河南省开封市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试题

1 2024--2025学年第二学期期末调研试卷 高一数学参考答案 注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．2 13．20 14． 2 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分） （1）根据频率和为 1，可知  0.0024 0.0036 0.0060 0.0024 0.0012 50 1x       ，计算得： 0.0044x  ；………4 分 （2）  0.0024 0.0036 0.0060 50 1000 600     ；………8分 （3）  0.0024 0.0036 0.0060 0.0044 50 0.82     ，………10 分 合理，样本的第 80 百分位数接近于 250，由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，在实际 决策中，只要临界值近似为第 80 百分位数即可，为了实际中操作方便，可以建议市政府把月均用电量标准 定为 250kW·h.………13 分 16.（15 分） （1）因为    = 1,1 , , 1 ,AB AC x y    ………3 分 又 AB AC   ，所以  + 1=0 0x y x  ；………6 分 （2）因为 2AB   ， BC  在 AC  上的投影向量的长度为 2 ，………7分 根据投影的定义及（1）中解答，所以 2BC   ，又  = 1, 2BC x y   ，………10 分        2 2 2 2 21 2 1 1 = 2 2 2BC x y x x x            所以 ，解之得 = 1x  .………15 分 17.（15 分） （1）连接 BD与 AC交于点O，连接 EO，………1分 E O， 分别是 1DD BD与 的中点，所以 1EO BD∥ ，………3 分 又 EO AEC平面 ， 1BD AEC平面 ，所以 1BD AEC∥平面 .………7分 （2） 1AE AEC平面 不成立.………8分 记 1= = =2AB AD a AA b， ，若 1AE AEC平面 ，则 1AE EC ，………10 分 易知 2 2 2 1 = +AE a b ， 2 2 2= +EC a b ， 2 2 2 1 =2 +4AC a b ，………13 分 由于 2 2 2 1 1+AE EC AC ，所以 1AE EC 不成立， 所以 1AE AEC平面 不成立.………15 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A A A B B C 题号 9 10 11 答案 BD AC AC 2 18.（17 分） （1）由余弦定理的推论，得 2 2 2+cos = 2 a c bB ac  ，………1分 所以  2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 ++= + 2 cos = + = 2 2 2 2 4a b c aa a a a c bm c c B c a c ac                  ，………6分 所以  2 2 21= 2 + 2a m b c a .………8 分 （2）由已知易知： AA' 平面 ， =45 =60 =30ABA' AOA' ACA'    ， ， ，………10 分 = = tan45 AA'A'B AA' ， 3= = tan60 3 AA'A'O AA' ， = = 3tan30 AA'A'C AA' ，……13 分 又O为 BC的中点， 2BC  ， 由（1）可得：  2 2 21= 2 +2A'O A'B A'C BC ，即   2 23 1= 2 +3 4 3 2 AA' AA' AA'  ，………15 分 解之可得： 15= 5 AA' .………17 分 19.（17 分） （1）由题意， 1=P  ，   2= 1 1P    ，………2分   1 2= 1 1 = + 1P P          ，………3分 当0 + 1   时， 1 2P P ；当 + =1  时， 1 2=P P；当1 + 2   时， 1 2P P .………5分 （2）（i）由题意， 1 1          ， ， 解之得 1 2 1 2         ， ， 所以 1 1 2 1 1 2           ， ， ………6分 所以 11 + 2 1 4      ， ，所以 ② ③一定错误.………8分 （ii）由（i）中选择 4+ = 3   作为条件，当发送的数据为“1100”时，事件  =2n X 包含以下三种情况： ①两个 1 接收都正确，两个 0接收都正确，其概率为 2 2  ； ②有且只有一个 1 接收正确，有且只有一个 0 接收正确，其概率为      2 1 2 1 =4 1 +            ； ③两个 1 接收都错误，两个 0接收都错误，其概率为      2 2 21 1 = 1 +        ；………11 分 所以       22 2 2 2 1=2 = +4 1 + + 1 + =6 2 + 9 P n X                 ，………12 分 令 t  ，则 4 3 t        ，其中 1 1 2   ，可得 1 4 3 9 t     ， ，………14 分 所以    2 1=2 =6 2 + 9 P n X t t ， 1 4 3 9 t     ， ， 由二次函数的性质可知，   =2P n X 在 4= 9 t 时取到最大值，最大值为 11 27 .………17 分 高一数学 第 页 (共4页) 2024-2025学年第二学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项: 1.本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟。答题前,考生务必将自己的姓名、考生 号等填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上对 应的答题区域内,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1. 下列各数中,是纯虚数的是 A. 0 B. 1+ 3 C. (1+ 3 )i D. 1+ 3 i 2. 设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则a 与b A. 平行 B. 相交 C. 是异面直线 D. 可能相交,也可能是异面直线 3. 甲、乙两个元件构成一并联电路,设E=“甲元件故障”,F=“乙元件故障”,则表示电路故障 的事件为 A. E∩F B. E∪F C. E∩F D. E∪F 4. 在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=1,b=2,C= π 3 ,则c= A. 3 B. 3 C. 7 D. 7 5. 从两名男生、两名女生中任意抽取两人,在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种 抽样方式下,抽到的两人都是男生的概率分别是 A. 1 4 ,1 6 B. 1 6 ,1 4 C. 1 8 ,1 12 D. 1 12 ,1 8 6. 若z=x+yi(x,y∈R),且 z-(1+2i)=2,则 A. (x-1)2+(y-2)2=2 B. (x-1)2+(y-2)2=4 C. (x+1)2+(y+2)2=2 D. (x+1)2+(y+2)2=4 1 高一数学 第 页 (共4页) 7. 帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视 风风速,视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船 行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等,方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测 得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(风速的大小和向量的大小相同,单 位m/s),则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是 A. - 5 5 B. 5 5 C. - 25 5 D. 25 5 8. 如图,以边长为2的菱形ABCD 的一边AB 所在直线为轴,其他三边旋转一周形成 的面围成一个几何体.已知该几何体的体积为2π,则该几何体的表面积为 A. 2π B. 4π C. 8π D. 16π 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 下列统计量中,能度量样本x1,x2,…,xn 的离散程度的是 A. 样本x1,x2,…,xn 的平均数 B. 样本x1,x2,…,xn 的极差 C. 样本x1,x2,…,xn 的中位数 D. 样本x1,x2,…,xn 的标准差 10. 已知复数z=1+i,则下列复数中虚部为0的有 A. z+z B. z-z C. zz D. z z 11. 如图所示,分别以等边三角形ABC 的顶点A,B,C 为圆心,线段AB 的长为半径画圆弧 BC︵,AC︵,AB︵,三段圆弧围成一个曲边三角形.已知AB=2,O 为AB 的中点,点P,Q 分别 在BC︵,AC︵ 上,若∠PAB=∠CBQ+ π 6 ,则 A. PQ→ 的最小值是22-2 B. PQ→ 可以取到 22 C. OP→·OQ→ 的最大值是22-1 D. OP→·OQ→ 可以取到1 2 高一数学 第 页 (共4页) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 已知a=(4,x),b=(6,3),且a∥b,则x= . 13. 某市为了调查教师对统计软件的了解程度,拟采用比例分配的分层随机抽样的方法从 A,B,C 三所学校抽取60名教师进行调查,已知A,B,C 三所学校分别有180,270,90名 教师,则从A 学校中应抽取的人数为 . 14. 已知△ABC 的面积为 1 4 ,若sinAsinB=cosAcosB= 1 4 ,则边AB= . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 某市通过简单随机抽样,获得了1000户居民用户的月均用电量数据,发现他们的用电量都在 50~350 kW·h之间,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示. (1)求直方图中x 的值; (2)求在被调查的用户中,用电量落在区间[50,200)内的用户数; (3)该市政府计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度,即确定一个居民月均用电量标 准a,用电量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.如果希望80%的居 民生活用电费用支出不受影响,将a定为250 kW·h是否合理? 请说明理由. 16. (15分) 已知点A(0,1),B(1,2),C(x,y),x≠0,且AB→⊥AC→. (1)求x,y 之间的关系式; (2)若BC→ 在AC→ 上的投影向量的长度为 2,求x 的值. 3 高一数学 第 页 (共4页) 17. (15分) 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,E 为DD1 的中点. (1)证明:BD1∥平面AEC; (2)判断A1E⊥平面AEC 是否成立,并证明. 18. (17分) 在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,边BC 上的中线记为ma. (1)利用余弦定理证明:ma= 1 2 2 (b2+c2)-a2; (2)如图,△ABC 在平面a 上的正投影为△A'BC,O 为BC 的 中点,已知直线AB,AO,AC 和平面a 所成的角分别为45°,60°, 30°,BC=2,求AA'. 19. (17分) 数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中,数据是由数字0和1组成的数字 串,发送时按顺序每次只发送一个数字,且每次数字的传输相互独立.发送0时,收到0的概率 为α(0<α<1),收到1的概率为1-α;发送1时,收到1的概率为β(0<β<1),收到0的概率 为1-β. (1)若发送的数据为“01”,记收到的数字全部正确的概率为P1,全部错误的概率为P2,试 比较P1,P2 的大小; (2)已知发送数字0,1时,收到正确数字的概率都大于收到错误数字的概率. (i)从下面①②③中选出一定错误的结论: ① α+ β= 4 3 ② α+ β= 1 ③ αβ= 1 4 (i)从(i)中选出一个可能正确的结论作为条件.用X 表示收到的数字串,将X 中数字1 的个数记为n(X),如X=“1011”,则n(X)=3.若发送的数据为“1100”,求P(n(X)=2)的最 大值. 4