1.7 角平分线的性质-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（浙教版2024）

22 7. 设∠CAE=x,则∠EAB=3x.因为AC 的垂直平分线 交AC于点D,交BC 于点E,所以AE=CE.所以∠C= ∠CAE=x.所以∠BAC=∠EAB+∠CAE=4x.根据三 角形的内角和定理,得∠C+∠BAC=180°-∠B,即x+ 4x=180°-40°,解得x=28°,则∠C=28°.所以∠C 的度 数为28°. 8. (1) 因为l1 垂直平分AB,所以DB=DA.同理可得, EA=EC.因为△ADE 的周长=DA+EA+DE=8,所以 BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8.(2) 因为 ∠DAE=60°,所 以∠ADE+∠AED=180°-60°= 120°.因为DA=DB,EA=EC,所以∠BAD=∠ABC, ∠EAC= ∠ACB.因 为 ∠ADE = ∠BAD + ∠ABC, ∠AED=∠EAC+∠ACB,所以∠BAD+∠EAC= 1 2 (∠ADE+∠AED)=60°.所以∠BAC=60°+60°= 120°. 9. (1) 如图,连结AE.因为AB的垂直平分线EF交BC于 点E,交AB 于点F,所以AE=BE.因为BE=AC,所以 AE=AC.因为H 为EC 的中点,所以CH=EH.又因为 AC=AE,AH=AH,所以△ACH≌△AEH.所以易得 ∠AHC=∠AHE=90°.所以AH⊥BC.(2) 因为AE=BE, ∠B=36°,所以∠EAB=∠B=36°.所以∠AEC=∠EAB+ ∠B=72°.因为△ACH≌△AEH,所以∠C=∠AEC= 72°.所以∠BAC=180°-∠C-∠B=72°. 第9题 10. A 解析:如图,连结AP,AH.因为AB=AC,H 为 BC 的中点,所以易得AH⊥BC.因为△ABC 的面积是 30,所以12BC ·AH=30.因为BC=5,所以AH=12.因 为MN 是线段AB 的垂直平分线,所以AP=BP.所以 BP+PH=AP+PH≥AH.所以AH 的长为BP+PH 的最小值.所以BP+PH 的最小值为12. 第10题 11. (1) AB=PB.(2) 存在.连结BQ.因为BC垂直平分 OQ,所以BO=BQ,CO=CQ,∠BCO=∠BCQ=90°.所 以∠BOQ = ∠BQO.因 为 ∠BOQ = ∠FON,所 以 ∠BQO=∠FON.因为OF 平分∠MON,所以∠AOF= ∠FON=∠BQO.所以易得∠AOB=∠PQB.在△AOB 和△PQB 中,因 为 OA=QP, ∠AOB=∠PQB, BO=BQ, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以△AOB≌ △PQB(SAS).所以AB=PB. 1.7 角平分线的性质 知识梳理 相等 典例演练 典例1 5 典例2 过点D 作DF⊥BC 于点F.因为BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,所以DE=DF.所以 S△ABC=S△ABD +S△BDC = 1 2×16DE+ 1 2×12DF= 70.所以14DE=70.所以DE=5. 预学训练 1. C 2. 1 3. 4 解析:因为AB∥CD,OG⊥CD,所以OF⊥AB.因 为AO 是∠BAC 的平分线,OF⊥AB,OE⊥AC,OE=2, 所以OF=OE=2.因为CO 是∠ACD 的平分线,OE⊥ AC,OG⊥CD,所以 OG=OE=2.所以 FG=OF+ OG=4. 4. 如图,点P 就是银杏树的位置. 第4题 5. 过点E 作EI⊥AB 于点I,过点D 作DH⊥AB 于点 H,作DF⊥BC 于点F,则∠EIA=∠DFC=∠DHK= 90°.在△EAI和△DCF 中,因为 ∠EIA=∠DFC, ∠EAI=∠C, EA=DC. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 △EAI≌△DCF(AAS).所以EI=DF.因为 BD 是 ∠ABC 的平分线,DH ⊥AB,DF⊥BC,所以 DH = DF.所 以 DH =EI.在 △EKI 和 △DKH 中,因 为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 ∠EKI=∠DKH, ∠EIK=∠DHK, EI=DH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△EKI≌△DKH(AAS).所以 EK=DK. 6. B 解析:如图,过点D 作DM⊥AB 于点M,DN⊥AC 于点N.因为AD 为△ABC 的角平分线,所以 DM= DN.因为S△ABD= 1 2AB ·DM,S△ACD= 1 2AC ·DN,所 以S△ABD ∶S△ACD =AB∶AC=5∶8.所以S△ABD = 5 13S△ABC= 5 13S1. 因为E 是BC 的中点,所以S△ABE= 1 2S△ABC= 1 2S1. 所以S2=S△ABE-S△ABD= 3 26S1. 所以 S1 S2= 26 3. 第6题 7. ①②③④ 8. (1) 过点E 分别作EM⊥BD 于点M,EH⊥AC 于点 H,EN⊥BA 的延长线于点N.因为E 是△ABC 的内角 ∠ABC、外角∠ACD 的平分线的交点,点E 到直线AC 的距离为2,所以易得EN=EM=EH=2.所以点E 到直 线AB 的距离为2.(2) 连结AE.因为S△ABE+S△BCE- S△ACE=S△ABC,所 以 1 2AB ·EN + 12BC ·EM - 1 2AC ·EH=6.又因为EN=EM=EH=2,所以AB+ BC-AC=6. 第1章预学检测 一、 1. C 2. A 3. B 4. A 5. A 6. C 7. D 解析:如图,在DC 上截取DF,使得DF=DA,连 结EF.因为DE 是∠ADC 的平分线,所以∠1=∠2.在 △ADE 和△FDE 中,因为 DA=DF, ∠1=∠2, DE=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ADE≌ △FDE(SAS).所以∠A=∠5.因为AD∥BC,所以∠A+ ∠B=180°.所以∠5+∠B=180°.因为∠5+∠6=180°, 所以∠6=∠B.因为CE 是∠BCD 的平分线,所以∠3= ∠4.