河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期7月份末模拟考试数学试题 一、单选题 1．若直线 与圆 相切，则实数 的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．某大学开设了《古今数学思想》《世界数学通史》《几何原本》《什么是数学》四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将四门选修课程修完，则每位同学的不同选修方式有（    ） A．60种 B．78种 C．96种 D．144种 4．下列说法正确的是（    ） A．数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3 B．已知随机变量，σ越小，表示随机变量X的分布越分散 C．已知一组数据的方差为3，则的方差为3 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其经验回归方程为，若其中一个点为，则实数 5．在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 6．函数的极小值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四面体中，.点在上，且，点是的中点，则 （    ）    A． B． C． D． 8．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．动点的轨迹是一个圆 B．动点的轨迹所围成的面积为6 C．动点的轨迹跟坐标轴不相交 D．动点离原点最短距离为 10．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C．有且仅有1个零点 D．的最小值为 11．已知数列的首项，且满足，则（   ） A． B．数列为等比数列 C．数列的前项和为 D．数列的通项公式为 三、填空题 12．若 则它们的大小关系是（用小于符合，从左到右，从小到大的顺序排列） . 13．已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为 ． 14．如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为 . 四、解答题 15．某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立. (1)求； (2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望. 附：正态密度函数，其中为均值，为标准差.，，. 16．如图，在四棱锥中，，平面平面，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．已知等差数列满足，.数列的首项，前项和为且满足. (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 18．设A，B两点的坐标分别为，， 直线AP，BP相交于点P， 且它们的斜率之积为，设点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的标准方程； (2)若直线l过点， 与曲线E交于C，D两点， C在x轴上方， 直线AC，BD交于点M ， 直线AD，BC 交于点N.  记A，B到直线l的距离分别为   （i）证明：；（ii）求的面积最小值. 19．已知函数，． (1)若，判断的单调性； (2)若，求a的值； (3)已知，．若，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C A D A A BD BC 题号 11 答案 AB 12． 令函数，求导得，当且仅当时取等号， 因此函数在上单调递增，而，则， 又， 所以. 13． 因为，即， 所以，又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 所以，， 当时，， 所以， 当时，也成立，所以，故答案为： 14．4 如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点A，B，设，所以，所以，所以 ，在中，，， 又，所以，记准线与对称轴交于点C， 因为，解得，即F到抛物线的准线的距离为4. 故答案为：4. 15．（1）由于，所以， 所以. 那么 . （2）依题意，所有可能的取值为2，3，4，5，6. ，， ，， . 所以的分布列如下. 2 3 4 5 6 . 16（1）证明：作于E， ∵，∴CE与AD必相交， 又∵平面平面ABCD，平面平面 ∴平面， ∵平面，∴ 又平面平面，与相交， ∴平面. （2）在平面内作交BC于F， 则AF，AD，AP两两垂直， 以A为原点，以AF，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 则， ∴， ∵平面， ∴为平面的一个法向量， ∴， ∴直线PB与平面PAD所成角的正弦值为. 17．（1）设等差数列的公差为，由题意得， 由得，联立解得，， 所以数列的通项公式为. 因为① 当时，② ①②可得，， 当时，满足上式， 又，故，故是首项为2，公比为3的等比数列， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得 ① ② ①②得：. 化简得：. 18．（1）设， 依题意， 所以 即 故曲线E的标准方程为： . （2）（i） 设，依题意知，直线的斜率不为0， 故可设直线l的方程为，由消去， 可得 显然，且             因点到直线l的距离为 点到直线l的距离为 故 当且仅当时取等号 . （ii）由（i）可得： ， 设 由题意知， 则 由题意知 ，则，因， 故得即    即 , 因，可得解得即在直线 上， 同理可证：在直线 上， 故, 因为直线的方程为 直线的方程为 把代入可得： 则 当且仅当 时取等号，即的最小值为6. 所以的面积最小值为 . 19．（1）由题意有：，因为， 令，解得：，所以当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上递减； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减． 若，则，即， 代入可得：， 令，（），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，且， 所以，即， 当时，恒成立，即在上单调递增， 又，所以当，，不恒成立，故不成立. 综上所述； （3）令，， 所以，令， 所以在上单调递增，因为， 所以在上存在唯一零点，令，则， 令，所以；令，所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 所以，得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$