5.4二元一次方程与一次函数 同步练习 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

5.4二元一次方程与一次函数 课时1 二元一次方程(组)与一次函数 刷基础 知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 1以二元一次方程2x+y=-1的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是 ( ) 2若点(2,3)在一次函数y=2x-1的图象上,则方程2x-y=1的一个解为 . 3二元一次方程x-2y=0的解有无数个，其中一个解为 所以在平面直角坐标系中就可以用点(2，1)表示它的一个解. (1)请在下图中的平面直角坐标系中描出点(2，1)，再描出三个以方程x-2y=0的解为坐标的点. (2)过(1)中的这四个点中的任意两点作直线，你有什么发现?直接写出结果. (3)以方程x-2y=0的解为坐标的点的全体叫作方程x-2y=0的图象.想一想,方程x-2y=0的图象是什么? 知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系 4如图，直线l₁:y=x+2与直线 相交于点 P，则方 程 组 的解是( ) 5[2025 河北廊坊质检]已知方程组 的解为 则直线y=2x-a与y=-x+b 的交点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6[2025 江苏南通质检]直线y= ax+2与直线 y=3x-2平行，下列说法不正确的是 ( ) A. a=3 B.直线y= ax+2与y=3x-2没有交点 C.方程组 无解 D.方程组 有无穷多个解 7[2025 山东泰安期中]方程组 所对应的一次函数的图象如图所示，则2a+b的值为 ( ) A.-5 B.3 C.5 D.-3 刷提升 学科网（北京）股份有限公司 1[中]若直线y=2x+1与直线y=-x+b的交点在第一象限，则b的值可以是 ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 2.[2025 浙江湖州质检,中]正比例函数y= kx(k为整数)的图象与直线y=x+8的交点恰好是整点(横、纵坐标都是整数的点称为整点)，那么满足条件的正比例函数有 ( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.无数个 3.若方程组 有无穷多组解，则 的值为 4[2024 贵州遵义调研,较难]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+m的图象和一次函数y= nx+1 的图象分别与y轴交于点(0，4),(0,1),则关于x,y 的二元一次方程组 的解为 . 5[中]如图，直线 与直线 相交于点 P(1,b),直线 l₁,l₂与x轴分别交于A,B 两点. (1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组 的解； (2)求△ABP 的面积; (3)垂直于x轴的直线x=a与直线l₁，l₂分别交于点 C,D,若线段CD 的长为2,求a的值. 刷素养 6.思想方法数形结合[2024山东青岛期中，较难]我们知道，二元一次方程有无数个解.在平面直角坐标系中，我们标出以某个二元一次方程的解为坐标的点，就会发现这些点在同一条直线上. 例如： 是方程x-y=-1的一个解，对应点为M(1，2).如图所示，我们在平面直角坐标系中将其标出，该方程的其他解还对应点(2，3)，(3，4)……将这些点连起来，可以发现它们在同一条直线上，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程x-y=-1的解，所以我们把这条直线叫作方程x-y=-1的图象. 一般地，以二元一次方程的解为坐标的点连成的直线就叫这个方程的图象.请解答下列问题： (1)已知 A(1,1),B(-3,4),c( ,2) 则点 (填“A”或“B”或“C”)在方程2x-y=-1的图象上. (2)求方程2x+3y=9和方程3x-4y=5图象的交点坐标. (3)已知以关于x，y的方程组 的解为坐标的点在方程x+y=5的图象上，当t>m时，化简 学科网（北京）股份有限公司 课时2 用二元一次方程组确定一次函数表达式 刷基础 学科网（北京）股份有限公司 知识点1 用待定系数法求一次函数的表达式 1.一次函数的图象如图所示，那么这个一次函数的表达式是 ( ) A. y=-2x-2 B. y=2x-2 C. y=-2x+2 D. y=2x+2 2已知y是x的一次函数，下表给出了部分对应值，则m的值是 . x 2 4 5 y -1 -5 m 3已知某一次函数的图象与正比例函数y=2x 的图象平行，且与y轴的交点和直线y=3x+4与y轴的交点为同一点，则此一次函数的表达式为 4如图，直线l₁的表达式为y=3x-2，且直线l₁与x轴交于点 D.直线l₂与x轴交于点A，且经过点B,直线l₁与l₂交于点C(m,3). (1)求点 D 和点 C 的坐标; (2)求直线l₂的表达式； (3)利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组 的解. 知识点2 用待定系数法解决实际问题 5在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间是一次函数关系，图象如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是 A.9 cm B.10cm C.10.5cm D.11 cm( ) 6.[2025 湖北武汉质检]如图表示的是甲、乙两船沿相同路线从A 港出发到 B 港的行驶过程中，路程y(km)随时间t(h)变化的图象，则乙船出发多长时间赶上甲船 ( ) A.1.5h B.2 h C.2.5h D.3.5h 7[2024江西九江期末]某工厂生产一种产品，当生产数量至少为20吨，但不超过60 吨时，每吨的成本y(万元)与生产数量x(吨)之间是一次函数关系，其图象如图所示. (1)求出y关于x的函数表达式； (2)如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量. 学科网（北京）股份有限公司 刷提升 学科网（北京）股份有限公司 1[2025 陕西渭南期末，中]小明走楼梯回家，他所走的台阶总数m(个)是楼层的层数n(层)(n≥2且n为整数)的一次函数，其部分对应值如表所示： 层数 n/层 2 3 4 5 … 台阶总数m/个 42 70 98 126 … 当层数为20层时，小明走的台阶总数为 () A.560个 B.546个 C.574个 D.592个 2.[中]已知直线 l₁ 与 x 轴交于点 是个讲题鸭A(-2，0)，与y轴交于正半轴，且直线l₁ 与两坐标轴围成的三角形的面积为4.将直线l₁ 向下平移m(m>0)个单位得到直线l₂，直线l₂交x轴于点B，若点A与点B关于y轴对称，则m的值为 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 3[2025 福建厦门期末,中]某校科技节上，同学们在操场进行无人机表演，其中甲、乙两架无人机离操场地面的高度y(单位：米)与表演时间x(单位：秒)的图象如图所示.已知表演开始时甲、乙离地的高度分别是5 米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过5米的时间可持续 秒. 4[2025 辽宁辽阳期末，中]如图，在平面直角坐标系中,点B的坐标为(3,1),AB=OB,∠ABO=90°，则直线AB 的函数表达式是 . 5[中]小明从家去体育场锻炼，同时，妈妈从体育场以50米/分的速度回家，小明到体育场后发现要下雨，立即返回，追上妈妈后，小明以250米/分的速度回家取伞，立即又以 250 米/ 分的速度折回接妈妈，两人一同回家.如图是两人离家的距离y(米)与小明出发的时间x(分)之间的函数图象. (注：小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走，图象上A，C，D三点在一条直线上) (1)求线段BC 的函数表达式； (2)求点 D 的坐标，并说明点 D 的实际意义. 6[2024山东淄博期末，较难]如图，直线 kx+b与y轴交于点A，与x轴交于点.B₁ )。直线 与y轴交于点 C，与直线l₁交于点 D，点D到y轴的距离为2 (1)求直线l₁的函数表达式. (2)请直 接 写 出 方 程 组 的解: . (3)求△ACD 的面积. (4)在直线 l₁ 上是否存在异于点 D 的另一点M,使得△ACD 与△ACM的面积相等? 若存在,请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 4 二元一次方程与一次函数 课时1 二元一次方程(组)与一次函数 刷基础 …… 1. D 【解析】以方程: 的解为坐标的点组成的图象就是一次函数 的 图象，如图所示，故选 D. 3.【解】(1)(答案不唯一)因为二元一次方程x- 的解可以为 所以以方程： 的解为坐标的点可以是 (4,2).它们在平面直角坐标系中的位置如图所示. (2)如图，可知四个点在一条直线上. (3)由原方程，得 因为以方程. 的解为坐标的点的全体叫作方程： 的图象，所以方程. 的图象就是正比例函数 的图象.因为正比例函数 的图象是经过第一、三象限且过原点的一条直线，所以方程. 的图象是经过第一、三象限且过原点的一条直线. 4. D 【解析】因为直线 经过P(m,4),所以 所以 所以直线 与直线 相交于点P(2，4)，所以方程组 的解是 故选 D. 5. B 【解析】因为方程组 的解为 所以直线y=2x-a与y=-x+b的交点坐标为(-1,1).因为点(-1,1)在第二象限,所以直线y=2x-a与y=-x+b的交点在第二象限.故选 B. 6. D 【解析】因为直线y= ax+2与直线y=3x-2平行，所以a=3，两直线没有交点，所以方程组 无解，故选项 A、B、C正确，选项D 错误.故选 D. 7. A 【解析】由题图得方程组 的解为 所以-2a-1=3,-2-b=-1,解得a=-2,b=-1,所以2a+b=2×(-2)-1=-5.故选 A. 刷提升 1. A 【解析】联立 与 解得 所 以 两 直 线 的 交 点 坐 标 为 将四个选项中的b值代入，只有A 选项得到的坐标在第一象限，故选 A. 2. C 【解析】联立得 解得 因为x为整数，所以 ，所以 9,-7,5,-3,3,-1,2,0. 又因为. 所以满足条件的k值有7个，即满足条件的正比例函数有7 个.故选 C. 3.5 【解析】根据题意，得( 解得 所以 故答案为5. 【解析】因为一次函数 的图象与y轴交于点(0，4)，将一次函数 的图象向下平移3个单位得到一次函数 的图象，所以一次函数 的图象与y轴的交点为(O，l).因为一次函数： 的图象与y轴的交点也是(0，1)，所以一次函数 与一次函数 图象的交点为(O，1)，所以关于x，y的二元一次方程组 的解为 故答案为 5.【解】(1)把点P(1,b)代入: 得 ,所以P(1,3).把点P(1,3)代入 4,得 所以 因为直线 与直线 相交于点P(1,3),所以方程组 的解为 (2)因为 所以 B(4,0),所以 所以 (3)直线x=a 与直线 的交点C 为( 与直线 的交点 D 为( 因为( 所以 即 所以 或 所以 或 , , , , , , 6.【解】(1)因为 所以点 C 在方程 的图象上.故答案为 C. (2)由 解得 所以方程 和方程 图象的交点坐标为(3,1). (3)由 解得 因为 所以 所以 当 时， 课时2 用二元一次方程组确定一次函数表达式 刷基础 1. A 【解析】设这个一次函数的表达式为： 将 与 代入，得 解得 则这个一次函数的表达式为 故选 A. 【解析】设 把 和x= 4,y=-5 代入y= kx+b,得 解得 所以y=-2x+3.把x=5代入y=-2x+3,得γ=﹣2×5+3=﹣7,所以m=﹣7.故答案为-7. 【解析】设该一次函数的表达式为因为一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行，所以k=2.在y=3x+4中,当x=0时,y=4,所以图象与y轴交于点(0,4).将点(0,4)代入一次函数y=2x+b中，得b=4，所以此一次函数的表达式为y=2x+4.故答案为y=2x+4. 4.【解】(1)在y=3x-2中,令y=0,即3x-2=0,解得 所以 因为点C(m,3)在直线y=3x-2上,所以 2=3,解得 所以 (2)设直线l₂ 的表达式为y= kx+b(k≠0).由图象可知B(4,1). 由题意得 解得 所以直线l₂的表达式为 (3)将 变形为6x+7y=31. 由图象可知，关于x，y的二元一次方程组 的解为 5. B 【解析】设y与x间的关系式为y= kx+b.将(5,12.5),(20,20)代入,得 解得 所以 当x=0时,y=10,即弹簧不挂物体时的长度是 10 cm.故选B. 6. B 【解析】设y甲 = kx,将(8,160)代入得160=8k,解得k=20,所以 8).设yz= ax+b,将(2,0),(6,160)代入得 解得 所以 (2≤x≤6).联立得 解得 所以乙船出发4-2=2(h)赶上甲船.故选B. 7.【解】(1)设y关于x的函数表达式是y= kx+b.因为点(20,6),(28,5.6)在该函数图象上,所以 解得 即y关于x的函数表达式是y=-0.05x+7. (2)当y=4.8时,4.8=-0.05x+7,解得x=44.答：如果每吨的成本是4.8万元，那么该产品的生产数量是44 吨. 刷提升 1. B 【解析】设一次函数表达式为m=kn+b.将(2,42),(3,70)代入得 解得 所以m=28n-14.当n=20时,m=28×20-14=546.故选 B. 2. A 【解析】根据题意，画出示意图如图.设直线 与y轴交于点 C，点 C 的坐标为(0,n)(n>0),直线 与 y 轴交于点 D.因为点A与点B关于y轴对称，所以点 B 的坐标为(2，0).因为直线l₁ 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，点A(-2,0),所以 4,解得n=4,所以点C的坐标为(0,4).设直线l₁的表达式为y= kx+b.把A(-2,0),C(0,4)代入，得 解得 所以y=2x+4.因为直线l₂ 由直线l₁平移得到，所以设直线l₂的表达式为y=2x+b'.把B(2,0)代入,得2×2+b'=0,解得b'=-4,所以直线l₂ 的表达式为y=2x-4,所以点 D的坐标为(0,-4),所以m=4-(-4)=8.故选 A. 3.20 【解析】设: 将(0,5),(20,60)分别代入，得 解得 则 设 将(0,15),(20,60) 分别代入,得 解得 则 当x<20 时, 即2.25x+15-2.75x-5=5,解得x=10;当x>20时, 即2.25x+15-2.75x-5=-5,解得x=30.30-10=20(秒).故答案为20. 4. y=-3x+10 【解析】如图,过点A作AC∥x轴交y轴于点C，过点B作BD//y轴交x轴于点D，两条直线相交于点E，易得∠ACO=∠E=∠BDO=90°,所以∠BAE+∠EBA=90°. 因为∠ABO=90°,所以∠EBA+∠OBD = 90°,所以∠OBD =∠BAE.因为 B(3,1),所以OD=3,BD=1. 在△ABE与△BOD中, 所以△ABE≌△BOD (AAS),所以 AE = BD = 1,BE=OD=3,所以AC=CE-AE=OD-AE=2,DE=BD+BE=4,所以A(2,4).设直线AB 的表达式为y= kx+b.将A(2,4),B(3,1)代入,得 解得 所以直线AB的表达式为y=-3x+10.故答案为y=-3x+10. 5.【解】(1)因为45×50=2 250(米),3 000-2250=750(米),所以点 C 的坐标为(45,750).设线段 BC 的函数表达式为 把(30,3000),(45,750)代入y= kx+b,得 解得 所以线段 BC 的函数表达式为y=-150x+7 500(30≤x≤45). (2)设AC 所在直线的函数表达式为 y= 把(0,3000),(45,750)代入 得 解得 所以 AC 所在直线的函数表达式为 因为750÷250=3(分), (分),所以点E的坐标为(48,0). 所以易得 ED 所在直线的函数表达式为y=250(x-48)=250x-12 000. 联立，得方程组 解得 所以点 D 的坐标为(50,500), 点D的实际意义：小明将在出发50分时离家500米的地方接到妈妈.………………………… 6.【解】(1)因为点D到y轴的距离为2，所以点D的横坐标为2.把x=2代入 得 所以D(2,1).把 D(2,1)代入 得 解得 所以直线 l₁ 的函数表达式为 2x-3. (2)根据原方程组易知，直线 l₁ 与直线 l₂ 交点的坐标即为原方程组的解.因为直线 l₁： 与直线 交于点 D(2,1)，所以方程组 的解是 故答案为 (3)把x=0代入 得 所以C(0,2).把x=0代入 得 所以A(0,-3),所以AC=2+3=5,所以 (4)存在, .若在直线l₁ 上存在异十位数字是 个位数字是n，所以N的各个数位上的数字之和是 因为 N的各个数位上的数字之和能被3 整除，所以 或 或 当 时， 因为N能被7整除， 所以 所以 当 时， 因为N能被7整除，所以 所以 当 时,l 因为N能被7整除，所以 所以 综上所述,满足条件的M 有 1 032 和5 510 和2 276. $$