精品解析：福建省 厦门市集美区上塘中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

上塘中学2024-2025学年（下）期中测试八年级数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．若a＝6，b＝8，则c的值是（　　） A. 10 B. 2 C. 2 D. 4.8 4. 在菱形ABCD中，与AC互相垂直的线段是（　　） A. BC B. BA C. BD D. CD 5. 如图，湖边栈道，互相垂直，栈道的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M，C两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7. 小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s（m）与时间t（min）的大致图象是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 9. 在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，设∠DBC ＝， ∠BOC＝，若关于的函数解析式是，则下列说法正确的是（ ） A. BO ＝BC B. OC＝BC C. 四边形ABCD 菱形 D. 四边形ABCD 是矩形 10. 如图，在中，，，，E为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 化简： （1）_____； （2）_____． 12. 已知平行四边形中，，则的度数是_____． 13. 已知函数，当时，_____． 14. 在中，，分别是边，的中点，若，则的长是______． 15. 数轴上点表示的数是，于点，，以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是_____． 16. 如图，在中，，于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点落在CD的延长线上．若，，则的面积为__________． 三、解答题（共86分） 17 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，点E、F分别在边、上，且．求证：． 19 先化简，再求值：，其中． 20. 汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，耗油量为． （1）①直接写出表示是的函数关系的式子_____． ②自变量的取值范围是_____． （2）当汽车行驶时，油箱中还有多少汽油？ 21. 如图，的对角线，相交于点，且，，． 求证：是菱形． 22. 如图，在中，． （1）在的延长线上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是矩形． 23. 综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，请阅读下列操作，并回答问题． 已知正方形纸片的边长为8． 折法一：步骤1，把正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕（如图①）； 步骤2，沿着经过点的直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，（如图②）． （1）为_____三角形； （2）求线段的长度． 折法二：将正方形纸片沿着经过点的直线折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，折痕与边交于点，展开后延长交于点（如图③） （3）猜想与的数量关系并说明理由； （4）若，则_____． 24. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． （1）_____；_____（用含的代数式表示）； （2）当四边形为菱形时，求值； （3）是否存在四边形为正方形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在菱形中，，，，平分交延长线于点N，连接，． （1）求的度数；（用含的式子表示） （2）求证：等腰三角形； （3）求线段，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上塘中学2024-2025学年（下）期中测试八年级数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、，被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的除法，二次根式的性质，根据二次根式的加减运算法则，除法运算法则，二次根式的性质，逐个判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．若a＝6，b＝8，则c的值是（　　） A. 10 B. 2 C. 2 D. 4.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，c为斜边，代入公式即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8， 由勾股定理得：c＝＝10， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，正确判断斜边，代入公式计算是解决本题的关键． 4. 在菱形ABCD中，与AC互相垂直的线段是（　　） A. BC B. BA C. BD D. CD 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直判断即可． 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键是熟记菱形性质，准确进行判断． 5. 如图，湖边栈道，互相垂直，栈道的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M，C两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本考考查了直角三角形斜边上的中线性质，由已知条件可得出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：A． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊四边形的判定方法进行判断． 【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D不符合题意． 故选：A． 7. 小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s（m）与时间t（min）的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】小明从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长， 等了几分钟后坐上了公交车，因此时间增加，S不增长， 坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t的增长而增长， 故选：C． 8. 如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解． 【详解】根据平行四边形的性质得AD∥BC， ∴∠EDA=∠DEC， 又∵DE平分∠ADC， ∴∠EDC=∠EDA， ∴∠EDC=∠DEC， ∴CD=CE=AB=6cm， 即BE=BC﹣EC=8﹣6=2cm． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题． 9. 在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，设∠DBC ＝， ∠BOC＝，若关于的函数解析式是，则下列说法正确的是（ ） A. BO ＝BC B. OC＝BC C. 四边形ABCD 是菱形 D. 四边形ABCD 是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证∠OCB=α°，则∠DBC=∠OCB，得OB=OC，然后得AC=BD，即可得出结论． 【详解】解： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵∠DBC=α°，∠BOC=β°，β=180-2α， ∴2α°+β°=180°， ∵∠DBC+∠BOC+∠OCB=180°， 即α°+β°+∠OCB=180°， ∴∠OCB=α°， ∴∠DBC=∠OCB， ∴OB=OC， ∴AC=BD， ∴▱ABCD是矩形， 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质． 10. 如图，在中，，，，E为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于F， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，有最小值， 此时：， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，利用垂线段最短解决问题是本题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 化简： （1）_____； （2）_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的减法，根据二次根式的性质及运算法则即可解答． 【详解】解：． 故答案为：，． 12. 已知平行四边形中，，则的度数是_____． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 由平行四边形的对角相等即可得的度数． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴， 故答案为： ． 13. 已知函数，当时，_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数自变量的值，将字母正确替换是解题的关键． 把代入方程求解即可． 【详解】解：当时，，解得． 故答案为：3． 14. 在中，，分别是边，的中点，若，则的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得DE为△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求得DE． 【详解】解：∵D，E分别是、的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE=AC=×4=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形中位线性质，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键． 15. 数轴上点表示的数是，于点，，以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，用数轴上的点表示数，根据勾股定理求出，进而确定点所表示的数，确定的长是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点表示的数是， ∴， ∵，， ∴， 若圆弧交数轴于正半轴，则点表示的数是； 若圆弧交数据于负半轴，则点表示的数是； 综上所述，点表示的数是或． 故答案为：或． 16. 如图，在中，，于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点落在CD的延长线上．若，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】在△ABC中由等面积求出，进而得到，设BE=x，进而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解． 【详解】解：在中由勾股定理可知：， ∵， ∴， ∴， 在中由勾股定理可知：， ∴， 设BE=x，由折叠可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=， 在中由勾股定理可知：，代入数据： ∴，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求线段长． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先计算乘法、除法，再算加法即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在中，点E、F分别在边、上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质得到，继而证明，即可得到结论． 【详解】四边形ABCD为平行四边形 在和中 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查代数式化简求值，完全平方公式，分母有理化，解题的关键是正确化简原式． 先按照分式的混合运算化简原式，代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式 20. 汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，耗油量为． （1）①直接写出表示是的函数关系的式子_____． ②自变量的取值范围是_____． （2）当汽车行驶时，油箱中还有多少汽油？ 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数实际应用，正确进行计算是解题关键． （1）①根据油箱中的油量耗油量列函数关系式即可； ②代表的实际意义为行驶里程，不能为负数，耗油量不能超过，即可得到答案； （2）根据题意，当汽车行驶时，令，代入解析式即可得到答案； 正确确定函数关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：①根据题意，每行程，耗油升，即总油量减少升， 则油箱中的油剩下升， ∴与的函数关系式为：， 故答案为：； ②∵代表的实际意义为行驶的里程数， ∴不能为负数，即， 又∵行驶中的耗油量为，不能超过油箱中现有汽油量的值， ∴， 解得：， 综上所述，自变量的取值范围是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，代入得： ， ∴汽车行驶时，油桶中还有汽油． 21. 如图，的对角线，相交于点，且，，． 求证：是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，菱形的判定定理，勾股定理证得为直角三角形是解题的关键． 根据已知数据，先求证是直角三角形，即，进而根据菱形的判定定理即可得证． 【详解】，，， ，， ， 是直角三角形， ， 即， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 22. 如图，在中，． （1）在的延长线上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了利用矩形的性质作图，证明四边形是矩形以及平行四边形的性质是解答的关键． （1）已点C为圆心，长为半径画弧交延长线于点E，连接即可． 因为，即且，，所以四边形为矩形，则． （2）利用平行四边形的性质可得出，再结合已知条件得出四边形是平行四边形，再加上即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求作的点；（答案不唯一） 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形 即 四边形是平行四边形 四边形是矩形． 23. 综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，请阅读下列操作，并回答问题． 已知正方形纸片的边长为8． 折法一：步骤1，把正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕（如图①）； 步骤2，沿着经过点的直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，（如图②）． （1）为_____三角形； （2）求线段长度． 折法二：将正方形纸片沿着经过点的直线折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，折痕与边交于点，展开后延长交于点（如图③） （3）猜想与的数量关系并说明理由； （4）若，则_____． 【答案】（1）等边；（2）；（3），理由见解析；（4） 【解析】 【分析】（1）由折叠性质得，是的垂直平分线，，进而得到，从而是等边三角形； （2）根据勾股定理在中，求得，证明四边形是矩形，得到，进而即可求解； （3）连接，证明，即可得出结论； （4）设，则，，在中，根据勾股定理列出方程，求解得到的长，再由三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由第一次折叠知，是的垂直平分线， ∴， 由第二次折叠知，， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边； （2）解：由第一次折叠可得， ∵， ∴在中，， ∵在正方形中，，又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3）证明：，理由如下： 连接， 由折叠性质可知，，， ， ∴，， ∴在和中， ∴， ∴； （4）设，则， 由（3）知，， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定及性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 24. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． （1）_____；_____（用含的代数式表示）； （2）当四边形为菱形时，求的值； （3）是否存在四边形为正方形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）当四边形为菱形时，求的值为； （3）不存在四边形为正方形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由运动过程可得线段长度，根据线段之间的关系，即可求解； （2）由运动过程可知四边形为平行四边形，当四边形为菱形时，只需邻边相等，解方程即可得的值； （3）假设存在，根据正方形的性质结合运动过程可得的度数，与已知对比，判断假设是否成立即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵于点， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴ 答：当四边形为菱形时，求的值为． 小问3详解】 解：不存在四边形为正方形， 理由： 假设四边形为正方形，则，， ∴， ∵， ∴， ∴与已知条件“”矛盾， ∴假设不成立， ∴不存在四边形为正方形， 答：不存在四边形为正方形． 【点睛】本题考查含角的直角三角形，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形，解题的关键是正确理解点运动过程中图形的变化． 25. 如图，在菱形中，，，，平分交延长线于点N，连接，． （1）求度数；（用含的式子表示） （2）求证：是等腰三角形； （3）求线段，，之间的数量关系． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，由菱形的性质可得，再证，即可得的度数． （2）在中，先求出，再证，则可得，，进而可得为等边三角形，则可得，．再证，则可得，又由得，由此可证是等腰三角形； （3）延长至点，使得，连接，根据可得，则，过点A作于点，由（2）得，则可得，，，由可得． 【小问1详解】 解：，， ． 四边形是菱形， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）得， 平分， ， ． ，， ， ，， ， 为等边三角形， ，． 四边形是菱形， ，， ， ， ， ． ，， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 【小问3详解】 解：延长至点，使得，连接． ，， ， ， ， ， ． 过点A作于点，则，， 由（2）得， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质、等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理以及“直角三角形中角所对的边等于斜边一半”．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$