7.1 认识证明 同步练习 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

7.1 认识证明 课时1 为什么要证明 刷基础 知识点1 认识证明的必要性 1.通过观察，你能肯定的是 ( ) A.图形中线段是否相等 B 图形中线段是否平行 C.图形中线段是否相交 D.图形中线段是否垂直 2如图，点P 是直线l外一点，过点 P 画直线PA，PB,PC,分别交已知直线l于点A,B,C,请你用量角器量∠1,∠2,∠3 的度数,并量线段 PA,PB，PC的长度，你发现的规律是 ° 知识点2推理论证 3.[2025 浙江杭州调研]甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗.老师问他们是谁打碎了玻璃窗.甲说：“是丙，也可能是丁打碎的.”乙说：“一定是丁打碎的.”丙说：“我没有打碎玻璃窗.”丁说：“我没有干这件事.”若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃窗的同学是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 知识点3 推理的应用 4下列图形都是由同样大小的五角星按一定规律组成的，其中第1个图形一共有2个五角星，第2个图形一共有8个五角星，第3个图形一共有18个五角星，…，则第6个图形的五角星个数为 ( ) A.50 B.64 C.68 D.72 5观察规律： 7= 4²; …, 则 1 + 3 + 5 + … + 2 019 的值是 . 6甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘，到目前为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1 盘，则小强已经赛了 盘. 7[2024江苏无锡期中]桌子上有7 张反面向上的纸牌，每次翻转n(n为正整数)张纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗?用“+1”“-1”分别表示一张纸牌“正面向上”“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从-7变化为+7. (1)当n=1时，每翻转1 张纸牌，总和的变化量是2或-2，则最少 次操作后所有纸牌全部正面向上. (2)当n=2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是 ，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗?若能，最少需要几次操作?若不能，简要说明理由. (3)若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值. 课时2 定义与命题 刷基础 知识点1 定义的判断 1下列属于定义的是 ( ) A.直角三角形的两个锐角互余 B.同角或等角的余角相等 C.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D.两直线平行，内错角相等 2.在学完定义与命题后，小林在笔记本上记下了几个定义： ①如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1，那么这个方程就叫作二元一次方程；②不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接得到的图形是三角形；③正比例函数是特殊的一次函数.你认为其中正确的是 .(填写序号) 知识点2命题的判断、构成 3[2025 湖南岳阳期中]下列语句不是命题的是( ) A.两点之间，线段最短 B.连接A,B两点 C.两条直线被第三条直线所截，得到的同位角相等 D.不平行的两条直线有一个交点 4已知命题“如果∠A>∠B,∠B>∠C,那么∠A>∠C”.这个命题的条件是 ，结论是 . 知识点3 真命题、假命题 5下列命题是真命题的是 ( ) A.如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0 B.如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1 C.如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0 D.如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0 6[2024湖北武汉质检]将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题. (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补. 知识点4举反例 7.[2025 浙江杭州期中]对于命题“如果x为任何实数，那么 能说明它是假命题的反例是 ( ) A. x=0 B. x=3 C. x=0.5 D. x=-1 8.[2025 山东青岛期末]能说明“三角形的高线一定在三角形的内部(含边界)”是假命题的反例是 ( ) 9[2025 广西贵港期末]对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是 ( ) A.∠1=∠2=45° B.∠1=40°,∠2=50° C.∠1=50°,∠2=50° D.∠1=40°,∠2=40° 10用举反例的方法说明命题“若a<b，则 是假命题，这个反例可以是a= ，b= 课时3 定理与证明 刷基础 学科网（北京）股份有限公司 知识点1 公理、定理、证明的概念 1.关于“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，有下列说法：①是命题；②是假命题；③是真命题；④是定理.其中正确是 ( ) ①③ B.①③④ C.③④ D.①②④ 2某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，可以说明这样做能缩短路程的公理为 ( ) A.直线的公理 B.直线的公理或线段最短公理 C.线段最短公理 D.平行公理 3下面关于“证明”的说法正确的是 ( ) A.“证明”是一种命题 B.“证明”是一种定理 C.“证明”是一种推理过程 D.“证明”就是举例说明 知识点2 推理证明 4试证明“若∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,∠A=∠C,则∠B=∠D”是真命题.以下是打乱顺序的推理过程：①因为∠A=∠C(已知)；②因为∠A+∠B=180°,∠C+∠D =180°(已知);③所以∠B=180°-∠A,∠D=180°-∠C(等式的性质);④所以∠B=∠D(等量代换);⑤所以∠B=180°-∠C(等量代换).则正确的顺序是 ( ) A.①→③→②→⑤→④ B.②→③→⑤→①→④ C.②→③→①→⑤→④ D.②→⑤→①→③→④ 5[2025 重庆铜梁区校级期中]学习了等腰三角形后，爱探究的小巴同学发现：等腰三角形顶角平分线上任意一点到底边两端点的距离相等.于是他想出了如下证明方法，请根据他的思路完成以下作图与填空. 6.如图,在△ABC中,AB=AC. (1)用直尺(无刻度)和圆规，作∠BAC 的平分线AD 交 BC 于点 D,在线段AD 上任取一点 E(不与点A,D重合),连接EB,EC.(不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,求证:EB=EC. 证明:∵AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线,∴AD是边BC上的高,AD 是边 BC 上的 (等腰三角形 ),∴AD 垂直平分BC.∵AD垂直平分 BC,点 E 为 AD 上一点,∴ EB = 小巴进一步研究发现，等腰三角形顶角平分线所在直线上的点均有此特征.请你依照题意完成下面命题：等腰三角形顶角平分线所在直线上任意一点 . 7.[2024 安徽池州期末]观察下列算式，完成问题： 算式①： 算式( 4×5; 算式③： 算式④ 4×9;…. (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤： (2)上述算式用文字表示为“任意两个连续偶数的平方差都是4 的奇数倍”.若设两个连续偶数分别为2n 和2n+2(n为整数)，请证明上述命题成立. (3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立?若成立，请证明；若不成立，请举出反例. 学科网（北京）股份有限公司 1 认识证明 课时1 为什么要证明 刷基础 … 1. C 【解析】图形中的线段是否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能判断线段是否相交，故选 C. 2.随着度数的增大，线段的长度减小 3. D 【解析】假设是甲打碎玻璃窗，则甲、乙说了谎，与已知不相符，故选项 A 错误；假设是乙打碎玻璃窗，则甲、乙说了谎，与已知不相符，故选项 B错误；假设是丙打碎玻璃窗，则乙、丙说了谎，与已知不相符，故选项C 错误；假设是丁打碎玻璃窗，则丁说了谎，与已知相符，故选项D 正确.故选 D. 4. D 【解析】第1个图形一共有2个五角星，第2个图形一共有 (个)五角星，第3个图形一共有： (个)五角星，…，第n个图形一共有 则第6个图形一共有 72(个)五角星. 5.1 020 100 【解析】因为 所以1+3+5+…+2019= 6.2 【解析】由于甲已经赛了4盘，则甲与乙、丙、丁、小强各赛了1 盘.因为丁赛了1 盘，所以丁这1盘是与甲赛的，没有与其他人赛.因为乙赛了3盘，所以乙与甲、丙、小强各赛了1盘.因为丙赛了2 盘，所以丙是与甲和乙赛的.所以小强赛了 2 盘，是与甲和乙赛的.故答案为2. 7.【解】(1)从-7变化为+7 的总变化量为7-(-7)= 14,则操作次数至少为14÷2=7,故答案为7. (2)①翻转的这2 张纸牌由反到正，总和的变化量为2×[1-(-1)]=4;②翻转的这2 张纸牌由正到反，总和的变化量为2×(-1-1)=-4；③翻转的这2 张纸牌由一正一反到一反一正,总和的变化量为-1-1+1-(-1)=0.不能全部正面向上.理由：总变化量仍为 14，无法由4,-4,0组成.故答案为4或-4或0. 初中必刷题 数学八年级上册 BS (3)由题可知,0<n≤7.①当n=1时,由(1)可知能够使所有纸牌全部正面向上.②当n=2时，由(2)可知无法使所有纸牌全部正面向上.③当n=3时，每翻转3 张纸牌，总和的变化量为6或-6或2或-2,由于14=6+6+2,故n=3可以使所有纸牌全部正面向上.④当n=4时，每翻转4 张纸牌，总和的变化量为8 或-8或4或-4 或0,由于 14 无法由8,-8,4,-4，0组成，故n=4无法使所有纸牌全部正面向上.⑤当n=5时，每翻转5张纸牌，总和的变化量为10或-10或6或-6或2或-2,由于14=10+2+2,故n=5可以使所有纸牌全部正面向上.⑥当n=6时，每翻转6张纸牌，总和的变化量为12或-12或8或-8或4或-4或0，由于14无法由它们组成，故n=6无法使所有纸牌全部正面向上.⑦当n=7时，一次全翻完，可以使所有纸牌全部正面向上.故n=1，3,5,7. 学科网（北京）股份有限公司 课时2 定义与命题 刷基础 1. C 【解析】A选项是直角三角形的性质，故不符合题意；B选项是余角的性质，故不符合题意；C选项是点到直线的距离的定义，故符合题意；D选项是平行线的性质，故不符合题意.故选 C. 2.①②【解析】①是二元一次方程的定义，②是三角形的定义，③不是正比例函数的定义. 3. B 【解析】两点之间，线段最短，是命题，故A选项不符合题意；连接A，B两点，不是命题，故 B选项符合题意；两条直线被第三条直线所截，得到的同位角相等，是命题，故C 选项不符合题意；不平行的两条直线有一个交点，是命题，故D 选项不符合题意.故选 B. 5. A 【解析】A选项，如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；B选项，如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数可能是1，也可能是 故原命题是假命题；C选项，如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数可能是0，也可能是1，故原命题是假命题；D选项，如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数可能是0，也可能是1，故原命题是假命题.故选 A. 6.【解】(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零.是真命题. (2)如果两个角是同旁内角，那么它们互补.是假命题. 7. D【解析】当： 时， 故能说明命题“如果x为任何实数，那么 是假命题的反例是x=-1.故选 D. 8. C 【解析】能说明“三角形的高线一定在三角形的内部(含边界)”是假命题的反例是,故选 C. 9. A 【解析】∠1=∠2=45°满足∠1+∠2=90°,但不满足∠1≠∠2，能说明命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”是假命题,故A 选项符合题意;∠1=40°,∠2=50°满足命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,故B 选项不符合题意;∠1=50°,∠2=50°不满足∠1+∠2=90°,故 C 选项不符合题意;∠1=40°,∠2=40°不满足∠1+∠2=90°,故D选项不符合题意.故选 A. 10.(答案不唯一)-1 0 【解析】当a=-1,b=0时, 所以“若a<b,则 是假命题.(答案不唯一) 课时3 定理与证明 刷基础 1. B 【解析】对于题目中的语句：①是命题；③是真命题；④是定理.故选 B. 2. C 【解析】两点之间线段最短. 3. C 【解析】根据证明的定义可知“证明”是一种推理过程. 4. C 【解析】正确的推理过程如下：因为∠A+∠B= 180°,∠C+∠D = 180°(已知),所以 (等式的性质).因为∠A=∠C(已知),所以. ∠C(等量代换),所以∠B=∠D(等量代换).所以正确的顺序为②→③→①→⑤→④. 故选 C. 5.【解】(1)如图所示即为所求. (2)∵ AB = AC, AD 是∠BAC 的平分线,∴ AD 是边 BC 上的高,AD 是边 BC 上的中线(等腰三角形三线合一)，∴AD 垂直平分 BC. ∵ AD 垂直平分 BC,点 E 为 AD 上一点, ∴EB=EC.命题：等腰三角形顶角平分线所在 直线上任意一点到底边两端点的距离相等. 故答案为中线，三线合一，EC，到底边两端点 的距离相等. 6.(1)【解】根据题意可得,算式⑤: 44=4×11,故答案为 (2)【证明】 1)能被4整除，且2n+1为奇数，∴任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍成立. (3)【解】原命题不成立.反例： 6,即 是4的6倍，6是偶数，不是奇数. 学科网（北京）股份有限公司 $$