在 △CEF 和 △CEB 中,因 为 ∠6=∠B, ∠3=∠4, CE=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △CEF≌△CEB(AAS).所以CF=CB.所以CD=DF+ CF=AD+BC.因为AD=3,BC=2,所以CD=3+ 2=5. 第7题 8. B 9. A 解析:在△ABC 中,AB-AC<BC<AB+AC,即 12-8<BC<12+8,即4<BC<20.如图,延长AD 至点 E,使AD=DE,连结BE.因为AD 是△ABC 的边BC 上 的中线,所以BD=CD.在△ACD 和△EBD 中,因为 CD=BD, ∠ADC=∠EDB, AD=ED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ACD≌△EBD(SAS).所以 AC=EB.在△ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE,即 AB-AC<AE<AB+AC,即12-8<AE<12+8,即 4<AE<20.因为AE=2AD,所以2<AD<10. 第9题 10. A 解 析:因 为 ∠AOB = ∠COD =108°,所 以 ∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD.所以∠BOD= ∠AOC.在△AOC 和△BOD 中,因为 OA=OB, ∠AOC=∠BOD, OC=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△AOC≌△BOD(SAS).所以 AC=BD.故甲正 确.因为△AOC≌△BOD,所以∠OCM=∠ODB.因为 ∠MDC = ∠MDO + ∠ODC,∠OCD = ∠OCM + ∠MCD,∠COD=180°-(∠OCD+∠ODC),∠CMD= 180°- (∠MDC + ∠MCD),所 以 ∠CMD =180°- (∠MDO + ∠ODC + ∠MCD),∠COD =180°- (∠OCM+∠MCD+∠ODC).所以∠CMD=∠COD.故 乙错误.过点O 作OE⊥AC,OF⊥BD,垂足分别为E, F.所以∠OEC=∠OFD=90°.在△COE 和△DOF 中,因 为 ∠OCE=∠ODF, ∠OEC=∠OFD, CO=DO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△COE≌△DOF(AAS).所以 OE=OF.所以MO 平分∠BMC.故丙正确.综上所述,甲 正确,乙错误,丙正确. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 78 1.7　角平分线的性质 角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离 . 典例1 如图,OC平分∠AOB,P 是OC上一点, PH⊥OB于点H,Q是射线OA 上的一个动点. 若PH=5,则PQ长的最小值为 . 典例1图 当PQ⊥AO 时,PQ 的长最小.依据角平 分线的性质定理,即可得到PQ 长的最小值. 解答: 解有所悟:利用角平分线的性质定理解决问题的关 键是确定角的平分线上的点到角的两边的垂线段: (1) 若已知条件存在这两条垂线段,则直接得出垂 线段相等;(2) 若已知条件存在一条垂线段,则考虑 通过作辅助线补出另一条垂线段;(3) 若已知条件不 存在垂线段,则考虑通过作辅助线补出两条垂线段. 典例 2 如 图,BD 是△ABC 的 角 平 分 线, DE⊥AB,垂足为E.若△ABC 的面积为70, AB=16,BC=12,求DE 的长. 典例2图 利用等面积法求线段的长.鉴于有角平分 线,易联想其上一点到角两边的距离相等. 解答: 解有所悟:利用角平分线的性质定理构造两条长度 相等的垂线段,为面积的表示创造了条件. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,BD 平分 ∠ABC,交AC 于点D,AC=15cm,AD= 9cm,DE⊥AB于点E,则DE的长为( ) 第1题 A. 9cm B. 7cm C. 6cm D. 5cm 2. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,DE⊥ AB 于点E.若AC=2,DE=1,则S△ACD= . 第2题 第3题 答案讲解 3. (教材P44例2变式)如图,AB∥ CD,O 为∠BAC 与∠ACD 的平分 线的交点,过点O 作OE⊥AC 于 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级 拍 照 批 改 79 点E,OG⊥CD 于点G,延长GO 交AB 于点 F.若OE=2,则FG= . 4. 如图,学校准备在校内一块四边形草坪内栽 上一棵银杏树,要求银杏树的位置点P 到边 AB,BC 的距离相等,并且点P 到点A,D 的 距离也相等.请用尺规作图作出银杏树的位 置点P(不写作法,保留作图痕迹). 第4题 5. 如图,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分 线,在△ABC 外取一点E,使得∠EAB= ∠C,AE=DC,连结ED 交AB 于点K,求 证:EK=DK. 第5题 [综合提升] 6. 如图,在△ABC 中,AB=5,AC=8,E 为BC 的中点,AD 为△ABC 的角平分线,△ABC 的面积记为S1,△ADE 的面积记为S2,则 S1 S2 的值为 ( ) 第6题 A. 13 B. 26 3 C. 8 3 D. 13 2 答案讲解 7. 如 图,在 △ABC 中,∠ABC, ∠EAC 的平分线BP,AP 交于点 P,PM⊥BE,PN⊥BF,垂足分别 为M,N,有下列结论:① CP 平分∠ACF; ② ∠ABC+2∠APC=180°;③ ∠ACB= 2∠APB;④ S△PAC=S△MAP+S△NCP.其中, 正确的是 (填序号). 第7题 答案讲解 8. 如图,△ABC 的内角平分线BE、外 角平分线CE 交于点E,点E 到直 线AC 的距离为2. (1) 求点E 到直线AB 的距离. (2) 若△ABC 的面积为6,求AB+BC- AC 的值. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备