河北省衡水市、廊坊市等2地NT20名校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

高一数学 第 1 页 NT20名校联合体高一年级期末考试 数学答案 1.C【解析】由复数的定义可知复数 3 2iz   的虚部为 2 ．故选：C. 2.C【解析】因为 / /a b   ，所以1 ( 1) 4k   ，解得 5k  ．故选：C. 3.D【解析】由比例分配的分层抽样方法可得高一年级身高在 175cm以下的学生人数为 720 32 4 8 8 4 0  . 故选：D. 4.A【解析】由已知    3,0, 2 , 1,1, 1AB AC      ，设平面 ABC的一个法向量为  , ,n x y z  ， 3 2 0 0 n AB x z n AC x y z             , 取 2x  ，解得  2,1,3n   ， 选项 A符合，另外选项 BCD中的向量与选项 A中的向量不共线.故选：A. 5.A【解析】因为事件 A和 B相互独立,   ( ) ( ) 0.45P AB P A P B  ， 所以         0.9P A B P A P B P AB    . 故选:A. 6.B【解析】如图在 ABC 中， , 4 π 4 A b  ，则 ABC 有两解的充要条件为： sinb A a b  ，即 2 2 4a  . 故选：B. 7.B【解析】由题知 1 2 10 1 2 20, ,x x x y y y， ， ， ， ，L L 的平均数为 10 12 20 15 14 30 z     ， 方差 2 2 21 {10 [6 (12 14) ] 20 [9 (15 14) ]} 10 30 s           .故选 B. 8.D【解析】当三棱锥 A BCD 体积最大时,平面 A BD 平面 BCD，取 BD的中点 E，连接 ,A E CE , 则 ,A E BD CE BD  ,所以 2 A EC    ，过 A E 上靠近 E的三等分点 1O 作平面 A BD 的垂线， 过CE上靠近 E的三等分点 2O 作平面 BCD的垂线，两条垂线的交点O即为三棱锥 A BCD 的外接球的球 心，如下图：连接OC ,则 2 2( 3) (2 3) 15R OC    ,那么 2=4 60S R 球 .故选 D. 9.BD【解析】对于选项 A，当 ,a b  方向相反时， | | | | a b a b       ，故选项 A错误； 高一数学 第 2 页 对于选项 B，若 | | | | a b a b    ，则 ,a b  方向相同，即 ,a b  共线，故选项 B正确； 对于选项 C，若 0a b   ， ,a b  的夹角为锐角或 ,a b  的方向相同，故选项 C错误； 对于选项 D，若 ,a b  的夹角为锐角 ， | || | cos 0a b a b       ,故选项 D正确. 故选：BD. 10.BC【解析】因为事件 , ,A B C 两两互斥，所以         12 71 4 P A B P A P B P A     ，则   1 3 P A  ，所以   23P A  ，故 A错误；        1 11 3 15 P A C P A P C P C     ，则   2 5 P C  ，故 B正确；       13 20 1 2 4 5 P B C P B P C     ，故 C正确；         1 1 2 59+ + = + + = 3 4 5 60 P A B C P A P B P C  ，故 D错误.故选：BC. 11 .ACD【解析】对于 A，如图，连接 1BC，因为 1 1A B 平面 1 1BCC B ， 1BC  平面 1 1BCC B ， 所以 1 1A B  1BC ， 1 1B C BC , 1 1 1 1A B B C B ,所以 1BC 平面 1 1ABC ,因为 1AC 平面 1 1ABC ,所 以 1 1AC BC ，故 A正确； 对于 B， 1 1 1/ / ,AD BC BC 平面 1 1 1,A BC AD  平面 1 1A BC ，所以 1 / /AD 平面 1 1A BC .因 为正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 2，所以 1 1A BC 是边长为 2 2的正三角形.设直线 1AD 到平面 1 1ABC的距离为h，由等体积法 1 1 1 1A A BC C AA BV V  得： 1 3 1 18 2 2 2 3 4 3 2 h        ，解得 2 3 3 h  ，故 B错误； 对于 C，连接 1BD，平面 1ABC 即为平面 1 1ABC D .设 1AC与 1BD 交于点 O，则 O为 1AC的 中点.过点 1A作 1 1A E AD ,交 1AD 于点 E，则 E为 1AD 的中点， AB 平面 1 1ADDA， 1A E  平面 1 1ADD A ,所以 AB  1AE ,又 1AB AD A ,所以 1AE 平面 1ABC .连接 EO , 则 1AOE 为直线 1AC与平面 1ABC 所成的角， 11 1 2 6sin 33 A EA OE A O     ，故 C正确； 对于 D，设 1 1B C BC F ，连接 1 ,AF EF ,则 1 1 1,A F BC EF BC  ,所以 1A FE 为平 面 1ABC 与平面 1 1A BC 所成角的平面角，因为 1A E EF ,所以 1 1 1 2 3sin 36 A EA FE A F     ，故 D正确.故选：ACD. 12.8.5【解析】由题意，数据3,4,4,6,7,7,8,8,9,10，可得80% 10 8  ， 故第 80百分位数是第8个数和第 9个数的平均数，即为 8 9 8.5 2   .故答案为：8.5 . 13.9 3【解析】设圆锥底面半径为 r，母线长为 l .因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以 2l r  ，即 2 6l r  ，那么圆锥的高 2 2 3 3h l r   .圆锥的体积 2 1 9 3 3 V r h   . 高一数学 第 3 页 14. 3 3 2 【解析】由题意， 3 sin cos 2A A  ，即 2sin( ) 26 A   ,因为0 πA  ,所以 6 2 A    , 3 A  .由 余 弦 定理 可 知 2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc      ， 因 为 sin 2sinB C ， 所 以 2b c .代 入 解得 3, 2 3c b  ，此时 ABC 为直角三角形，所以 ABC 的面积为 1 3 3 2 2 S ac  .故答案为： 3 3 2 . 15.【解析】（1） 2 2 iz b  …………………………2分 因为 1 2z z ，所以 i 2 ia b   ……………………………4分 故 2, 1a b  …………………………………………5分 所以 3a b  ………………………………………………6分 （2）∵ 1z 是关于 x的方程 2 2 0x mx   的一个根， ∴ 2( i) ( i) 2 0a m a     ，即 2 1 (2 )i 0a am a m     …………………………9分 所以 2 1 0 2 0 a am a m        ………………………………………………10分 解得 1 2 a m    或 1 2 a m      ……………………………………………………12分 故 2m  或 2m   .………………………………………………………………13分 16.【解析】（1）连接 1BC交 1B C 于点O ,连接ON……………………2分 则O为 1BC的中点，又N 为线段 AB的中点，则 1 / /AC ON…………………4分 1AC 平面 1BCN ,ON 平面 1BCN , 所以直线 1 / /AC 平面 1B CN …………………………………7分 （2）由题知 2 2 2AB BC AC  ,所以 AB BC , 所以三棱柱的体积 21 2 2 4 2 V     ……………………………………9分 三棱锥 1B BCN 的体积 1 1 1 21 2 2 3 2 3 V       …………11分 所以多面体 1 1 1A BC ACN 的体积 2 2 104 3 3 V    …………………………13分 那么 2 1 5V V  ……………………………………15分 17.【解析】（1）因为m n   ，所以 0m n    …………………………………………1分 即 ( )(sin sin ) (sin sin ) 0b a B A c A C     .………………………………………………2分 由正弦定理可知 ( )( ) ( ) 0b a b a c a c     ，所以 2 2 2a c b ac   ……………………4分 那么 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac     ………………………………………………………………6分 又 (0, )B  ，所以 3 B  ……………………………………………………………………7分 高一数学 第 4 页 （2）因为 ABC 的外接圆的面积为 4 ，所以半径 2R  .…………………………………8分 由正弦定理可知 2 4 sin 3 b R   , 所以 2 3b  . 由 2 2 2b a c ac   ，知 2 2 12a c ac   …………………………………………………………10分 2( ) 3 12a c ac   ， 2 23 ( ) 12 3 ( ) 2 a cac a c      …………………………………………12分 解得 2( ) 48a c  ， 4 3a c  ，当且仅当 a c 时等号成立………………………………13分 又 2 3a c b   ，所以 4 3 6 3a b c    .………………………………………………14分 即 ABC 周长的取值范围为 (4 3,6 3]……………………………………………………15分 18.【解析】（1）由图知：0.02 10 0.18 0.25 0.4 1x     ，可得 0.015x  ………………4分 (2) 由0.02 0.15 0.18 0.35 0.5    ，0.02 0.15 0.18 0.25 0.6 0.5     ， 所以中位数在  80,90 之间………………………………………………6分 设中位数为 a，那么 ( 80) 0.025 0.5 0.35a     ， 解得 86a  .所以中位数为 86.………………………………………………9分 （3）设在 50,60 中抽取的 2人分别为 ,a b；在  70,80 中抽取的 3人分别为 , ,C D E； 从这 5人中随机抽取 2人，则样本空间为： {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}a b a C a D a E b C b D b E C D C E D E ，共有 10个基本事件…..…13分 设选取的 2人评分均在  70,80 内为事件 A， 则 A中包含 ( , ), ( , ), ( , )C D C E D E 3个基本事件……………………………15分 所以   3 10 P A  .………………………………………………17分 19.【解析】（1）因为 1 2 2 AD AB BC= = = ， 90BAD  ，所以 2 2BD CD= = ……………2分 那么 2 2 2BD CD BC+ = ,所以 BD CD^ …………………………………3分 因为平面 PBD 平面 BCD，且平面 PBD平面 BCD BD ，CD平面 BCD，CD BD^ ， 所以CD^平面 PBD…………………………………………4分 因为 PB 平面 PBD , 所以CD PB^ …………………………………………5分 （2）法一(几何法)：过点P作PE BD^ ,交 BD于点 E . 因为 PB PD= ,则 E为BD的中点， 因为平面 PBD 平面 BCD，平面 PBD平面 BCD BD 又 PE 平面 PBD，所以 PE 平面 BCD…………………………7分 连接CE，则 PCEÐ 为 PC与平面 BCD所成的角.……………………8分 2, 10PE CE= = ,所以 2 3PC = 6sin 6 PEPCE PC Ð = = ………………………………10分 高一数学 第 5 页 法二（空间向量法）：过点 P作 PE BD^ ,交 BD于点 E . 因为 PB PD= ,则 E为BD的中点，因为平面 PBD 平面 BCD，平面 PBD平面 BCD BD 又 PE 平面 PBD，所以 PE 平面 BCD，以 E为坐标原点，EB所在的直线为 x轴，过E且平行于DC所 在的直线为 y轴， EP所在的直线为 z轴，如图建立空间直角坐标系.………………………………6分 则 (0,0, 2), ( 2,2 2,0)P C - ,那么 ( 2, 2 2, 2)CP  = - ,又 PE 平面 BCD， 所以平面 BCD的一个法向量可为 1 (0,0,1)n  = .…………………………7分 所以 11 1 2 6cos , 6| || | 2 3 CP nCP n CP n     ×< >= = = …………………………9分 又 PC与平面 BCD所成的角 为它的余角，则 6sin 6  = .……………10分 (3)法一(几何法)：由（2）知 PE 平面 BCD，BC 平面 BCD ,所以 PE BC^ .…………………11分 过 E作 EF BC^ 交 BC于点 F ,连接 PF ,因为 PE EF E = ,所以 BC^平面 PEF，因为 PF 平面 PEF， 所以 BC^ PF，那么 PFEÐ 为二面角 P BC D- - 的平面角.…………14分 在 BCD 中， 1 1 4 EF BC= = ,所以 2 2 3PF PE EF= + = 那么 1 3cos 33 EFPFE PF Ð = = = …………………………17分 法二（空间向量法）： 由（2）知 (0,0, 2), ( 2,0,0), ( 2,2 2,0), ( 2,0,0)P B C D- - ,所以 ( 2, 2 2, 2), ( 2 2,2 2,0)CP BC   = - = - ……………………12分 设平面 PBC的法向量为 2 ( , , )n x y z  = ， 则 2 2 0 0 n CP n BC     ìï × =ïíï × =ïî ,即 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 x y z x y ìï - + =ïíï- + =ïî 令 1x= ，可得 1, 1y z= = 所以平面 PBC的一个法向量为 2 (1,1,1)n  = ，平面 BCD的一个法向量可为 1 (0,0,1)n  = .……………14分 所以 1 21 2 1 2 1 3cos , 3| || | 3 n nn n n n     ×< >= = = …………………………………………16分 又因为二面角 P BC D- - 的平面角为锐角， 所以二面角 P BC D- - 的平面角的余弦值为 3 3 .………………………………17分 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 ! 超 出 矩 形 边 框 限 定 区 域 的 答 案 无 效 " 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 ! 超 出 矩 形 边 框 限 定 区 域 的 答 案 无 效 " 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 ! 超 出 矩 形 边 框 限 定 区 域 的 答 案 无 效 "请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 ! 超 出 矩 形 边 框 限 定 区 域 的 答 案 无 效 " 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 ! 超 出 矩 形 边 框 限 定 区 域 的 答 案 无 效 " 三! 填空题 !"# !$# !%# 一 !选择题 四! 解答题 !"# $!% 分 & !'# $!" 分 &数学答题卡 !"#$ 名校联合体高一年级期末考试 &!'( 为单选题"每小题 ) 分" *'!! 为多选题"每小题 + 分# 注 意 事 项 ! " 答 题 前 ! 考 生 先 将 自 己 的 姓 名 # 准 考 证 号 填 写 清 楚 ! 并 认 真 核 准条形码上的准考证号 # 姓名及科目 ! 在规定位置贴好条形码 " # " 选择题必须使用 #$ 铅笔填涂 $ 非选择题必须使用 % " & 毫米及 以 上 %但 不 要 太 粗 & 黑 字 字 迹 的 签 字 笔 书写 ! 要求字体工整 # 笔迹清楚 " ' " 请严格按照题号在 相应的答题区域 内作答 ! 超出答题 区域书写的 答案无效 $ 在草稿纸 # 试题卷上答题无效 " ( " 保持卡面清洁 ! 不装订 # 不要折叠 # 不要破损 " 填 涂 样 例 正确填涂 错误 填涂 缺考 贴条形码区 姓名$ 班级$ 考场$ ( ) ' " * % + ! , - ( ) ' " * % + ! , - ( ) ' " * % + ! , - ( ) ' " * % + ! , - ( ) ' " * % + ! , - ( ) ' " * % + ! , - ( ) ' " * % + ! , - 准 考 证 号 ( ) ' " * % + ! , - ( ) ' " * % + ! , - ( ) ' " * % + ! , - ( ) ' " * % + ! , - 高一数学 答题卡 第 ! 页 共 + 页 . / 0 1 . / 0 1 . / 0 1 . / 0 1 . / 0 1 + , ( * !- ! % " $ ) . / 0 1 . / 0 1 . / 0 1 . / 0 1 . / 0 1 . / 0 1 !! & 每小题 ) 分"共 !) 分# 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 ! 超 出 矩 形 边 框 限 定 区 域 的 答 案 无 效 "请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 ! 超 出 矩 形 边 框 限 定 区 域 的 答 案 无 效 "请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 ! 超 出 矩 形 边 框 限 定 区 域 的 答 案 无 效 " 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 ! 超 出 矩 形 边 框 限 定 区 域 的 答 案 无 效 " 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 ! 超 出 矩 形 边 框 限 定 区 域 的 答 案 无 效 " 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 ! 超 出 矩 形 边 框 限 定 区 域 的 答 案 无 效 " !"# # !$ 分$ !%# # !$ 分$ 高一数学 答题卡 第 & 页 共 & 页 !$#'!( 分 ) NT20名校联合体高一年级期末考试 数学 考试说明:1.本试卷共150分。考试时间120分钟。 2.请将各题答案填在答题卡上。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.复数z=3-2i的虚部是 A.2 B.2i C.-2 D.-2i 2.已知向量a→ =(1,-2),b→=(-2,k-1),若a→//b→ ,则k= A.-4 B.4 C.5 D.-5 3.某校高一年级有720名学生,现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为 48的样本,其中身高在175cm以下的学生人数为32,则该校高一年级身高在 175cm以下的学生人数为 A.320 B.360 C.420 D.480 4.在空间直角坐标系O-xyz中,A -1,1,0 ,B2,1,-2 ,C0,2,-1 , 则平面ABC 的一个法向量为 A.2,1,3 B.-2,1,3 C.2,-1,3 D.2,1,-3 5.已知随机事件A 和B 相互独立,且P A =0.6,P B =0.75,则 P A ∪B = A.0.9 B.0.85 C.0.8 D.0.78 6.已知 △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,A= π 4 ,b=4,若 △ABC 有两解,则a 的取值范围是 A.(2,22) B.(22,4) C.(22,23) D.(23,4) 7.用抽签法抽取的一个容量为10的样本x1,x2,…,x10 的平均数为12,方差为 6,用随机数表法抽取的一个容量为20的样本y1,y2,…,y20 的平均数为15, 方差为9,则样本x1,x2,…,x10,y1,y2,…,y20 的方差为 A.8 B.10 C.12 D.14 8.已知菱形ABCD 的边长为6,∠BAD = π 3 ,现将 △ABD 沿直线BD 翻折,得到 三棱锥A'-BCD ,则当三棱锥A'-BCD 体积最大时,三棱锥A'-BCD 的外 接球的表面积为 A.24π B.36π C.48π D.60π 页4共 页1第 学数一高 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多 项符合题目要求。全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。 9.下列关于非零向量a→,b→ 的说法正确的是 A.若a→,b→ 共线,则 a → a→ = b→ b→ B.若 a → a→ = b→ b→ ,则a→,b→ 共线 C.若a→·b→ >0,则a→,b→ 的夹角为锐角 D.若a→,b→ 的夹角为锐角,则a→·b→ >0 10.已知事件A,B,C 两两互斥,若P B = 1 4 ,P A ∪B = 7 12 ,P A ∪C = 11 15 ,则 A.P A - = 1 3 B.P C = 2 5 C.P B ∪C = 13 20 D.P A ∪B ∪C = 53 60 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,则下列说法正确的有 A.A1C ⊥BC1 B.直线AD1 到平面A1BC1 的距离为 3 3 C.直线A1C 与平面ABC1 所成角的正弦值为 6 3 D.平面ABC1 与平面A1BC1 所成角的正弦值为 3 3 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知一组数据如下:3,4,4,6,7,7,8,8,9,10,则这组数据的第80百 分位数是 . 13.若圆锥的母线长为6,它的侧面展开图是一个半圆,则此圆锥的体积为 . 14.在 △ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,记 △ABC 的面积为S, 若a=3,sinB=2sinC,2- 3sinA=cosA ,则 △ABC 的面积为 . 页4共 页2第 学数一高 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 设复数z1=a+i,z2=2-bi(其中a,b∈R). (1)若z1= z2 -,求a+b的值; (2)若z1 是关于x 的方程x2-mx+2=0的一个根,求m 的值. 16.(本小题满分15分) 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1 中,AB=BC=BB1=2,AC=22,N 为线 段AB 的中点. (1)证明:AC1∥ 平面B1CN; (2)平面B1CN 将三棱柱分成两部分,求这大小两部分体积 的比值. 17.(本小题满分15分) 在 △ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,向量m→=(b-a,sinA- sinC),n→ =(sinB+sinA,c),且m→ ⊥n→ . (1)求B; (2)若 △ABC 的外接圆的面积为4π,求 △ABC 周长的取值范围. 页4共 页3第 学数一高 18.(本小题满分17分) 这么近,那么美,周末到河北.“五一”小长假过后,为更好地提升旅游品质, 邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分 (满分100分),将评分绘制成频率分布直方图,请根据下面尚未完成的频率分 布直方图解决下列问题. (1)根据频率分布直方图,求x 的值; (2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数; (3)若工作人员从这100名游客中随机抽取了5 名,其中评分在 50,60 内的有2人,评 分在 70,80 内的有3人.现从这5人中 随机抽取2人进行个别交流,求选取的2人 评分均在 70,80 内的概率. 19. (本小题满分17分) 如图1,在直角梯形ABCD 中,已知AD∥BC,AD=AB= 1 2BC=2 ,∠BAD =90°,现将 △ABD 沿BD 折起到 △PBD 的位置,使平面PBD ⊥ 平面BCD, 如图2. (1)求证:CD ⊥PB ; (2)求PC 与平面BCD 所成的角的正弦值; (3)求二面角P-BC-D 的平面角的余弦值. 页4共 页4第 学数一高