精品解析：四川省达州市普通高中2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

达州市2025年普通高中一年级春季学期教学质量监测 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．考试结束以后，将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可得. 【详解】. 故选：A. 2. 已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由坐标计算向量夹角的余弦可得. 【详解】由已知，， 所以向量与的夹角的余弦值为. 故选：D. 3. 衡量数据离散程度还可以使用变异系数（标准差与平均数的比值，一般来说变异系数越大，其离散程度的测度值越大，反之越小）．下表总结了标准差与变异系数的适用场景．某次考试后，甲班平均分80分，标准差9分；乙班平均分100分，标准差10分．则 场景 使用标准差 使用变异系数 数据单位相同，均值相近 直接比较绝对波动 不必要 数据单位不同 无法直接比较 消除单位差异，比较相对波动 均值差异大 可能误导 标准化后比较相对波动 A. 甲班成绩相对更稳定 B. 乙班成绩相对更稳定 C. 甲、乙两班成绩一样稳定 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据变异系数的定义，分别求得甲乙两班的变异系数，即可得出判断． 【详解】由题可知，两班均值差异大，使用标准差可能误导，故使用变异系数， 甲班变异系数为，乙班变异系数为， 所以乙班成绩相对更稳定， 故选：B． 4. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第1枚硬币正面朝上”，“第2枚硬币反面朝上”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相等 C. 与互斥 D. 与对立 【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断. 【详解】显然事件和事件不相等，故B错误； 由于事件和事件能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故C、D错误； 因为事件是否发生与事件无关，事件是否发生也与事件无关，故事件和事件相互独立，故A正确. 故选：A. 5. 是角为第三象限角的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦正切值的正负结合必要不充分条件判断可得. 【详解】可得或，即为第三象限角或第二象限角， 所以是角为第三象限角的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知非零向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的数量积结合投影向量的计算可得. 【详解】由可得， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 7. 已知甲、乙两机床生产同一种零件，甲机床生产优等品的概率为0.4，乙机床生产优等品的概率为0.5，假定两机床是否生产优等品相互没有影响．现从这两台机床生产的零件中各随机抽取一件，则这两件零件中，至少有一件是优等品的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概率计算公式即可求解． 【详解】由题可知，这两件零件中，至少有一件是优等品的概率为， 故选：C． 8. 已知函数在区间上的最小值为，则所有满足条件的正整数之和为（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可. 【详解】当时，又是正整数， 则此时的最小值为， 若，此时能取到最小值，即， 代入可得，满足要求； 若取不到最小值，则需满足，即， 当时，，时， 由正弦函数的单调性，当时， 函数在区间上取得最小值： ，不符合题意； 当时，，时， 由正弦函数的单调性，当时， 函数在区间上取得最小值： ，不符合题意； 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：、、、、、、、、，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的平均数为 B. 这组数据的分位数为 C. 去掉一个样本数据后方差变小 D. 每个样本数据都减后方差变小 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，这组数据的平均数为，A对； 对于B选项，将这组数据由小到大排列依次为：、、、、、、、、， 共个数据，因为，故这组数据的分位数为，B错； 对于C选项，原数据的方差为， 去掉一个样本数据后，平均数为， 方差为，， 所以，去掉一个样本数据后方差变小，C对； 对于D选项，将这九个数据分别记为、、、、， 将每个样本数据都减后，新数据为、、、、， 由方差的性质可知，方差不变，D错. 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的定义域为 【答案】AB 【解析】 【分析】由正切函数的周期性可得A正确；整体代入可判断B、C，由余弦函数的单调性可得D错误. 【详解】对于A，由正切函数的周期可得函数的周期为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由题意可得，解得，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数，是定义在上的连续函数，，对任意，，都有成立，则 A. 是偶函数 B. C. 是周期函数 D. 不等式有解 【答案】AB 【解析】 【分析】令得到，令得到令，再由偶函数的性质可得A正确；令可得，，再令可得B正确；举反例令可得C错误；设由余弦函数的最值可得D错误. 【详解】对于A，令，则， 又，所以， 令，则，即， 则，故A正确； 对于B，由A可得， 令，则，即， 令，则，即， 所以，故B正确； 对于C，举反例，令， 赋值令可得，即， 所以，不是周期函数，故C错误； 对于D，设，符合函数是定义在上的连续函数，， 由令得到，此时不等式无解，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由特殊角三角函数值结合交集的运算可得. 【详解】， 所以. 故答案为：. 13. 已知是坐标原点，向量，对应的复数分别为，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得出向量，的坐标，结合平面向量的减法可得出向量的坐标，由此可得出向量的模． 【详解】由题可知，，， ，所以， 故答案为：2． 14. 在中，，，为线段上一点，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由利用面积公式和数量积可得，由利用正弦定理结合三角恒等变换可得，由可得，由三点共线的可得，设，利用辅助角公式结合正弦函数有界性分析求解. 【详解】设角所对的边分别为， 因为，则，可得， 且，所以， 因为，即，可得， 由正弦定理可得， 又因为 且， 可得 ， 则， 因为，则，可得， 且，则，可得，可得， 则，可知为等腰直角三角形， 由，可得， 因为， 且为线段上一点，则，且， 设， 则， 且， 可得，所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级男生需要不同规格校服的频数如下表所示. 校服规格 合计 频数 （1）请用平均数、中位数、众数中的一个量来代表该校高一年级男生所需校服的规格，并讨论用上表中的数据估计全国高一年级男生校服规格的合理性； （2）现有套不同规格的校服，将件上衣（分别用、、表示），件裤子（分别用、、表示，其中、、分别表示一套），分别装入只大小材质相同的黑色袋子.如果从中随机地取出只袋子，记事件“取出袋子里面一件是上衣，一件是裤子，但不是一套”，求． 【答案】（1）平均数、中位数、众数都为，理由：由表格中的数据可知，平均数为， ， 故中位数为第个数据和第个数据的平均数，即为，众数为， 由于全国各地的高一年级男生的身高存在一定的差异， 所以用一个学校的数据估计全国高一年级男生的校服规格不合理. （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数公式、中位数和众数的定义可得结果，再根据全国各地的高一年级男生的身高存在的差异性可得出结论； （2）列举出样本空间以及事件所包含的基本事件，结合古典概型的概率公式可求得的值. 【小问1详解】 由表格中的数据可知，平均数为， ， 故中位数为第个数据和第个数据的平均数，即为，众数为， 由于全国各地的高一年级男生的身高存在一定的差异， 所以用一个学校的数据估计全国高一年级男生的校服规格不合理. 【小问2详解】 样本空间为，共个基本事件， 其中，事件包含的基本事件为：、、、、、，共个基本事件， 故. 16. 简谐运动可以用函数，表示，其中，．已知某简谐运动图象如图所示． （1）指出该简谐运动的振幅、周期、初相： （2）把图象上所有点的纵坐标缩短到原米的（横坐标不变），得到的图象；然后把曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若，求的值． 【答案】（1）振幅为2，周期为，初相为 （2）（i）递增区间为，递减区间为；（ii） 【解析】 【分析】（1）由图像结合正弦函数的性质可得； （2）（i）结合图象伸缩性质利用正弦函数的单调性可得；（ii）由图象平移性质结合二倍角的正弦以及同角的三角函数关系可得. 【小问1详解】 由图象可得，， 当时代入可得， 又时，，所以取，则. 综上，振幅为2，周期为，初相为. 【小问2详解】 （i）由题意可得， 令， 即时函数单调递增；时函数单调递减， 取，可得递增区间为，递减区间为. （ii）， 因为， 所以. 17. 现有一块面积为，弧长为的扇形铁皮． （1）求该扇形的周长； （2）用其截取（直接裁剪，不能拼接）一个面积最大的内接矩形，现有两种方案（如下图所示，设）供选择，应选择哪种方案，并说明理由． 【答案】（1） （2）方案一；理由见解析 【解析】 【分析】（1）由扇形的面积公式计算半径后可得； （2）分别将面积表示为半径的三角函数关系，再结合二倍角的正弦，降幂公式，正弦函数的取值求出最值，比较可得. 【小问1详解】 设扇形的半径为，则， 所以扇形的周长为. 【小问2详解】 设方案一，二中矩形的面积分别为， ， 由可得， 所以当时，； 设为的中点， 由图2知：设 ，则， ， 所以， ， ， ， ，， 当，即，矩形面积取得最大值为； 因为， 所以方案1可以裁剪出面积最大的矩形； 18. 如图，在四边形中，，，，. （1）当、、、四点共圆时，求； （2）求四边形面积的最大值； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件得出，可求出的值，然后在利用余弦定理可求得的长； （2）设，其中，由余弦定理得出，利用正弦定理求出，结合两角和的正弦公式可得出，再利用三角形的面积公式结合辅助角公式、三角函数的有界性可求得四边形面积的最大值； （3）设，则，设，利用正弦定理得出、，结合余弦定理得出可得出关于的三角函数，利用三角恒等变换以及正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 当、、、四点共圆时，，， 所以， 由余弦定理得， 故. 【小问2详解】 设，其中， 由余弦定理得， 故， 因为，则为钝角，且， 在中，由正弦定理得， 故， 因为为钝角，则为锐角， 故， 所以 ， 故， 故. 其中为锐角，且， 因为，则，故当时， 四边形的面积取最大值. 【小问3详解】 因为为钝角，则为锐角，故， 设， ， 设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 在中，由正弦定理得，代入数据化简得， 在中，，即， 代入数据并化简得， 结合可得， 所以，则， 由可得， 由、和可得 ，其中为锐角，且， 因为，则，故当时，取最大值， 且的最大值为. 19. 如图，锐角的垂心、重心、外心分别为H，G，O，且为中点． （1）用，表示； （2）用，表示； （3）证明：（其中为外接圆半径，，，）． 【答案】（1）. （2）. （3）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）利用重心分中线的比例关系，结合向量的加减运算即可得到答案. （2）利用重心和垂心与三角形外接圆的关系，结合向量的加减运算即可得到答案. （3）要证明该表达式需要结合三角形外接圆的性质以及三角函数的恒等变换，将向量向量关系转化为边长与角度的关联，即可得到答案. 【小问1详解】 为中点，, 又为锐角的重心，,即， . 【小问2详解】 连接并延长交外接圆与点，连接， 为锐角的外心，为外接圆的直径，则， 为锐角的垂心，,， ，即,, 又为锐角的重心,，， . 【小问3详解】 由（2）可知，， ， 根据向量积公式，这里，，，， ，，则， 利用三角函数的和差化积与二倍角公式可知， ，又，， 即上式可化简为 即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州市2025年普通高中一年级春季学期教学质量监测 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．考试结束以后，将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 3. 衡量数据离散程度还可以使用变异系数（标准差与平均数的比值，一般来说变异系数越大，其离散程度的测度值越大，反之越小）．下表总结了标准差与变异系数的适用场景．某次考试后，甲班平均分80分，标准差9分；乙班平均分100分，标准差10分．则 场景 使用标准差 使用变异系数 数据单位相同，均值相近 直接比较绝对波动 不必要 数据单位不同 无法直接比较 消除单位差异，比较相对波动 均值差异大 可能误导 标准化后比较相对波动 A. 甲班成绩相对更稳定 B. 乙班成绩相对更稳定 C. 甲、乙两班成绩一样稳定 D. 不确定 4. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第1枚硬币正面朝上”，“第2枚硬币反面朝上”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相等 C. 与互斥 D. 与对立 5. 是角为第三象限角的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知非零向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知甲、乙两机床生产同一种零件，甲机床生产优等品的概率为0.4，乙机床生产优等品的概率为0.5，假定两机床是否生产优等品相互没有影响．现从这两台机床生产的零件中各随机抽取一件，则这两件零件中，至少有一件是优等品的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.2 8. 已知函数在区间上的最小值为，则所有满足条件的正整数之和为（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：、、、、、、、、，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的平均数为 B. 这组数据的分位数为 C. 去掉一个样本数据后方差变小 D. 每个样本数据都减后方差变小 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的定义域为 11. 已知函数，是定义在上的连续函数，，对任意，，都有成立，则 A. 是偶函数 B. C. 是周期函数 D. 不等式有解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则________． 13. 已知是坐标原点，向量，对应的复数分别为，，则________． 14. 在中，，，为线段上一点，，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级男生需要不同规格校服的频数如下表所示. 校服规格 合计 频数 （1）请用平均数、中位数、众数中的一个量来代表该校高一年级男生所需校服的规格，并讨论用上表中的数据估计全国高一年级男生校服规格的合理性； （2）现有套不同规格的校服，将件上衣（分别用、、表示），件裤子（分别用、、表示，其中、、分别表示一套），分别装入只大小材质相同的黑色袋子.如果从中随机地取出只袋子，记事件“取出袋子里面一件是上衣，一件是裤子，但不是一套”，求． 16. 简谐运动可以用函数，表示，其中，．已知某简谐运动图象如图所示． （1）指出该简谐运动的振幅、周期、初相： （2）把图象上所有点的纵坐标缩短到原米的（横坐标不变），得到的图象；然后把曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若，求的值． 17. 现有一块面积为，弧长为的扇形铁皮． （1）求该扇形的周长； （2）用其截取（直接裁剪，不能拼接）一个面积最大的内接矩形，现有两种方案（如下图所示，设）供选择，应选择哪种方案，并说明理由． 18. 如图，在四边形中，，，，. （1）当、、、四点共圆时，求； （2）求四边形面积的最大值； （3）求的最大值． 19. 如图，锐角的垂心、重心、外心分别为H，G，O，且为中点． （1）用，表示； （2）用，表示； （3）证明：（其中为外接圆半径，，，）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $