精品解析：四川省乐山市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

机密★启用前〔考试时间：2024年7月3日下午15：00-17：00〕 乐山市高中2025届期末教学质量检测 数学 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 注意事项： 1．答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 3. 对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量u，v由观测数据得散点图2．表示变量x，y之间的线性相关系数，表示变量u，v之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 变量x与y呈现正相关，且 B. 变量x与y呈现负相关，且 C. 变量u与v呈现正相关，且 D. 变量u与v呈现负相关，且 4. 某校准备从甲、乙等7人中选出4人参加社区服务工作，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的方法有（ ） A. 35种 B. 30种 C. 25种 D. 20种 5. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线，与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值．则（ ） A. B. C. D. 6. 某市组织5名志愿者到当地三个学校开展活动，要求每个学校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一个学校，则不同的派出方法有（ ） A. 240种 B. 150种 C. 120种 D. 60种 7. 某次大型联考名学生参加，考试成绩（满分分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为分，分以上共有人，学生甲的成绩为分，则学生甲的名次大致是（ ）名． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 最小值为 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 12. 在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 由数字2，3，4，5可组成________个三位数（各位上数字可重复，用数字作答）． 14. 一个不透明的箱子中有5个小球，其中2个白球，3个黑球，现从中任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率是________． 15. 数列是各项均为正数的等比数列，满足，，则数列的通项________． 16. 已知函数，若有解，则a的取值范围是____________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 某游泳俱乐部为了解中学生对游泳是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对游泳有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对游泳没有兴趣． （1）完成下面2×2列联表： 有兴趣 没有兴趣 合计 男 女 合计 （2）依据的独立性检验，能否认为游泳兴趣跟性别有关？ 附：，其中． α 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 19. 2020年至2023年全国粮食年产量y（单位：万万吨）的数据如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 年份代号x 1 2 3 4 总产量y 6.69 6.82 6.86 6.95 （1）请用相关系数判断关于的线性相关程度（计算时精确到小数点后2位，若，则线性相关程度较高，若，则线性相关程度一般）； （2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年全国粮食年产量． 参考公式：相关系数，回归直线方程的斜率，截距． 参考数据：，，． 20. 设数列是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若数列单调递增，记，求数列的前n项和，并证明：． 21. 某校篮球队举行投篮与传球训练： （1）投篮规则如下：每名队员用一组篮球定点投篮，一组3个球，先投2个普通球，再投1个花球．记投进一个普通球得1分，普通球投进的概率为；投进一个花球得2分，花球投进的概率为．记某队员进行一组定点投篮训练后得分为，求的分布列和期望; （2）现选投篮成绩最好的3名队员进行传球展示，从甲开始，每次等可能地传给另外两名队员，接到球的队员又等可能地传给另外两名队员，如此反复，假设传出的球都能接住．求传了次球后，球在甲手上的概率． 22. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）当时，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前〔考试时间：2024年7月3日下午15：00-17：00〕 乐山市高中2025届期末教学质量检测 数学 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 注意事项： 1．答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，再代入求值即可. 【详解】函数，求导得，所以. 故选：A 2. 已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 【答案】D 【解析】 【分析】将,变形为,根据数列,可知是数列的通项公式,即可求得答案. 【详解】根据数列1，，，，3，…， ， 又， ,解得 ， 故选:D. 3. 对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量u，v由观测数据得散点图2．表示变量x，y之间的线性相关系数，表示变量u，v之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 变量x与y呈现正相关，且 B. 变量x与y呈现负相关，且 C. 变量u与v呈现正相关，且 D. 变量u与v呈现负相关，且 【答案】A 【解析】 【分析】利用散点图，结合相关系数的知识可得答案. 【详解】观察散点图，得变量x与y呈现正相关，变量u与v呈现负相关，BC错误； 图1中各点比图2中各点更加集中，相关性更好，因此，A正确，D错误. 故选：A 4. 某校准备从甲、乙等7人中选出4人参加社区服务工作，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的方法有（ ） A. 35种 B. 30种 C. 25种 D. 20种 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合计数问题，结合排除法列式计算即得. 【详解】从7人中任选4人有种方法，从不含甲乙的5人中任选4人有种方法， 所以所求选法种数为. 故选：B 5. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线，与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目所给定义，利用导数的几何意义求切线方程即可求解. 【详解】由题意可得，， 由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率， 所以，整理得， 所以，， 所以过点做曲线的切线的斜率， 设该切线为，则，整理得， 所以， 故选：C 6. 某市组织5名志愿者到当地三个学校开展活动，要求每个学校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一个学校，则不同的派出方法有（ ） A. 240种 B. 150种 C. 120种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】先将人分为组，再分配到三个学校去即可. 【详解】人数分配上有和两种情况， 当为时，不同的派出方法有种， 当为时，不同的派出方法有种， 所以不同的派出方法有种. 故选：B. 7. 某次大型联考名学生参加，考试成绩（满分分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为分，分以上共有人，学生甲的成绩为分，则学生甲的名次大致是（ ）名． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，得到，利用正态分布的对称性得出，即可求解. 【详解】由题知，，所以， 得到，所以，得到学生甲的名次大致是. 故选：B. 8. 已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用与间的关系，求出，从而有，再利用累加法，即可求出结果. 【详解】因为①，当时，②， 所以①②得到， 当，，满足，所以， 得到， 所以， 故选：D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，将代入即可判断A；根据二项分布的期望公式和方差公式即可判断BC；根据期望的性质即可判断D. 【详解】因为离散型随机变量满足， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差d及首项，再逐项计算判断即得. 【详解】依题意，，解得， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由，得，即数列前5项均为负数，从第6项起为正数， 因此，D正确. 故选：BCD 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令，变形并求出展开式的通项，借助赋值法计算判断ABC；求出的导数，结合二项式定理判断D. 【详解】令，有，， 则展开式的通项为， 对于A，，A错误； 对于B，显然是展开式中项的系数，即，因此，B正确； 对于C，展开式中不含奇数次幂的项，即，又， 因此，C正确； 对于D，， ，D错误. 故选：BC 12. 在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，利用累加法得到，从而将问题转化成恒成立，令，利用数列的单调性得到，即可求出结果. 【详解】因为， 当时，， 又，所以， 又时，满足， 所以， 由，得到， 令，则， 当时，，得到，当时，， 所以，又， 当为偶数时，，得到， 当为奇数时，，得到，所以， 故选：AB. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于使恒成立，令，利用数列的单调性得到，再分取奇数和偶数，即可求解. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 由数字2，3，4，5可组成________个三位数（各位上数字可重复，用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】由题意每位数都有种取法， 所以由数字2，3，4，5可组成个三位数. 故答案为：. 14. 一个不透明的箱子中有5个小球，其中2个白球，3个黑球，现从中任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】记事件“一个是白球”， 事件“另一个是白球”，求出，再由条件概率公式计算可得答案. 【详解】记事件“一个是白球”，则， 事件“另一个是白球”，则， 由条件概率公式得， 则任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率为. 故答案为：. 15. 数列是各项均为正数的等比数列，满足，，则数列的通项________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得，解得，即可得到答案. 【详解】设数列的公比为，则，且， 由已知得， 化简，得，解得， 所以. 故答案为：. 16. 已知函数，若有解，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由，得，构造函数，利用函数的性质结合导数转化为求最值问题即可求解. 【详解】由，得， 令，该函数在上均单调递增，设， 则， 故该题等价于， ①若，由的图象可知或， 等价于或， 令则 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递增；当时，，单调递减； 由以下图象可知 或，可得； ②若，由的图象可知或， 等价于 或， 由以下图象可知 ; 综上，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式能成立的问题，解题的关键是化简变形得，再构造函数，再次转化为有解问题，再变形化简，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 某游泳俱乐部为了解中学生对游泳是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对游泳有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对游泳没有兴趣． （1）完成下面2×2列联表： 有兴趣 没有兴趣 合计 男 女 合计 （2）依据的独立性检验，能否认为游泳兴趣跟性别有关？ 附：，其中． α 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表见解析 （2）能 【解析】 【分析】（1）根据条件知对游泳有兴趣的总人数为80，女生中对游泳有兴趣的人数为45人，男生中对游泳有兴趣的人数为35人，即可求出结果； （2）根据（1）中结果，计算出，即可求出结果. 【小问1详解】 由题知对游泳有兴趣的总人数为，又女生中有5人对游泳没有兴趣， 所以女生中对游泳有兴趣的人数为45人，男生中对游泳有兴趣的人数为35人，男生中有15人对游泳没有兴趣， 故2×2列联表如下表： 有兴趣 没有兴趣 合计 男 35 15 50 女 45 5 50 合计 80 20 100 【小问2详解】由（1）知， 所以依据的独立性检验，能认为游泳兴趣跟性别有关. 18. 已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）； （2）当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得. （2）求出函数的导数，再按为正负0分类讨论求出函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，求导得， 则，而， 所以所求切线方程为，即 【小问2详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. 19. 2020年至2023年全国粮食年产量y（单位：万万吨）的数据如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 年份代号x 1 2 3 4 总产量y 6.69 6.82 6.86 6.95 （1）请用相关系数判断关于的线性相关程度（计算时精确到小数点后2位，若，则线性相关程度较高，若，则线性相关程度一般）； （2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年全国粮食年产量． 参考公式：相关系数，回归直线方程的斜率，截距． 参考数据：，，． 【答案】（1）线性相关程度较高 （2）；万万吨 【解析】 【分析】（1）根据上表中的数据计算出相关系数即可求解； （2）根据（1）中的数据计算出回归方程的系数得出回归方程，然后将代入回归方程即可求解. 【小问1详解】 ，， ， ， ， 因为，所以线性相关程度较高； 【小问2详解】 ， ， ， 所以y关于x的线性回归方程为， 当时，， 所以2025年全国粮食年产量为万万吨. 20. 设数列是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若数列单调递增，记，求数列的前n项和，并证明：． 【答案】（1）或 （2）证明：因为数列单调递增，所以， 则，故， 则，① ，② 由①②得 ， 所以， 令， 则， 所以， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式求出公比和公差，即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 设数列的公差为，数列的公比为， 由，，， 得，解得或， 所以或； 【小问2详解】 略 21. 某校篮球队举行投篮与传球训练： （1）投篮规则如下：每名队员用一组篮球定点投篮，一组3个球，先投2个普通球，再投1个花球．记投进一个普通球得1分，普通球投进的概率为；投进一个花球得2分，花球投进的概率为．记某队员进行一组定点投篮训练后得分为，求的分布列和期望; （2）现选投篮成绩最好的3名队员进行传球展示，从甲开始，每次等可能地传给另外两名队员，接到球的队员又等可能地传给另外两名队员，如此反复，假设传出的球都能接住．求传了次球后，球在甲手上的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意写出所有可能的取值，分别求出概率，列出分布列，进而求出数学期望； （2）传了次球后，球在甲手上的概率，则当时，传了次球后，球在甲手上的概率为，由条件确定和的关系，结合等比数列的定义求解即可. 【小问1详解】 根据题意可知，的可能取值为， 由题意可知，， ，， ， 所以的分布列为 所以. 【小问2详解】 由题意传了次球后，球在甲手上的概率， 则，， 当时，传了次球后，球在甲手上的概率为，球不在甲手上的概率为， 则，即， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 22. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）当时，若，求证：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，，对求导，得到，令，得到，再利用极值的定义，即可求解； （2）构造函数，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，再结合条件，得到，再构造函数，求出函数的单调区间，进而求出的最小值，即可证明结果. 【小问1详解】 当时，，所以， 令，得到，当时，，时，， 所以在处取到极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 因为，， 由，得到， 令，则， 令，则，由，得到， 当时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 得到，又，所以，当且仅法时取等号， 所以在区间上单调递增，得到， 又， 所以， 令，所以，令，得到， 当时，，时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，故. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二次，利用同构，即，构造函数，利用函数的单调性得到，从而得到，再构造函数，求出函数的最小值，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $