精品解析：四川省达州外国语学校2023-2024学年高一下学期期末统考模拟检测数学试题

高一年级期末统考模拟检测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 根据统计，2024年五一假期，网红城市C和H接待的旅客数分别为1亿和8千万，在这两城市用分层随机抽样的方法抽取360名旅客，则应在H城市抽取的人数为（ ） A 80 B. 100 C. 200 D. 160 4 （ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 设中，，则（ ） A B. C. D. 6. 随机抽取某机械元件1000件，统计得出它们的连续工作最长时间（，单位：千小时）的频率分布直方图，如图所示.视频率为概率，从该批元件中随机抽取一件，该元件连续工作最长时间在区间（单位：千小时）上的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（ ） A. 与互斥，但不对立 B. 与互斥，但不对立 C. D. 10. 已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，的平均数为，方差为，中位数为，极差为.则（ ） A. B. C. 可以等于 D. 11. 已知是定义域为的偶函数，是偶函数，当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，取得最大值1 B. 的单调递减区间为 C. 当时，的取值范围为 D. 的解集为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的零点为，则大于的最小整数是_____． 13. 在三个函数：①，②，③中随机抽取一个作为条件，在三个性质：④，⑤在区间上单调递增，⑥当时，中随机抽取一个作为结论，则所得命题是真命题的概率为__________. 14. 如图，在平面四边形中，，，，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某市2024年5月举办了“用普通话讲好中国故事”的活动，有20名选手进入决赛，他们的决赛得分（单位：分，满分100分）情况如下表： 得分 频数 2 7 8 3 （1）同组数据由该组区间中点值代替，求这20名选手决赛的平均成绩； （2）从决赛得分在上和在上的选手中随机抽取2人，求至少一个人得分不低于90分的概率. 16. 如图，已知函数，曲线交轴正半轴（最靠近原点）于点是曲线上轴右侧横坐标最小最高点，直线与曲线在轴右侧第一个（从左向右）交点为，已知． （1）求的解析式； （2）当时，求的值域. 17. 唐代大诗人刘禹锡《望洞庭》诗云：“湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨.遥望洞庭山水翠，白银盘里一青螺.”有人认为诗首句的“秋月”应为“秋色”.有以下事实：A.《望洞庭》是经典名作，历朝历代众口传诵，难免出现不同的版本；B.一般不对原文作修改的宋清两朝的诸多类书中，诗首句“秋月”皆为“秋色”；C.月光下很难分辨出水的不同色彩，翠色､白银盘､青螺皆是白天的景观；D.洞庭秋色是历代文人所关注的美景，该诗强调秋色之美在常理之中；E.该诗是对洞庭湖实景描写.这些事实能否支持该诗首句的“秋月”应为“秋色”？从一次公务员考试答卷中调随机选出100份，统计结果（支持的用√表示，考生答卷上选这一项，不支持的用×表示，考生答卷上不选这一项）如下表： 人数 A B C D E 10 √ × × × √ 20 × × √ √ × 30 × √ × √ × 40 × √ √ × × 只针对本问题. （1）在这次公务员考试答卷中随机取一份，求这份答卷答案有B或C的概率； （2）已知只有事实BC支持该诗首句的“秋月”为“秋色”，有其他选项的为错选，在这100份答卷中，不放回地先后随机抽取两份，求这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率. 18. 已知函数. （1）求曲线对称中心的坐标； （2）设，求值. 19. 如图，是的边上的点，是线段上的点，，的面积是面积的2倍． （1）若的面积为的面积的倍，证明：是的外心； （2）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级期末统考模拟检测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对复数进行化简，再求出其共轭复数，最后利用复数模的公式求解． 【详解】， ， ，故C正确． 故选：C． 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由向量平行与垂直的坐标表示可判断AB；计算出模长判断C；线性坐标运算得，即可判断D． 【详解】对于A，，不平行，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：B． 3. 根据统计，2024年五一假期，网红城市C和H接待的旅客数分别为1亿和8千万，在这两城市用分层随机抽样的方法抽取360名旅客，则应在H城市抽取的人数为（ ） A. 80 B. 100 C. 200 D. 160 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样求得网红城市C和H的人数占比，再根据比例求得结果即可． 【详解】根据题意，网红城市C和H接待的旅客数比例为， 所以应在H城市抽取的人数为． 故选：D． 4. （ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切和角公式，再化简即可求解． 【详解】由， ， ． 故选：A． 5. 设中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，结合大边对大角得，则，进而得到． 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 又，， 则为锐角， ，则． 故选：B． 6. 随机抽取某机械元件1000件，统计得出它们的连续工作最长时间（，单位：千小时）的频率分布直方图，如图所示.视频率为概率，从该批元件中随机抽取一件，该元件连续工作最长时间在区间（单位：千小时）上的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图概率和为1，可得，解得，再计算在区间上的概率即可． 【详解】由题可得，解得， 该元件连续工作最长时间在区间上的概率为． 故选：B． 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，配方得，进而得，，解得，结合即可． 【详解】由题知，，即， ， ，又时，， ，即， ， 得，即， ． 故选：D． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，化简可得，解得，再由代入计算即可． 【详解】， 即， ，整理得， 解得或， ，， ， ． 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（ ） A. 与互斥，但不对立 B. 与互斥，但不对立 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分析各事件的含义，结合事件的互斥性和对立性判断选项A，B；分析的关联，判断选项C；分析的关联判断选项D． 【详解】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 10. 已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，的平均数为，方差为，中位数为，极差为.则（ ） A. B. C. 可以等于 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据均值，方差，中位数，极差的计算公式，注意中位数、极差的计算需先排序，再逐一比较即可． 【详解】对于A，根据题意，， ，则，故A正确； 对于B，， ，故与大小无法比较，故B错误； 对于C，当时，， 此时，故C正确； 对于D，取，可得； 取，可得，故D错误， 故选：AC． 11. 已知是定义域为的偶函数，是偶函数，当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，取得最大值1 B. 的单调递减区间为 C. 当时，的取值范围为 D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件求出解析式，再利用余弦函数的性质，计算函数的最值，判断选项A；求出单调递减区间计算选项B；求出对应区间内的函数值域，判断选项C；解不等式求出解集，判断选项D． 【详解】已知是定义域为的偶函数，则， 是偶函数，设，则， 即， 当时，， ， ， 周期为，由偶函数性质可知满足所有条件， 即是偶函数， ，是偶函数， 当时，与表达式一致， ， 选项A：当时，，的最大值为1，故A正确； 选项B：的单调递减区间为，故B正确； 选项C：当时，在上递增，在上递减， 最大值为，最小值为， 的取值范围为，故C错误； 选项D：，在一个周期 内，解为， 周期为，解集为，故D正确． 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的零点为，则大于的最小整数是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】结合函数单调性及零点存在定理，可得存在唯一零点，，进而确定答案即可． 【详解】在单调递增，为增函数， 在单调递增， 又， 函数有唯一的零点，， 则大于的最小整数是． 故答案为：． 13. 在三个函数：①，②，③中随机抽取一个作为条件，在三个性质：④，⑤在区间上单调递增，⑥当时，中随机抽取一个作为结论，则所得命题是真命题的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，逐一分析①②③函数相关性质，再结合古典概型求概率即可． 【详解】对于①，，具有性质④， 在无意义，不具有性质⑤， 当时，单调递增，又，所以不具有性质⑥； 对于②，在单调递增，，故不具有性质④， 的定义域为，故不具有性质⑤； 当时，单调递增，所以，故具有性质⑥； 对于③，在上单调递减，非周期函数，不具有性质④； 在区间上单调递减，不具有性质⑤； 当时，单调递减，，即成立，故具有性质⑥； 根据题意抽取方式有①④，①⑤，①⑥，②④，②⑤，②⑥，③④，③⑤，③⑥共9种， 其中所得命题是真命题有①④，②⑥，③⑥共3种， 故概率为． 故答案为：． 14. 如图，在平面四边形中，，，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】过点分别作的平行线，交直线，于点根据等腰直角三角形的性质得到，再设，在中利用正弦定理求出，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】过点分别作的平行线，交直线，于点 ，， 因为，，所以是以为斜边的等腰直角三角形， 过中点，即是中点，又， . 不妨设，因为，，所以， 则. 由条件知，， 在中，由正弦定理得， ，即，. 其中 . 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某市2024年5月举办了“用普通话讲好中国故事”的活动，有20名选手进入决赛，他们的决赛得分（单位：分，满分100分）情况如下表： 得分 频数 2 7 8 3 （1）同组数据由该组区间中点值代替，求这20名选手决赛的平均成绩； （2）从决赛得分在上和在上的选手中随机抽取2人，求至少一个人得分不低于90分的概率. 【答案】（1）81 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频数表，直接计算平均成绩即可； （2）设决赛得分在上的两人分别为，得分在上的三人分别为，，再列出所有情况，根据古典概型求概率即可． 【小问1详解】 解：由表可得（分）. 【小问2详解】 由题可知，决赛得分在上有2人，得分在上的有3人， 设决赛得分在上的两人分别为，得分在上的三人分别为，， 则从得分在这两区间的选手中随机抽取2人， 所有可能结果为，，共10个样本点， 其中只有一个结果中两人得分都低于90分， 设“两人中至少一个得分不低于90分”， 则. 所以至少一个人得分不低于90分的概率为． 16. 如图，已知函数，曲线交轴正半轴（最靠近原点）于点是曲线上轴右侧横坐标最小的最高点，直线与曲线在轴右侧第一个（从左向右）交点为，已知． （1）求的解析式； （2）当时，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，，，再利用，得，再解方程即可； （2）利用整体法求得，再结合基本不等式即可求解． 【小问1详解】 解：由，得，即， 由，得，即， 由得，， 根据题意得，解得， 即， ， ，解得， 所以； 【小问2详解】 当时，， ，等号时成立， ， ，等号在，即时成立， 所以的值域为． 17. 唐代大诗人刘禹锡《望洞庭》诗云：“湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨.遥望洞庭山水翠，白银盘里一青螺.”有人认为诗首句的“秋月”应为“秋色”.有以下事实：A.《望洞庭》是经典名作，历朝历代众口传诵，难免出现不同的版本；B.一般不对原文作修改的宋清两朝的诸多类书中，诗首句“秋月”皆为“秋色”；C.月光下很难分辨出水的不同色彩，翠色､白银盘､青螺皆是白天的景观；D.洞庭秋色是历代文人所关注的美景，该诗强调秋色之美在常理之中；E.该诗是对洞庭湖实景描写.这些事实能否支持该诗首句的“秋月”应为“秋色”？从一次公务员考试答卷中调随机选出100份，统计结果（支持的用√表示，考生答卷上选这一项，不支持的用×表示，考生答卷上不选这一项）如下表： 人数 A B C D E 10 √ × × × √ 20 × × √ √ × 30 × √ × √ × 40 × √ √ × × 只针对本问题. （1）在这次公务员考试答卷中随机取一份，求这份答卷答案有B或C的概率； （2）已知只有事实BC支持该诗首句的“秋月”为“秋色”，有其他选项的为错选，在这100份答卷中，不放回地先后随机抽取两份，求这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，只有10份答卷答案既没有B，也没有C，再由古典概型求概率即可； （2）设“第次抽到的那份答卷答案是正确的”“两份答卷答案恰一个有错选答案”，再根据乘法公式计算即可． 【小问1详解】 解：由表可知，这100份答卷每份答案都含有A，B，C，D，E中的两个， 其中只有10份答卷答案既没有B，也没有C， 设“在这100份答卷中随机抽取一份，这份答卷答案有B或C”， 则， . 在这次公务员考试答卷中随机取一份，这份答卷答案有B或C的概率为； 【小问2详解】 根据题意，由表可知，这100份答卷只有40份的答案是正确的，其余60份的答案均为错选， 设“第次抽到的那份答卷答案是正确的”“两份答卷答案恰一个有错选答案”，则， ， 所以这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率为. 18. 已知函数. （1）求曲线对称中心的坐标； （2）设，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用降幂公式，逆用两角和的正弦公式将原式化为一般形式，再令，进而求解对称中心即可； （2）先代入得，再根据的范围，得到，最后由展开计算即可． 【小问1详解】 解： 由得， 所以曲线对称中心的坐标为； 【小问2详解】 ， ， 又， ， ． 19. 如图，是的边上的点，是线段上的点，，的面积是面积的2倍． （1）若的面积为的面积的倍，证明：是的外心； （2）求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式可得，，设，再由余弦定理可得，进而得到即可证明； （2）由正弦定理得，设，，则，进而得到即可求解． 【小问1详解】 证明：∵若的面积为的面积的倍， ， ，即， 设，由于的面积是面积的2倍，同上可得， 分别在和中，由余弦定理得， ， ，解得， ，即是外心； 【小问2详解】 解：在中，由正弦定理得， ， 设，由条件知， 由（1）得， ， ，即， 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $