新能源汽车日均产量． A. B. C. D. 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 5的平方根是___________． 12. 剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是___________． 13. 如果，那么的值为___________． 14. 是由平移得到的，点在线段上．若的长为无理数，写出一个满足题意的的长为___________． 15. 小军和小明进行了一场五子棋比赛．棋盘如图如示，若坐标轴均与棋盘中某条网格线平行，黑棋所在位置的坐标为，白棋所在位置的坐标为，则黑棋所在位置的坐标为___________． 16. 根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的最新要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力I、运动能力II、素质项目II中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下： 运动能力I 人数 运动能力II 人数 素质项目II 人数 篮球 16 健身长拳 26 1分钟跳绳 17 足球 12 游泳 4 实心球 排球 2 表中的___________；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有___________人． 三、解答题（本题共52分，第17题4分，18题8分，第19-22题，每小题4分，第23题5分，第24题6分，第25题6分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解下列方程组： （1） （2） 19. 解不等式组： 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将线段平移到． （1）画出线段，并直接写出点的坐标； （2）直接写出四边形的面积． 21. 如图，在中，． （1）判断位置关系，并说明理由； （2）若平分，求的度数． 22. 某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低5元，5套普通版的成本与4套手绘版的成本共110元． （1）求出每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； （2）现决定将普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为12元和20元．如果共售出100套，且普通版明信片不少于20套，那么总利润最高是多少元？ 23. 某校七至九年级开展“每周课外阅读情况”调查，对学生某一周课外阅读时间（单位：小时）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．七年级一班50名学生该周课外阅读时间如下： 阅读时间（小时） 学生人数 10 15 18 7 b．七年级二班50名学生该周课外阅读时间的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）： c．七至九年级学生人数扇形统计图： d．七至九年级学生共2000人．根据以上信息，回答下列问题： （1）①补全上面的频数分布直方图； ②该校七年级学生共___________人； （2）每班将该周课外阅读时间按从高到低的顺序排在前50%（含）的学生授予“班级阅读之星”称号，若七年级小明同学该周课外阅读时间在七年级一班不能被授予“班级阅读之星”称号，但在七年级二班可以被授予“班级阅读之星”称号，则他的阅读时间满足___________；（填符合要求的序号） A． B． C． D． （3）小亮同学分析数据时发现，七年级一班、二班该周课外阅读时间小于2小时的人数均占班级人数的20%，因此他估计全校该周课外阅读时间小于2小时的人数约为400人，你同意小亮同学的说法吗？说明理由． 24. 如图，和过点的直线满足是线段上的动点，过点作直线与平行． （1）如果，那么___________； （2）设的角平分线是射线，的角平分线是射线． ①如果射线交于点，求； ②如果射线有公共点，直接写出的取值范围． 25. 对于的不等式（其中），我们称不等式“”是它的“逆不等式”，不等式“”是它的“否不等式”． （1）对于不等式，它的“逆不等式”是___________；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是___________； （2）对于的不等式（其中）， ①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求的数量关系；（用等式表示） ②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围． 26. 对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． （1）下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ① ② ③ ④ （2）设是坐标平面上的动点，且，，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； （3）从下列①，②两问中选择一个解答 ①在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②在坐标平面内，是否存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海淀区七年级练习 数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，26道小题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名． 3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，请将本试卷交回． 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）． A. (1，3) B. (1，－3) C. (－1，3) D. (－1，－3) 【答案】C 【解析】 【分析】根据第二象限点的特征：横坐标为负，纵坐标为正判断即可； 【详解】(1，3)在第一象限，故A不正确； 在第四象限，故B不正确； 在第二象限，故C正确； 在第三象限，故D正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中象限内的点，准确分析判断是解题的关键． 