第1章 三角形的初步知识 预学检测-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

23 ∠EKI=∠DKH, ∠EIK=∠DHK, EI=DH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△EKI≌△DKH(AAS).所以 EK=DK. 6. B 解析:如图,过点D 作DM⊥AB 于点M,DN⊥AC 于点N.因为AD 为△ABC 的角平分线,所以 DM= DN.因为S△ABD= 1 2AB ·DM,S△ACD= 1 2AC ·DN,所 以S△ABD ∶S△ACD =AB∶AC=5∶8.所以S△ABD = 5 13S△ABC= 5 13S1. 因为E 是BC 的中点,所以S△ABE= 1 2S△ABC= 1 2S1. 所以S2=S△ABE-S△ABD= 3 26S1. 所以 S1 S2= 26 3. 第6题 7. ①②③④ 8. (1) 过点E 分别作EM⊥BD 于点M,EH⊥AC 于点 H,EN⊥BA 的延长线于点N.因为E 是△ABC 的内角 ∠ABC、外角∠ACD 的平分线的交点,点E 到直线AC 的距离为2,所以易得EN=EM=EH=2.所以点E 到直 线AB 的距离为2.(2) 连结AE.因为S△ABE+S△BCE- S△ACE=S△ABC,所 以 1 2AB ·EN + 12BC ·EM - 1 2AC ·EH=6.又因为EN=EM=EH=2,所以AB+ BC-AC=6. 第1章预学检测 一、 1. C 2. A 3. B 4. A 5. A 6. C 7. D 解析:如图,在DC 上截取DF,使得DF=DA,连 结EF.因为DE 是∠ADC 的平分线,所以∠1=∠2.在 △ADE 和△FDE 中,因为 DA=DF, ∠1=∠2, DE=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ADE≌ △FDE(SAS).所以∠A=∠5.因为AD∥BC,所以∠A+ ∠B=180°.所以∠5+∠B=180°.因为∠5+∠6=180°, 所以∠6=∠B.因为CE 是∠BCD 的平分线,所以∠3= ∠4.在 △CEF 和 △CEB 中,因 为 ∠6=∠B, ∠3=∠4, CE=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △CEF≌△CEB(AAS).所以CF=CB.所以CD=DF+ CF=AD+BC.因为AD=3,BC=2,所以CD=3+ 2=5. 第7题 8. B 9. A 解析:在△ABC 中,AB-AC<BC<AB+AC,即 12-8<BC<12+8,即4<BC<20.如图,延长AD 至点 E,使AD=DE,连结BE.因为AD 是△ABC 的边BC 上 的中线,所以BD=CD.在△ACD 和△EBD 中,因为 CD=BD, ∠ADC=∠EDB, AD=ED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ACD≌△EBD(SAS).所以 AC=EB.在△ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE,即 AB-AC<AE<AB+AC,即12-8<AE<12+8,即 4<AE<20.因为AE=2AD,所以2<AD<10. 第9题 10. A 解 析:因 为 ∠AOB = ∠COD =108°,所 以 ∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD.所以∠BOD= ∠AOC.在△AOC 和△BOD 中,因为 OA=OB, ∠AOC=∠BOD, OC=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△AOC≌△BOD(SAS).所以 AC=BD.故甲正 确.因为△AOC≌△BOD,所以∠OCM=∠ODB.因为 ∠MDC = ∠MDO + ∠ODC,∠OCD = ∠OCM + ∠MCD,∠COD=180°-(∠OCD+∠ODC),∠CMD= 180°- (∠MDC + ∠MCD),所 以 ∠CMD =180°- (∠MDO + ∠ODC + ∠MCD),∠COD =180°- (∠OCM+∠MCD+∠ODC).所以∠CMD=∠COD.故 乙错误.过点O 作OE⊥AC,OF⊥BD,垂足分别为E, F.所以∠OEC=∠OFD=90°.在△COE 和△DOF 中,因 为 ∠OCE=∠ODF, ∠OEC=∠OFD, CO=DO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△COE≌△DOF(AAS).所以 OE=OF.所以MO 平分∠BMC.故丙正确.综上所述,甲 正确,乙错误,丙正确. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 二、 11. 如果两个三角形是全等三角形,那么它们的对应 角相等 12. 答案不唯一,如OE=OF 13. 4或5 14. 270° 15. 4 16. 16 FD⊥AC 解析:因为E 为AB 的中点,所以 AE=BE.因为BF∥AC,所以∠EBF=∠A.在△BFE 和△ADE 中,因 为 ∠EBF=∠A, BE=AE, ∠BEF=∠AED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △BFE≌ △ADE(ASA).所以BF=AD.所以四边形FBCD 的周 长=BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+ BC+FD=11+FD.因为当FD⊥AC 时,FD 的长最小, 易得此时FD=BC=5,所以四边形FBCD 周长的最小值 是5+11=16. 三、 17. (1) 如图,直线DE 即为所求.(2) 如图.因为DE 是BC 边 的 垂 直 平 分 线,所 以 BE=CE,∠BED= ∠CED = 90°. 在 △BED 和 △CED 中,因 为 BE=CE, ∠BED=∠CED, DE=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△BED≌ △CED(SAS).所以 ∠EBD=∠C=32°.所以∠ADB=∠EBD+∠C=32°+ 32°=64°. 第17题 18. 延 长 CD,交 AB 于 点 E.因 为 ∠BDC=148°, 所以∠BDE=180°-∠BDC=180°-148°=32°.又 因为∠B=21°,所以∠AEC=∠BDE+∠B=32°+21°= 53°.因为∠C=32°,所以∠A=180°-∠C-∠AEC= 180°-32°-53°=95°≠90°.所以这个零件不合格. 19. (1) 在△ABC 和△ADE 中,因为 BC=DE, ∠B=∠D, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 △ABC≌△ADE.(2) 由(1),得△ABC≌△ADE,所以 AC=AE,∠BAC = ∠DAE =60°.所 以 ∠AEC = ∠ACE.因 为 ∠AEC+ ∠ACE =2∠ACE =180°- ∠DAE=120°,所以∠ACE=60°. 20. 过点D 分别作AE,AF 的垂线,垂足分别为M,N,则 ∠CMD=∠BND=90°.因为AD 是∠EAF 的平分线, DM⊥AE,DN⊥AF,所以 DM=DN.因为∠ACD+ ∠ABD=180°,∠ACD+∠MCD=180°,所以∠MCD= ∠NBD. 在 △CDM 和 △BDN 中, 因 为 ∠MCD=∠NBD, ∠CMD=∠BND, DM=DN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△CDM≌△BDN(AAS).所以 CD=BD. 21. 如图,过点A'作A'F⊥BD,垂足为F.因为AC⊥ BD,所以∠ACB=∠A'FB=90°.在△A'FB 中,∠1+ ∠3=90°.又因为A'B⊥AB,所以∠1+∠2=90°.所以 ∠2 = ∠3. 在 △ACB 和 △BFA' 中, 因 为 ∠ACB=∠BFA', ∠2=∠3, AB=BA', 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ACB≌△BFA'(AAS).所以 BC=A'F.因为AC⊥CD,CD⊥DE,AE⊥DE,所以易得 四边形ACDE 是长方形.所以CD=AE=1.5m.所以 BC=BD-CD=2.5-1.5=1(m).所以A'F=1m,即点 A'到BD 的距离是1m. 第21题 22. (1) △BPD≌△CQP.理由:经过1s后,PB=3cm, PC=BC-PB=5cm,CQ=3cm.因为D 为AB 的中点, AB=10cm,所以BD=12AB=5cm. 所以BD=PC.因 为AB=AC,所以∠B=∠C.在△BPD 和△CQP 中,因 为 BD=CP, ∠B=∠C, PB=QC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△BPD≌△CQP(SAS).(2) 设点Q 的运动速度为x(x≠3)cm/s,经过ts后,△BPD 与 △CQP全等.根据题意,得PB=3tcm,PC=(8-3t)cm, CQ=xtcm.因为AB=AC,所以∠B=∠C.根据全等三 角形的判定定理“SAS”,可知有两种情况:① 当BD= PC,BP=CQ 时,5=8-3t,3t=xt,解得x=3.因为x≠ 3,所以不符合题意,舍去.② 当BD=CQ,BP=CP 时, 5=xt,3t=8-3t,解得x=154. 综上所述,当点Q 的运动 速度为15 4cm /s时,能够使△BPD 与△CQP 全等. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 80 第1章预学检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列命题中,属于假命题的是 ( ) A. 三角形的内角和为180° B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 三角形的角平分线是射线 D. 三角形的面积等于一条边的长与这条边 上的高线长的乘积的一半 2. 能说明命题“如果a>b,那么1a< 1 b ”为假命 题的反例是 ( ) A. a=1,b=-1 B. a=2,b=1 C. a=-1,b=2 D. a=1,b=2 3. (福建中考)若某三角形的三边长分别为3, 4,m,则m 的值可以是 ( ) A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 4. 数学课上,同学们在作△ABC 的边AC 上的 高线时,共作出了下列四种图形,其中,正确 的是 ( ) A. B. C. D. 5. 如图所示为一个平分角的仪器,其中AB= AD,BC=DC.将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射 线AE,AE 就是这个角的平分线.此仪器的 原理是 ( ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 第5题 第6题 6. 如图,△ABC≌△AED,点E 在线段BC 上, ∠1=50°,则∠CED 的度数是 ( ) A. 70° B. 65° C. 50° D. 60° 7. 如图,AD∥BC,点E 在线段AB 上,DE,CE 分别是∠ADC,∠BCD 的平分线.若AD= 3,BC=2,则CD 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第7题 第8题 8. 如图,在△MPN 中,H 是高MQ 和NR 的 交点,且PM=HN.若MH=3,PQ=2,则 PN 的长为 ( ) A. 5 B. 7 C. 8 D. 11 答案讲解 9. 已知AD 是△ABC的边BC上的中 线,AB=12,AC=8,则边BC 及中 线AD 长的取值范围分别是( ) A. 4<BC<20,2<AD<10 B. 4<BC<20,4<AD<20 C. 2<BC<10,2<AD<10 D. 2<BC<10,4<AD<20 答案讲解 10. 如图,在△AOB 和△COD 中,OA= OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB= ∠COD=108°,连结AC,BD 交于 点M,连结OM,甲、乙、丙三人分别给出一 个 结 论.甲:AC =BD;乙:∠CMD > 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 拍 照 批 改 81 ∠COD;丙:MO 平分∠BMC.下列判断 中,正确的是 ( ) 第10题 A. 乙错误,丙正确 B. 甲和乙都正确 C. 甲正确,丙错误 D. 甲错误,丙正确 二、 填空题(每小题3分,共18分) 11. 把命题“全等三角形的对应角相等”改写成 “如果……那么……”的形式: . 12. 如图,OC 平分∠AOB,D,E,F 分别是 OC,OA,OB 上 的 点,要 使 △ODE ≌ △ODF,可以添加的条件是 (写 出一个即可). 第12题 第14题 13. 一个三角形三条边的长分别是3,5,7,另一 个三角形三条边的长分别是3,3x-2y, x+2y.若这两个三角形全等,则x+y= . 14. 如图,线段AF⊥AE,垂足为A,线段GD 分别交AF,AE 于点C,B,连结GF,ED, 则∠D + ∠G + ∠F + ∠E 的 度 数 为 . 15. 如图,D 是△ABC 的边AB 上的点,连结 CD,E 是CD 的中点,连结 AE,BE.若 △ABC 的面积为8,则涂色部分的面积为 . 第15题 第16题 16. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,E 为AB 的 答案讲解 中点,D 为AC 上一点,过点B 作 BF∥AC 交DE 的延长线于点F. 若 AC=6,BC=5,则 四 边 形 FBCD 周长的最小值是 ,此时, FD 与AC 的位置关系为 . 三、 解答题(共52分) 17. (6分)如图,在△ABC 中,AC>BC. (1) 作BC 边的垂直平分线,与AC 边交于 点D,与BC 边交于点E(保留作图痕迹,不 写作法). (2) 在(1)中所作的图形中,连结BD.若 ∠C=32°,求∠ADB 的度数. 第17题 18. (6分)一个零件的形状如图所示.按规定, ∠A 应该为90°,∠B,∠C 应分别是21°和 32°.检验工人量得∠BDC=148°,就断定这 个零件不合格.为什么? 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 82 19. (8分)(长沙中考)如图,点C 在线段AD 上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE. (1) 求证:△ABC≌△ADE. (2) 若∠BAC=60°,求∠ACE 的度数. 第19题 答案讲解 20. (9分)如图,D 是∠EAF 的平分 线上的一点,C,B 分别是 AE, AF上的点,AC<AB,∠ACD+ ∠ABD=180°.求证:CD=BD. 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 83 21. (11分)如图①所示为乐乐在荡秋千时的图 片,图②是其侧面示意图,静止时秋千位于 铅垂线BD 上,转轴B 到地面的距离BD= 2.5m.乐乐在荡秋千的过程中,当秋千摆 动到最高点A 时,测得点A 到BD 的距离 AC=1.5m,点A 到地面的距离AE= 1.5m,当她从点A 处摆动到点A'处时,若 A'B⊥AB,求点A'到BD 的距离. 第21题 答案讲解 22. (12分)如图,在△ABC 中,AB= AC=10cm,BC=8cm,D 为AB 的中点.点 P 在线段BC 上以 3cm/s的速度由点B 向点C 运动;同时, 点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动.连 结PD,PQ. (1) 若点Q 的运动速度与点P 的运动速度 相同,则经过1s后,△BPD 与△CQP 是 否全等? 请判断并说明理由. (2) 若点Q 的运动速度与点P 的运动速度 不相同,则当点Q 的运动速度为多少时,能 够使△BPD 与△CQP 全等? 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备