2. 如图，数轴上表示的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握数轴表示不等式解集的规则。 根据数轴上表示不等式解集的规则，空心圆圈表示不包含该点，折线向右表示大于该点数值，从而确定解集． 【详解】数轴上是在1这个点用空心圆圈，且折线向右，故表示的不等式的解集是， 故选：A． 3. 如图，直线相交于点，垂足为．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线，角的计算，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用对顶角相等可得：，再根据垂直定义可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A ． 4. 若，则下列变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项． 【详解】解：A、∵，∴，故本选项的变形错误； B、无法比较，的大小，故本选项的变形错误； C、∵，∴，故本选项的变形正确； D、∵，∴当时，；当时，，故本选项的变形错误． 故选：C 5. 2025年，北京市在“十四五”规划框架下，将加速推进人工智能、量子信息、人形机器人等前沿科技领域的创新发展．其中，海淀区量子产业园计划于下半年面向中学生举办“未来科技开放日”活动，预计将吸引大批学生及家长参与．为确保活动顺利开展，主办方需提前完成多项调研与检测工作．以下工作最适合采用全面调查的是（ ） A. 开始活动前，了解海淀区初中学生中，有多少人知道“量子通信”概念 B. 活动当天，对进入展区的人员进行安全检查 C. 活动当天，统计到访的中学生对“天工人形机器人”展区的喜爱程度 D. 活动结束后，了解参观者对展区讲解内容的满意程度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查和抽样调查的适用情况，解题的关键是根据调查对象的特征判断调查方式． 判断各选项调查对象的特征，看是否适合全面调查，全面调查适用于要求精确、难度不大、具有可操作性且事关重大的调查． 详解】A、海淀区初中学生数量庞大，全面调查成本高、耗时长，适合抽样调查； B、安全检查需确保每位进入展区的人员均无危险物品，必须全面检查，不能遗漏，故需全面调查； C、到访学生数量较多，且喜爱程度可通过抽样推断整体情况，无需全面调查； D、参观者数量较多，且满意度可通过抽样推断整体情况，无需全面调查． 故选：B． 6. 已知是方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式求值，解题的关键是将方程的解代入方程，再对所求代数式进行变形求值． 先把方程的解代入方程，得到的值，再将所求代数式变形，整体代入求值． 【详解】已知是方程的一个解， 把代入方程中，可得 变形可得， 把代入，则，即． 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，长方形的边均与某坐标轴平行．已知是该长方形的两个顶点坐标，则下列各点中可以是该长方形顶点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查是坐标与图形，根据由于长方形的边与坐标轴平行，其顶点坐标由两组不同的x值和y值组合而成，而顶点为对角顶点，在确定长方形的另外两个顶点即可. 【详解】解：如图，长方形的边均与某坐标轴平行．是该长方形的两个顶点坐标， ∴另外两个顶点坐标为：，， ∴B符合题意； 故选：B 8. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 的算术平方根是 C. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D. 如果，那么 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判断，涉及同位角、算术平方根、垂线段性质、不等式性质，解题的关键是熟练掌握相关数学概念和性质． 根据同位角、算术平方根、垂线段、不等式的性质，逐一分析各选项命题的真假． 【详解】A、两条直线被第三条直线所截，同位角相等．该结论成立的前提是两条直线平行．若两条直线不平行，同位角不相等．原命题未说明条件，故为假命题，符合题意； B、的算术平方根是2，而2的算术平方根是，该命题是真命题，不符合题意； C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．这是垂线段最短的公理，该命题是真命题，不符合题意； D、已知，当时，不等式两边乘，不等号方向改变，即；当时，，所以，该命题是真命题，不符合题意． 故选：A． 9. 将图1中的5个边长为1的小正方形，剪拼成图2中的大正方形．在数轴上，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. 或 C. 5 D. 5或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的计算以及数轴的应用，解题的关键是先求出大正方形的边长，再确定点表示的数． 先根据小正方形个数求出大正方形面积，进而得出边长，再结合圆的半径与数轴的关系，确定点表示的数． 【详解】解：大正方形的面积就是， 设大正方形的边长为，根据正方形面积公式， 由，可得（边长不能为负，舍去），即， 以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则． 因为数轴上原点两侧到原点距离为的点有两个，分别在原点右侧和左侧，所以点表示的数为或， 故选：B． 10. 近年来，中国的新能源汽车产业蓬勃发展，为经济发展注入了强劲动力．通过对规模以上工业企业（即年主营业务收入万及以上的工业企业）工业生产报表按月进行全面调查（月份数据免报），下图统计了年月年月期间规模以上工业新能源汽车的相关数据，其中条形图为新能源汽车每月的日均产量，折线图为每月日均产量的同比增速，同比增速．由图判断，下列描述中所有正确的是（ ） 年月年月期间，新能源汽车的产量保持同比增长，发展态势良好； 年四个季度中，第四季度为新能源汽车的生产旺季； 年月的新能源汽车日均产量低于年月的新能源汽车日均产量． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、折线统计图，根据折线统计图中同比增速都是正数，可知年月年月期间，新能源汽车的产量保持同比增长，发展态势良好；由条形统计图可知，年的四个季度中，第四季度的三个月的日均产量相对于前三个季度日均产量较高，可知第四季度为新能源汽车的生产旺季；根据年的月和月的日均产量和同比增速分别计算出据年的月和月的日均产量，通过比较可知：年月的新能源汽车日均产量低于年月的新能源汽车日均产量． 【详解】解：由折线统计图可知， 年月年月期间，同比增速都是正数， 年月年月期间，新能源汽车的产量保持同比增长，发展态势良好， 故正确； 由条形统计图可知，年的四个季度中，第四季度的三个月的日均产量相对于前三个季度日均产量较高， 第四季度为新能源汽车的生产旺季， 故正确； 年月新能源汽车日均产量万辆，同比增长， 所月新能源汽车日均产量是万辆， 年月的新能源汽车日均产量万辆，同比增长， 所月新能源汽车日均产量是万辆， 年月的新能源汽车日均产量低于年月的新能源汽车日均产量， 故正确． 故选：D． 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 5的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴5的平方根是． 故答案为： 12. 剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是___________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据内错角相等，两直线平行即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 13. 如果，那么的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性、求代数式的值，先根据绝对值的非负性以及算术平方根的非负性求出，，再代入代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 是由平移得到的，点在线段上．若的长为无理数，写出一个满足题意的的长为___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，无理数大小的估计．由平移的性质得到，从而写出一个小于5的无理数即可． 【详解】解：由平移的性质得到， ∵， ∴满足题意的的长可以为． 故答案为：（答案不唯一） 15. 小军和小明进行了一场五子棋比赛．棋盘如图如示，若坐标轴均与棋盘中的某条网格线平行，黑棋所在位置的坐标为，白棋所在位置的坐标为，则黑棋所在位置的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，先由黑棋、白棋所在位置的坐标建立平面直角坐标系，再结合平面直角坐标系即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵黑棋所在位置的坐标为，白棋所在位置的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ∴黑棋所在位置的坐标为， 故答案为：． 16. 根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的最新要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力I、运动能力II、素质项目II中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下： 运动能力I 人数 运动能力II 人数 素质项目II 人数 篮球 16 健身长拳 26 1分钟跳绳 17 足球 12 游泳 4 实心球 排球 2 表中的___________；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有___________人． 【答案】 ①. 13 ②. 13 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理．根据题意推理求解即可． 【详解】解：由题意得某班所有男生的人数为人， 选择1分钟跳绳的人数为17人， ∴选择实心球的人数为人； 已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合， 而选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同， ∴对应的组合可能为：篮球，1分钟跳绳；篮球，实心球；足球，1分钟跳绳；足球，实心球； 在选择篮球的16人中，已经确定2人选择游泳， 因此剩余的14人需要选择健身长拳； 而在选择1分钟跳绳的17人中，选择排球而非篮球的人有2人；选择游泳而非健身长拳的人有2人；因此选择1分钟跳绳的剩余的人； 要使选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合的人数最多，则在已经确定选择篮球、健身长拳的14人中，尽可能多的选择跳绳， 而1分钟跳绳的名额剩余13人， ∴在上述14人中有13人选择1分钟跳绳即为所求， ∴选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有13人， 故答案为：13；13． 三、解答题（本题共52分，第17题4分，18题8分，第19-22题，每小题4分，第23题5分，第24题6分，第25题6分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求算术平方根，绝对值，立方根等实数运算，根据算术平方根，绝对值，立方根进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）由①得，再利用代入法解方程组即可． （2）由①②，得，再求解即可. 【小问1详解】 解： 由①，得． 将代入②，解得 所以． 所以原方程组的解为 . 【小问2详解】 解： 由①②，得， 将代入①，得． 所以原方程组的解为. 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将线段平移到． （1）画出线段，并直接写出点的坐标； （2）直接写出四边形的面积． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换及四边形的面积，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）分两种情况：当点平移到点时，平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度；当点平移到点时，平移的方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，由此画出平移后的图形即可，结合图形写出坐标； （2）画出图形，分两种情况，利用割补法计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵在平面直角坐标系中，已知点，，，将线段平移到， ∴当点平移到点时，平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 当点平移到点时，平移的方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 画出线段如图所示： 点的坐标为或； 【小问2详解】 解：如图，若当点平移到点时， ， ∵，，， ∴四边形的面积为． 如图，若点平移到点时， 四边形的面积. 21. 如图，在中，． （1）判断的位置关系，并说明理由； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）先证明，结合，可得，从而可得结论； （2）由（1）知，，可得．结合，可得，证明，再进一步可得答案. 【小问1详解】 解： ，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知，． ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 22. 某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低5元，5套普通版的成本与4套手绘版的成本共110元． （1）求出每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； （2）现决定将普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为12元和20元．如果共售出100套，且普通版明信片不少于20套，那么总利润最高是多少元？ 【答案】（1）每套普通版明信片的成本价是10元，每套手绘版明信片的成本价是15元 （2）总利润最高为440元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． （1）设每套普通版明信片的成本价是元，每套手绘版明信片的成本价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设售出套普通版明信片，表示出总利润为，再结合，计算即可得解． 【小问1详解】 解：设每套普通版明信片的成本价是元，每套手绘版明信片的成本价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：每套普通版明信片的成本价是10元，每套手绘版明信片的成本价是15元． 【小问2详解】 解：设售出套普通版明信片，则总利润为：， 因为， 所以． 答：总利润最高为440元． 23. 某校七至九年级开展“每周课外阅读情况”调查，对学生某一周课外阅读时间（单位：小时）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．七年级一班50名学生该周课外阅读时间如下： 阅读时间（小时） 学生人数 10 15 18 7 b．七年级二班50名学生该周课外阅读时间的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）： c．七至九年级学生人数扇形统计图： d．七至九年级学生共2000人．根据以上信息，回答下列问题： （1）①补全上面的频数分布直方图； ②该校七年级学生共___________人； （2）每班将该周课外阅读时间按从高到低的顺序排在前50%（含）的学生授予“班级阅读之星”称号，若七年级小明同学该周课外阅读时间在七年级一班不能被授予“班级阅读之星”称号，但在七年级二班可以被授予“班级阅读之星”称号，则他的阅读时间满足___________；（填符合要求的序号） A． B． C． D． （3）小亮同学分析数据时发现，七年级一班、二班该周课外阅读时间小于2小时的人数均占班级人数的20%，因此他估计全校该周课外阅读时间小于2小时的人数约为400人，你同意小亮同学的说法吗？说明理由． 【答案】（1）①图见解析；②700 （2）B （3）不同意，因为样本不具有代表性 【解析】 【分析】本题考查频数分布表和频数分布直方图，扇形统计图，抽样调查，读懂相关的统计图表是解题的关键． （1）①将全部50人减去其他各组人数，得到第3组的人数，即可补全直方图； ②将全校2000人乘以扇形图中七年级的百分比，即可解答； （2）根据七年级一班，二班的阅读时间分析即可解答； （3）根据抽样调查对样本抽取的要求解答即可． 【小问1详解】 解：①第3组的学生人数为：（人）， 补全直方图如下： ②（人） ∴该校七年级学生共700人． 故答案为：700 【小问2详解】 解：观察表格可发现，七年级一班阅读时间在4小时以上的学生有25人，是全班同学的，而在七年级二班阅读时间在4小时以上的学生有人，少于全班同学的， ∴小明的阅读时间满足． 故选：B 【小问3详解】 解：不同意小亮同学的说法，因为样本不具有代表性，不能反映出八年级和九年级的情况． 24. 如图，和过点的直线满足是线段上的动点，过点作直线与平行． （1）如果，那么___________； （2）设的角平分线是射线，的角平分线是射线． ①如果射线交于点，求； ②如果射线有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）85 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）首先求出，得到，然后根据平行线的性质求解即可； （2）①如图所示，过点B作，过点Q作，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可； ②根据题意分两种情况讨论：当点A和点Q重合时，当点P和点Q重合时，然后根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 ①如图所示，过点B作，过点Q作 ∵ ∴ ∵的角平分线是射线 ∴ ∵， ∴ ∴； ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵的角平分线是射线 ∴ ∵ ∴ ∴； ②如图所示，当点A和点Q重合时， 由①可得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图所示，当点P和点Q重合时， ∵，的角平分线是射线 ∴ ∴综上所述，如果射线有公共点，的取值范围为． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 对于的不等式（其中），我们称不等式“”是它的“逆不等式”，不等式“”是它的“否不等式”． （1）对于不等式，它的“逆不等式”是___________；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是___________； （2）对于的不等式（其中）， ①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求的数量关系；（用等式表示） ②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①且 ②或 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及不等式组，新定义，不等式的解集等知识点，难度较大，解题的关键是理解新定义． （1）根据定义得到“逆不等式”是，“否不等式”为，再联立得到不等式组，再求解即可； （2）①由于和有相同的解集，则为一正一负，分两种情况讨论，分别解不等式即可； ②设，当时，当时，均不成立；当时，解集为，即：；当时，解集为，即：，由于存在唯一的负整数，则或，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：由题意得，不等式，它的“逆不等式”是，“否不等式”为， ∴， 解得不等式组的解集为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由题意得：和有相同的解集， ∵解集的不等号发生了改变， ∴为一正一负， 当时，由解得：；由解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，由解得：；由解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的数量关系为：且； ②设， 当时，由解得：；由解得， 则解集有无数负整数，不符合题意，舍； 当时，由解得：；由解得， 则解集无负整数，不符合题意，舍； 当时，由解得：；由解得， 则解集为， 即：； 当时，由解得：；由解得， 则解集为， 即：， ∵存在唯一的负整数， ∴或， ∴或， ∴或． 26. 对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． （1）下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ① ② ③ ④ （2）设是坐标平面上的动点，且，，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； （3）从下列①，②两问中选择一个解答 ①在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②在坐标平面内，是否存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①②③ （2） （3）选择①，不存在．理由见解析；选择②，不存在．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标特征，理解“坐标相合”的点的定义是解题的关键； （1）根据“坐标相合”的点的定义逐个判断即可； （2）根据“坐标相合”的定义得到，必须恰好落在某长方形的左右两条边上，点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上，据此列不等式求解即可； （3）选择①，利用假设法证明不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的； 选择②，利用假设法证明不存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的． 【小问1详解】 解：①与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ②与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ③与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ④与，，作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，由于轴，则，必定在长方形一条边上，与，，，分别落在该长方形的四条边上矛盾，与，，不是“坐标相合”的点； 故答案：①②③； 【小问2详解】 解：∵，两点的纵坐标相同，且，，，是“坐标相合”的， ∴，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， ∴点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上， ∴ 解得； 【小问3详解】 解：选择①，不存在．理由如下： 假设存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的， 所以，，，和，，，均是“坐标相合”的， 同（2）的分析可知，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， 所以在，，，中需要落在长方形的上边界上，即在直线上方；在，，，中需要落在长方形的下边界上，即在直线下方，相互矛盾． 所以不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的． 选择②，不存在．理由如下： 假设存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的．设这五点为，根据“坐标相合”的定义可知：中的最小数和最大数不等，不妨设最小数为，最大数为，且． （i）考察．若中至少有一点在某长方形的水平边上，不妨设为，因为是“坐标相合”的，所以位于该长方形左侧竖直边的点的横坐标小于，与是最小数矛盾．类似的，若在某长方形的水平边上，则位于该长方形右侧竖直边的点的横坐标大于，与是最大数矛盾．所以分别在长方形的左、右侧竖直边上，在两条水平边上，不妨设在下水平边上，在上水平边上，如图所示，即； （ii）考察．同（i）可知： ； （iii）考察．同（i）可知： ，与矛盾． 综上所述，不存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$